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立体几何3—5讲 点、线面的位置关系


第3讲
【2013 年高考会这样考】

空间点、直线、平面之间的位置关系

1.本讲以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力. 2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 【复习指导】 1.掌握平面的基本性质,在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位 置关系及等角定理. 2.异面直线的判定与证明是本部分的难点,定义的理解与运用是关键.

基础梳理 1.平面的基本性质 (1)公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3)公理 3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且 所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

?共面直线?平行 ? ? ?相交 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内 ?
(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′ 所成的锐角或直角叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π? ? ②范围:?0,2?. ? ? 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

两种方法 异面直线的判定方法: (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 三个作用 (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在 平面内. (2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 解析 空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交不交于一点的三条直线确 ).

定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;故 D 正确. 答案 D ).

2.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 解析

B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线, 但不可能为平行直线, b∥c, 若

则 a∥b,与已知 a、b 为异面直线相矛盾. 答案 C ).

3.(2011· 浙江)下列命题中错误的是(

A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ

D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析 对于 D, 若平面 α⊥平面 β,则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β,甚至可能平行于

平面 β,其余选项均是正确的. 答案 D

4.(2011· 武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面 直线( A.12 对 解析 ). B.24 对 C.36 对 D.48 对

如图所示,与 AB 异面的直线有 B1C1;CC1,A1D1,DD1 四条,因为各棱具有相同的位置且正方体 共有 12 条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线 答案 B 12×4 =24(对). 2

5.两个不重合的平面可以把空间分成________部分. 答案 3或4

考向一

平面的基本性质

【例 1】?正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点,那么,正方体的过 P、

Q、R 的截面图形是(
A.三角形

). C.五边形 D.六边形

B.四边形

[审题视点] 过正方体棱上的点 P、Q、R 的截面要和正方体的每个面有交线. 解析

如图所示,作 RG∥PQ 交 C1D1 于 G,连接 QP 并延长与 CB 交于 M,连接 MR 交 BB1 于 E,连接 PE、

RE 为截面的部分外形.

同理连 PQ 并延长交 CD 于 N,连接 NG 交 DD1 于 F,连接 QF,FG. ∴截面为六边形 PQFGRE. 答案 D 画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可 确定.作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快的确定交线的位置. 【训练 1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,则四个点 共面的图形是________.

解析

在④图中,可证 Q 点所在棱与面 PRS 平行,因此,P、Q、R、S 四点不共面.可证①中四边形

PQRS 为梯形;③中可证四边形 PQRS 为平行四边形;②中如图所示取 A1A 与 BC 的中点为 M、N
可证明 PMQNRS 为平面图形,且 PMQNRS 为正六边形. 答案 ①②③ 考向二 【例 2】?如图所示, 异面直线

正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. [审题视点] 第(1)问,连结 MN,AC,证 MN∥AC,即 AM 与 CN 共面;第(2)问可采用反证法. 解

(1)不是异面直线.理由如下: 连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1.又∵A1A 綉 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCDA1B1C1D1 是正方体, ∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B?平面 α,CC1?平面 α, ∴D1,B、C、C1∈α,与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线. 证明两直线为异面直线的方法 (1)定义法(不易操作). (2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过 严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. 【训练 2】 在下图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、

MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

解析

如题干图(1)中,直线 GH∥MN;

图(2)中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面; 图(3)中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图(4)中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN,

∴GH 与 MN 异面.所以图(2)、(4)中 GH 与 MN 异面. 答案 (2)(4) 考向三 异面直线所成的角

【例 3】?(2011· 宁波调研)正方体 ABCDA1B1C1D1 中. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. [审题视点] (1)平移 A1D 到 B1C,找出 AC 与 A1D 所成的角,再计算.(2)可证 A1C1 与 EF 垂直. 解

(1)如图所示,连接 AB1,B1C,由 ABCDA1B1C1D1 是正方体, 易知 A1D∥B1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° .

(2)如图所示,连接 AC、BD,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,

AC⊥BD,AC∥A1C1,
∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD,∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° . 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图 中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面 直线所成的角通常放在三角形中进行. 【训练 3】 A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点.

