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河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题


河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调考试
理科数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. 已知集合 A ? ?x ? N 1 ? x ? log 2 k ? ,集合 A 中至少有 3 个元素,则( A. k ? 8 B. k ? 8 ) C.
2 2



C. k ? 16

D. k ? 16

2. 若 z ?1 ? i ? ? i ,则 z 等于( A.1 B.
3 2

D.

1 2

3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠,本题说它一共 有 7 层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍,共有 381 盏灯,问塔顶有几盏灯?( A.5 4. 已知双曲线 C : B.6 C.4 D.3 ) )

1 A. y ? ? x 4

5 x2 y 2 ,则 C 的渐近线方程为( ? 2 ? 1? a ? 0 ,b ? 0? 的离心率为 2 2 a b 1 1 B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 3 2

5. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(



A.4

B.9

C.7

D.5

6. 已知函数 f ? x ? ? A cos ?? x ? ? ??? ? 0? 的部分图象如图所示,下面结论错误的是( A.函数 f ? x ? 的最小正周期为



2? 3

.

B. 函数 f ? x ? 的图象可由 g ? x ? ? A cos ?? x ? 的图象向右平移

?
12

个单位得到。

-1-

C.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ?

?
12

对称

?? ?? D.函数 f ? x ? 在区间 ? , ? 上单调递增 2? ?4
?1 ,x为有理数 7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著 ,以其名命名的函 f ? x ? ? ? , ?0 ,x为无理数

称为狄利克雷函数,则关于函数 f ? x ? 有以下四个命题: ① f ? f ? x ?? ? 1 ; ②函数 f ? x ? 是偶函数; ③任意一个非零有理数 T , f ? x ? T ? ? f ? x ? 对任意 x ? R 恒成立; ④存在三个点 A? x1 , f ? x1 ?? , B ? x2 , f ? x2 ?? , C ? x3 , f ? x3 ?? ,使得 △ ABC 为等边三角形. 其中真命题的个数是( A.4 B.3 ) C.2 D. 1 )

8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.10

B.20

C.40

D.60
第 8 题图

9. 已知 A 、 B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 长轴的两个端点, M 、 N 是椭圆上关于 x 轴对称 a 2 b2
3 , 则 k1 ? k2 的 2

的两点, 直线 AM 、BN 的斜率分别为 k1 ,k2 ? k1k2 ? 0? , 若椭圆的离心率为 最小值为( A.1 ) B. 2 C.
3 2

D. 3

10. 在棱长为 6 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是 BC 的中点,点 P 是面 DCC1 D1 所在的平 面内的动点,且满足 ?APD ? ?MPC ,则三棱锥 P ? BCD 的体积最大值是( A.36 B. 12 3 C. 24 D. 18 3 ) )

? ?ln ?1 ? x ? ,x ? 0 11. 已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? ? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( 3 ? ?? x ? 1? ? 1 ,x ? 0
2? ? A. ?0 , ? 3? ? 3? ? B. ?0 , ? 4? ?

1? C. ?0 ,

3? ? D. ? 0 , ? 2? ?

-2-

12. 已知过抛物线 G : y 2 ? 2 px ? p ? 0? 焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M 、N 两点 (M在 x轴
???? ? ???? 16 上方) ,满足 MF ? 3FN , MN ? ,则以 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为 3




2 2 1? ? 3 ? 16 ? B. ? x ? ? ? ? y ? ? ? ? 3? ? 3 ? 3 ? ? 2

2 1? ? 2 3 ? 16 ? A. ? x ? ? ? ? y ? ? ? ? 3? ? 3 ? 3 ? ?

C. ? x ? 3? ? y ? 2 3
2

?

?

2

? 16

D. ? x ? 3? ? y ? 3
2

?

?

2

? 16

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分)
?x ?1 ? 0 y ?1 ? 13. 若 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?



14. 在 △ ABC 中, AB ? 3 ,AC ? 5 ,若 O 为 △ ABC 外接圆的圆心(即满足 OA ? OB ? OC ) ,
???? ??? ? 则 AO ? BC 的值为


? ? 4 1 ,若数列 ? ? 的前 n 项 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ?

15. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 2 ,an ?1 ? an ? 和为 5,则 n ? .