(1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共 面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线. (2)解

如图,取 CD 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角,即为异 面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45° ,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45° . 2 考向四 【例 4】?正方体 点共线、点共面、线共点的证明

ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证:
(1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. [审题视点] (1)由 EF∥CD1 可得; (2)先证 CE 与 D1F 相交于 P,再证 P∈AD. 证明 (1)如图,连接 EF,CD1,A1B.

∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE、D1F、DA 三线共点. 要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用平面的 基本性质 3,即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点 也在此直线上.

【训练 4】 如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别 是边 BC、CD 上的点,且 证明

CF CG 2 = = ,求证:三条直线 EF、GH、AC 交于一点. CB CD 3

∵E、H 分别为边 AB、AD 的中点,

1 CF CG 2 ∴EH 綉 BD,而 = = , 2 CB CD 3 ∴

FG 2 = ,且 FG∥BD. BD 3

∴四边形 EFGH 为梯形,从而两腰 EF、GH 必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF,EF?平面 ABC,∴P∈平面 ABC.

同理,P∈平面 ADC. ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上,故 EF、GH、AC 三直线交于一点.

阅卷报告 10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误

【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线 的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、 相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断. 【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析. 【示例】?(2011· 四川)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 错因 实录 受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情况. 甲同学:A 乙同学:C ).

丙同学:D. 正解 在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错;两平行线中的一条垂直

于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B 正确;相互平行的三条直 线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三 条侧棱,故 D 错. 答案 B

【试一试】 (2010· 江西)

过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,这样的直 线 l 可以作( A.1 条 ). B.2 条

C.3 条 [尝试解答]

D.4 条 如图,连结体对角线 AC1,显然 AC1 与棱 AB、AD,AA1 所成的角都相等,所成角

的正切值都为 2.联想正方体的

其他体对角线,如连结 BD1,则 BD1 与棱 BC、BA、BB1 所成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,同理,体对角线 A1C、DB1 也与棱 AB、AD、

AA1 所成的角都相等,过 A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线都满足题意,故这样的直线 l 可以
作 4 条. 答案 D

第4讲
【2013 年高考会这样考】

直线、平面平行的判定及其性质

1.考查空间直线与平面平行,面面平行的判定及其性质. 2.以解答题的形式考查线面的平行关系. 3.考查空间中平行关系的探索性问题. 【复习指导】 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化为平面问题,解答过 程中叙述的步骤要完整,避免因条件书写不全而失分. 2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化,牢记解决问 题的根源在“定理”.

基础梳理 1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定

(1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α; (3)其他判定方法:α∥β;a?α?a∥β. 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?α∥β; (3)推论:a∩b=M,a,b?α,a′∩b′=M′,a′,b′?β,a∥a′,b∥b′?α∥β. 5.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α?a∥β; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b. 6.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α?a∥b; (2)a⊥α,a⊥β?α∥β.

一个关系 平行问题的转化关系:

两个防范 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与 交线平行. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下面命题中正确的是( ).

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ 解析 C.②③④ D.③④

①②中两个平面可以相交,③是两个平面平行的定义,④是两个平面平行的判定定理.

答案

D ).

2.平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是( A.平行 C.异面 答案 D ). B.相交 D.平行或异面

3.(2012· 银川质检)在空间中,下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a?α,则 a∥β 解析

若 a∥α,b∥a,则 b∥α 或 b?α,故 A 错误;由面面平行的判定定理知,B 错误;若

α∥β,b∥α,则 b∥β 或 b?β,故 C 错误. 答案 D

4.(2012· 温州模拟)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则下列命题中正 确的是( ).

A.m∥n,m⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β 解析 选项 A 中,如图①,n∥m,m⊥α?n⊥α 一定成立,A 正确;选项 B 中,如图②,α

∥β,m?α,n?β?m 与 n 互为异面直线,∴B 不正确;选项 C 中,如图③,m⊥α,m⊥n? n?α,∴C 不正确;选项 D 中,如图④,m?α,n?α,m∥β,n∥β?α 与 β 相交,∴D 不正 确.

答案

A

5.(2012· 衡阳质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位 置关系为________.

解析

如图.