16. 过抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A , 与抛物线的
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 准线的的交点为 B ,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C ,若 AF ? FB ,BA ? BC ? 48 ,则抛物

线的方程为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a ,b ,c ,已知 b ? 4 ,c ? 6 ,C ? 2 B . (1)求 cos B 的值; (2)求 △ ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 B1 B 为正方形, BB1C1C 为菱形, ?BB1C1 ? 60? ,平
-3-

面 AA1 B1 B ? 平面 BB1C1C . (1)求证: B1C ? AC1 ; (2) 设点 E 、F 分别是 B1C ,AA1 的中点, 试判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系,并说明由; (3)求二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 R ? x0 ,y0 ? 是椭圆 C :
2 2

x2 y 2 从原点 O 向 ? ? 1 上的一点, 24 12

圆 R : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作 两条切线,分别交椭圆于 P , Q . (1)若 R 点在第一象限,且直线 OP , OQ 互相垂直,求 圆 R 的方程; (2)若直线 OP ,OQ 的斜率存在,并记为 k1 ,k2 ,求 k1k 2 的值; (3)试问 OP2 ? OQ 是否为定值?若是,求出该值;若 不是,说明理由.
2

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,上顶点为 A ,过 A 与 AF2 垂直 a 2 b2 ????? ???? ? 的直线交 x 轴负半轴于 Q 点,且 2F1 F2 ? F2 Q ? 0 .
设椭 圆 C : (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A 、 Q 、 F2 三点的圆恰好与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)过 F2 的直线 l 与(2)中椭圆交于不同的两点 M 、 N ,则 △F1MN 的内切圆的面积是否 存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

-4-

21. (本小题满分 12 分 ) 已知 t ? 0 ,设函数 f ? x ? ? x3 ?
3 ? t ? 1? 2 x 2 ? 3tx ? 1 .

(1)存在 x0 ? ? 0 ,2 ? ,使得 f ? x0 ? 是 f ? x ? 在 ?0 ,2? 上的最大值,求 t 的取值范围; (2) f ? x ? ? xex ? m ? 2 对任意 x ? [0 , ? ?) 恒成立时, m 的最大值为 1,求 t 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 2cos ? 已知圆锥曲线 C : ? ( ? 为参数)和定点 A 0 , 3 , F1 、 F2 是此圆锥曲线的左、 ? ? y ? 3 sin ?

?

?

右焦点,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 AF2 的直角坐标方程; (2)经过点 F1 且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M 、 N 两点,求 MF1 ? NF2 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ? x? ? x ? 3 ? x ? 4 . (1)解不等式 f ? x ? ? 2 ; (2)若存在实数 x 满足 f ? x ? ? ax ? 1 ,试求实数 a 的取值范围.

-5-

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 A 10 A 11 B 12 C

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分) 13.

2

14.

8

15.

120

16、 y 2 ? 4 x

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 【答案】 (1)在 △ ABC 中, 所以

b c ,因为 b ? 4 ,c ? 6 ,C ? 2 B , ? sin B sin C

4 6 4 6 ,即 , ? ? sin B sin 2B sin B 2sin B cos B 3 . 4

又 sin B ? 0 ,∴ cos B ? (2)由(1)知 cos B ?

7 3 ,从而 sin B ? . 4 4 3 7 1 因此 sin C ? sin 2 B ? 2sin B cos B ? , cos C ? cos 2B ? 2cos2 B ? 1 ? .所以 8 8
sin A ? sin ?? ? B ? C ? ? sin ? B ? C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ? 1 5 7 15 7 ? 所以 △ ABC 的面积为 ? 4 ? 6 ? . 2 16 4 7 1 3 3 7 5 7 ? ? ? ? , 4 8 4 8 16

18. (本小题满分 12 分) 【答案】 (1)连接 BC1 ,在正方形 ABB1 A1 中, AB ? BB1 , 因为平面 AA1 B1 B ? 平面 BB1C1C ,平面 AA1 B1 B ? 平面 BB1C1C ? BB1 , AB ? 平面 ABB1 A1 所以 AB ? 平面 BB1C1C 因为 B1C ? 平面 BB1C1C ,所 以 AB ? B1C . 在菱形 BB1C1C 中, BC1 ? B1C ,因为 BC1 ? 面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 , BC1 ? AB ? B 所以 B1C ? 平面 ABC1 ,因为 AC1 ? 平面 ABC1 ,所以 B1C ? AC1 . (2) EF ∥平面 ABC ,理由如下:
-6-

取 BC 的中点 G ,连接 GE 、 GA ,因为 E 是 B1C 的中点,所以 GE ∥ BB1 ,且 GE ? 为 F 是 AA1 的中点,所以 AF ?

1 BB1 ,因 2

1 AA1 . 2

在正方形 ABB1 A1 中, AA1 ∥ BB1 ,AA1 ? BB1 ,所以 GE ∥ AF ,且 GE ? AF . ∴四边形 GEFA 为平行四边形,所以 EF ∥ GA . 因为 EF ? 平面ABC , GA ? 平面ABC , 所以 EF ∥平面ABC . (3)在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz ? BB1 , 由(1)可知: AB ? 平面BB1C1C ,以点 B 为坐标原点,分 别以 BA 、 BB1 所在的直线为 x 、 y 轴,建立如图所示的空间 直角坐标系 B ? xyz ,设 A ? 2 ,0 ,0? ,则 B1 ? 0 ,2 ,0 ? . 在菱形 BB1C1C 中, ?BB1C1 ? 60? ,所以 C 0 , ? 1 , 3 , C1 0 ,1 , 3 . 设平面 ACC1 的一个法向量为 n ? ? x , y, 1? .

?

?

?

?

???? ? 3 ? ? 1? ? ?2 , ? 1 , 3 ? 0 ? 3 ? ?x ? ?? x ,y , ?n ? AC ? 0 因为 ? ???? 即? , 所以 ? ,0 , 1? ? 2 即n ?? ? ?, 1? ? ? 0 ,2 ,0 ? ? 0 ?y ? 0 ? ? 2 ? ?n ? CC1 ? 0 ? ?? x ,y , ?
???? 由(1)可知: CB1 是平面 ABC1 的一个法向量.
? 3 ? ,0 ,1? ???? ? ? ? ? 0 ,3 , ? 3 ???? 2 n ? CB1 7 ? ? ?? 所以 cos ? n ,CB1 ?? , ???? ? 7 3 n ? CB1 ?1 ? 9 ? 3 4

?

?

?

?

所以二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值为 19. (本小题满分 12 分) 【答案】

7 . 7

(1)由圆 R 的方程知圆 R 的半径 r ? 2 2 ,因为直线 OP , OQ 互相垂直,且和圆 R 相切,所
2 2 ? y0 ? 16 以 OR ? 2r ? 4 ,即 x0

① ②

又点 R 在椭圆 C 上,所以

2 x0 y2 ? 0 ?1 24 12

-7-

? ?x ? 2 2 联立①②,解得 ? 0 ,所以,所求圆 R 的方程为 x ? 2 2 y ? 2 2 ? ? 0

?

? ? ? y ? 2 2?
2

2

? 8.

(2)因为直线 OP : y ? k1 x 和 OQ : y ? k2 x 都与圆 R 相切,所以

k1 x0 ? y0 1 ? k12

?2 2 ,

k2 x0 ? y0
2 1 ? k2

? 2 2 ,化简得 k1 ? k2 ?

2 y0 ?8 2 x0 ?8

,因为点 R ? x0 ,y0 ? 在椭圆 C 上,所以

2 x0 y2 ? 0 ? 1, 24 12


1 2 x0 1 1 2 2 ,所以 k1 k2 ? 2 2 ? ? . y0 ? 12 ? x0 2 2 x0 ? 8 4?

(3)○ 1 当直线 OP 、 OQ 不落在坐标轴上时,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 ,y2 ? , 由(2)知 2k1k2 ? 1 ? 0 ,所以 在椭圆 C 上,所以
2 y1 y2 1 2 2 ? 1 ,故 y12 y2 ,因为 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 ,y2 ? , ? x12 x2 x1 x2 4

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1, 24 12 24 12 1 ?? 1 2? 1 2 2 1 1 ? 2 2 即 y12 ? 12 ? x12 , y2 ,所以 ?12 ? x12 ??12 ? x2 ? 12 ? x2 ? ? x1 x2 , 2 ?? 2 ? 4 2 2 ?

1 ? ? 1 2? ? 2 2 ? ?12 ? x12 ? ? ?12 ? x2 整理得 x12 ? x2 ? 24 ,所以 y12 ? y2 ? ? 12 , 2 ? ? 2 ? ?
2 2 2 2 所以 OP2 ? OQ2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? x12 ? x2 ? y12 ? y2 ? 36 .

?

? ?

?

2 当直线 OP 、 OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP ○ 综上: OP2 ? OQ2 ? 36 . 20. (本小题满分 12 分) 【答案】

2

? OQ2 ? 36 .

(1)由题 A ? 0 ,b ? , F1 为 QF2 的中点.设 F1 ? ?c ,0? ,F2 ? c ,0 ? ,则 Q ? ?3c ,0 ? ,

???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? AQ ? ? ?3c ,? b ? , AF2 ? ? c ,? b ? ,由题 AQ ? AF2 ,即 AQ ? AF2 ? ?3c2 ? b2 ? 0 ,
∴ ?3c2 ? a2 ? c2 ? 0 即 a 2 ? 4c 2 ,∴ e ?

?