连接 AC、BD 交于 O 点,连结 OE,因为 OE∥BD1,而 OE?平面 ACE,BD1?平面 ACE,所 以 BD1∥平面 ACE. 答案 平行

考向一 【例 1】?(2011· 天津改编)如图,

直线与平面平行的判定与性质

在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,O 为 AC 的中点,M 为 PD 的中点. 求证:PB∥平面 ACM. [审题视点] 连接 MO,证明 PB∥MO 即可. 证明 连接 BD, MO.在平行四边形 ABCD 中, 因为 O 为 AC 的中点, 所以 O 为 BD 的中点. 又

M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB?平面 ACM,MO?平面 ACM,所以 PB∥平面 ACM. 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否 已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线 作一平面找其交线. 【训练 1】 如图,若

PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点,求证:AF∥平面 PCE.

证明

取 PC 的中点 M,连接 ME、MF,

1 则 FM∥CD 且 FM=2CD.

1 又∵AE∥CD 且 AE=2CD, ∴FM 綉 AE,即四边形 AFME 是平行四边形. ∴AF∥ME,又∵AF?平面 PCE,EM?平面 PCE, ∴AF∥平面 PCE. 考向二 【例 2】?如图, 平面与平面平行的判定与性质

在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N、P 分别为所在边的中点. 求证:平面 MNP∥平面 A1C1B; [审题视点] 证明 MN∥A1B, MP∥C1B. 证明 连接 D1C,则 MN 为△DD1C 的中位线,

∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B. 而 MN 与 MP 相交,MN,MP 在平面 MNP 内,A1B,C1B 在平面 A1C1B 内.∴平面 MNP∥平 面 A1C1B. 证明面面平行的方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个 平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

【训练 2】 如图,

在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綉 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB.∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 考向三 【例 3】?如图所示, 线面平行中的探索问题

在三棱柱 ABCA1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一 点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. [审题视点] 取 AB、BB1 的中点分别为 E、F,证明平面 DEF∥平面 AB1C1 即可. 解 存在点 E,且 E 为 AB 的中点.

下面给出证明: 如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF, 则 DF∥B1C1. ∵AB 的中点为 E,连接 EF, 则 EF∥AB1. B1C1 与 AB1 是相交直线, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE?平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C1. 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果出 发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果 找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.

【训练 3】 如图,

在四棱锥 PABCD 中, 底面是平行四边形, PA⊥平面 ABCD, M、 分别为 BC、 的中点. 点 N PA 在 线段 PD 上是否存在一点 E,使 NM∥平面 ACE?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在, 请说明理由. 解 在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.

证明如下:如图,取 PD 的中点 E,连接 NE,EC,AE, 1 因为 N,E 分别为 PA,PD 的中点,所以 NE 綉2AD.

1 又在平行四边形 ABCD 中,CM 綉2AD.所以 NE 綉 MC,即四边形 MCEN 是平行四边形.所 以 NM 綉 EC. 又 EC?平面 ACE,NM?平面 ACE,所以 MN∥平面 ACE, 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.

规范解答 13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题 【问题研究】 高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心,以多面体为 载体结合平面几何知识,考查判定定理、性质定理等内容,难度为中低档题目. 【解决方案】 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其注意对正棱柱、 正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用,进行空间线面关系的相互转化. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 山东)如图,

在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD =A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD. 第(1)问转化为证明 BD 垂直 A1A 所在平面;第(2)问在平面 A1BD 内寻找一条线与 CC1 平行. [解答示范] 证明 (1)因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,

所以 D1D⊥BD.(1 分) 又因为 AB=2AD,∠BAD=60° , 在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos 60° =3AD2,所以 AD2+BD2=AB2, 因此 AD⊥BD.(4 分) 又 AD∩D1D=D, 所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1?平面 ADD1A1, 故 AA1⊥BD.(6 分)

(2)如图,连结 AC,A1C1, 设 AC∩BD=E,连结 EA1, 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 1 所以 EC=2AC.(8 分) 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知 A1C1∥EC 且 A1C1=EC,所以四边形 A1ECC1 为平行四边 形,(10 分) 因此 CC1∥EA1. 又因为 EA1?平面 A1BD, CC1?平面 A1BD, 所以 CC1∥平面 A1BD.(12 分) 证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质,更要注意对几何体的几何特征 的灵活应用.证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理.另外根据几何体的数据, 通过计算也可得到线线垂直的关系,所以要注意对几何体中的数据的正确利用. 【试一试】 (2010· 安徽)