?

c 1 ? . a 2

(2)由题 Rt△QAF2 外接圆圆心为斜边 QF2 的中点 F1 ? ?c ,0 ? ,半径 r ? 2 c , ∵由题 Rt△QAF2 外接圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,∴ d ? r ,即 ∴ c ? 1 , a ? 2c ? 2 , b ? 3 ,故所求的椭圆 C 的方程为
?c ? 3 2 ? 2c ,即 c ? 3 ? 4c ,

x2 y 2 ? ?1. 4 3

-8-

(3)设 M ? x1 ,y1 ? , N ? x2 ,y2 ? ,由题 y1 ,y2 异号, 设 △F1MN 的内切圆的半径为 R ,则 △F1MN 的周长为 4a ? 8 ,

S△F1MN ?

1 ? MN ? F1M ? F1N ? R ? 4R , 2

因此要使 △F1MN 内切圆的面积最大,只需 R 最大,此时 S△F1MN 也最大,

S△F1MN ?

1 F1F2 ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 , 2

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,
? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得 3m2 ? 4 y2 ? 6my ? 9 ? 0 , ? ? 1 ? 3 ?4

?

?

由韦达定理得 y1 ? y2 ?
S△ F1MN ? y1 ? y2 ?

?6m ?9 , y1 y2 ? 2 , ( ? ? 0 ?m ? R ) 2 3m ? 4 3m ? 4
2

? y1 ? y2 ?

? 4 y1 y2 ?

12 m2 ? 1 , 3m2 ? 4

令 t ? m2 ? 1 ,则 t ? 1 , S△ F1MN ?

12t 12 ? ? t ? 1? , 3t 2 ? 1 3t ? 1 t

当 t ? 1 时, S△F1MN ? 4R 有最大值 3,此时, m ? 0 , Rmax ? 故 △F1MN 的内切圆的面积的最大值为 21. (本小题满分 12 分 ) 【答案】 (1) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3?t ? 1? x ? 3t ? 3? x ? 1?? x ? t ? ,

3 , 4

9? ,此时直线 l 的方程为 x ? 1 . 16

1? 单调递减,在 ?1 ,2? 单调递增, ①当 0 ? t ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0 ,t ? 上单调递增,在 ? t ,

∴ f ? t ? ? f ? 2? ,由 f ? t ? ? f ? 2? ,得 ?t 3 ? 3t 2 ? 4 在 0 ? t ? 1 时无解, ②当 t ? 1 时,不合题意;
1? 单调递增,在 ?1 ,t ? 递减,在 ? t ,2 ? 单调递增, ③当 1 ? t ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0 ,

1 3 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? 5 ? ? ? t ?3 ∴? 即 ?2 2 ,∴ ? t ? 2 , 3 ? ?1 ? t ? 2 ? ?1 ? t ? 2
1? 单调递增,在 ?1 ,2 ? 单调递减,满足条件, ④当 t ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0 ,
-9-

综上所述: t ? [

5 , ? ?) 时,存在 x0 ? ? 0 ,2 ? ,使得 f ? x0 ? 是 f ? x ? 在 ?0 ,2? 上的最大值. 3

1 ∴ g ? x ? ? g ? 0? ? 1 ? 3t ? 0 ,满足条件,∴ t 的取值范围是 (0 , ] . 3
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 【答案】
? x2 y 2 ? x ? 2cos ? (1)曲线 C : ? 可化为 ? ?1, 4 3 ? ? y ? 3 sin ?

其轨迹为椭圆,焦点为 F1 ? ?1 ,0 ? , F2 ?1 ,0 ? . 经过 A 0 , 3 和 F2 ?1 ,0 ? 的直线方程为

?

?

x y ? ? 1 ,即 3x ? y ? 3 ? 0 . 1 3 3 ,倾斜角为 30 ? , 3

(2)由(1)知,直线 AF2 的斜率为 ? 3 ,因为 l ? AF2 ,所以 l 的斜率为
? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 ( t 为参数). 所以 l 的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2

代入椭圆 C 的方程中,得 13t 2 ? 12 3t ? 36 ? 0 . 因为 M ,N 在点 F1 的两侧,所以 MF1 ? NF1 ? t1 ? t2 ? 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
12 3 . 13

- 10 -

设 f ? x? ? x ? 3 ? x ? 4 . (1)解不等式 f ? x ? ? 2 ; (2)若存在实数 x 满足 f ? x ? ? ax ? 1 ,试求实数 a 的取值范围. 【答案】

(2)函数 y ? ax ? 1 的图象是过点 ? 0 , ? 1? 的直线, 当且仅当函数 y ? f ? x ? 与直线 y ? ax ? 1 有公共点时,存在题设的 x . 由图象知, a 的取值范围为 ? ?? ,? 2? ? [

1 ,? ?) . 2

- 11 -


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