如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB, ∠BFC=90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 BDEF 的体积. [尝试解答] (1)证明 设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点.连 EG,GH,由于 H 为

1 BC 的中点,故 GH 綉2AB. 1 又 EF 綉2AB,∴EF 綉 GH. ∴四边形 EFHG 为平行四边形. ∴EG∥FH,而 EG?平面 EDB,∴FH∥平面 EDB.

(2)证明 由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC. 又 EF∥AB,∴EF⊥BC. 而 EF⊥FB,∴EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH. ∴AB⊥FH.又 BF=FC,H 为 BC 的中点, ∴FH⊥BC.∴FH⊥平面 ABCD. ∴FH⊥AC.又 FH∥EG,∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面 EDB. (3)解 ∵EF⊥FB,∠BFC=90° ,∴BF⊥平面 CDEF.

∴BF 为四面体 BDEF 的高. 又 BC=AB=2,∴BF=FC= 2. 1 1 1 VB-DEF=3×2×1× 2× 2=3.

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第5讲

直线、平面垂直的判定及其性质
【2013 年高考会这样考】 1.以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定,经常与命题或充要条件相结合. 2.以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定.考查空间想象能力、逻辑思维能力,考查转化 与化归思想的应用能力. 3.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,运用公理、定理和已获得的结论,证明一 些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题. 【复习指导】 1.垂直是立体几何的必考题目,且几乎每年都有一个解答题出现,所以是高考的热点,是复 习的重点.纵观历年来的高考题,立体几何中没有难度过大的题,所以复习要抓好三基:基 础知识,基本方法,基本能力. 2.要重视和研究数学思想、数学方法.在本讲中“化归”思想尤为重要,不论何种“垂直” 都要化归到“线线垂直”,观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口.

基础梳理 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一直线的两平面平行. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

一个关系 垂直问题的转化关系 判定 判定 线线垂直面面垂直? ? ? ? ? ?线面垂直? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 性质 性质 三类证法 (1)证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90° ; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; ④线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; ②判定定理 1: m、n?α,m∩n=A? ??l⊥α; l⊥m,l⊥n ?

③判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α; ④面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; ⑤面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的是( A.l 与平面 α 内的两条直线垂直 B.l 与平面 α 内无数条直线垂直 C.l 与平面 α 内的某一条直线垂直 D.l 与平面 α 内任意一条直线垂直 解析 答案 由直线与平面垂直的定义,可知 D 正确. D ).

2.(2012· 安庆月考)在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 解析

).

选项 A,平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线;选项 B,两个相交平面的交

线与某一条直线平行,则这条直线平行于这两个平面;选项 C,两个相交平面可以同时垂直 于同一个平面;选项 D 正确. 答案 D

3.(2012· 兰州模拟)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( A.①② B.②③ 解析 题. 由 a∥γ,b∥γ,不能判定 a、b 的关系,故③是假命题.④是直线与平面垂直的性质定理. 答案 C ). C.①④ D.③④

由公理 4 知①是真命题.在空间内 a⊥b,b⊥c,直线 a、c 的关系不确定,故②是假命

4.(2011· 聊城模拟)设 a、b、c 表示三条不同的直线,α、β 表示两个不同的平面,则下列命题 中不正确的是( A. c⊥α ? ??c⊥β α∥β? ? ??b⊥c c是a在β内的射影? b?β,a⊥b B. b∥c C. c?α D. b?α??c∥α ).

? ?

a∥α? ??b⊥α b⊥a?

解析 答案

由 a∥α,b⊥α 可得 b 与 α 的位置关系有:b∥α,b?α,b 与 α 相交,所以 D 不正确. D

5.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________. 解析 答案 由线面垂直知,图中直角三角形为 4 个. 4

考向一 【例 1】?(2011· 天津改编)如图,

直线与平面垂直的判定与性质

在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45° ,AD=AC=1,O 为 AC 的中 点,PO⊥平面 ABCD. 证明:AD⊥平面 PAC. [审题视点] 只需证 AD⊥AC,再利用线面垂直的判定定理即可. 证明 ∵∠ADC=45° ,且 AD=AC=1.

∴∠DAC=90° ,即 AD⊥AC, 又 PO⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, ∴PO⊥AD,而 AC∩PO=O, ∴AD⊥平面 PAC. (1)证明直线和平面垂直的常用方法有: ①判定定理; ②a∥b, a⊥α?b⊥α; ③α∥β, a⊥α?a⊥β;④面面垂直的性质. (2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直. 【训练 1】 如图,

已知 BD⊥平面 ABC, 1 MC 綉2BD,AC=BC,N 是棱 AB 的中点. 求证:CN⊥AD. 证明 ∵BD⊥平面 ABC,CN?平面 ABC,∴BD⊥CN.

又∵AC=BC,N 是 AB 的中点. ∴CN⊥AB. 又∵BD∩AB=B, 而 AD?平面 ABD, ∴CN⊥平面 ABD. ∴CN⊥AD.

考向二 【例 2】?如图

平面与平面垂直的判定与性质

所示,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD. [审题视点] 证明 BD⊥平面 PAD,根据已知平面 PAD⊥平面 ABCD,只要证明 BD⊥AD 即可. 证明 在△ABD 中,由于 AD=4,BD=8,AB=4 5,

所以 AD2+BD2=AB2.故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD,所以 BD⊥平面 PAD. 又 BD?平面 MBD,故平面 MBD⊥平面 PAD. 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有:判定定理法、平行线法 (若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法, 本题就是用的面面垂直性质定理法,这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核 心方法.

【训练 2】 如图所示,

在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M. 证明 ∵A1B1⊥平面 B1C1CB,BM?平面 B1C1CB,∴A1B1⊥BM,

由已知易得 B1M= 2, 又 BM= BC2+CM2= 2,B1B=2, ∴B1M2+BM2=B1B2,∴B1M⊥BM. 又∵A1B1∩B1M=B1,∴BM⊥平面 A1B1M. 而 BM?平面 ABM,∴平面 ABM⊥平面 A1B1M. 考向三 【例 3】?如图, 平行与垂直关系的综合应用

在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD. [审题视点] 第(1)问需证明 EF∥AD;第(2)问需证明 BD⊥平面 EFC. 证明 (1)在△ABD 中,因为 E、F 分别是 AB、BD 的中点,

所以 EF∥AD. 又 AD?平面 ACD,EF?平面 ACD, 所以直线 EF∥平面 ACD. (2)在△ABD 中, 因为 AD⊥BD,EF∥AD,所以 EF⊥BD. 在△BCD 中,因为 CD=CB,F 为 BD 的中点,

所以 CF⊥BD. 因为 EF?平面 EFC,CF?平面 EFC, EF 与 CF 交于点 F,所以 BD⊥平面 EFC. 又因为 BD?平面 BCD,所以平面 EFC⊥平面 BCD. 解答立体几何综合题时,要学会识图、用图与作图.图在解题中起着非常重要的作 用,空间平行、垂直关系的证明,都与几何体的结构特征相结合,准确识图,灵活利用几何 体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键. 【训练 3】 如图,

正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE. 证明 (1)设 AC 与 BD 交于点 G.

1 因为 EF∥AG,且 EF=1,AG=2AC=1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形, 所以 AF∥EG.因为 EG?平面 BDE,AF?平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE. (2)如图,连接 FG.

因为 EF∥CG,EF=CG=1, 且 CE=1, 所以四边形 CEFG 为菱形. 所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC. 又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD,

且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC, 所以 BD⊥平面 ACEF. 所以 CF⊥BD. 又 BD∩EG=G. 所以 CF⊥平面 BDE. 考向四 【例 4】?(2012· 无锡模拟) 线面角

如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. [审题视点] (1)转化为证明 AC⊥平面 PDB;(2)AE 与平面 PDB 所成的角即为 AE 与它在平面 PDB 上的射影所成的角. (1)证明

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD.∵PD⊥底面 ABCD, ∴PD⊥AC.又 PD∩BD=D, ∴AC⊥平面 PDB.又 AC?平面 AEC, ∴平面 AEC⊥平面 PDB. (2)解 设 AC∩BD=O,连接 OE.

由(1)知,AC⊥平面 PDB 于点 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角. 1 ∵点 O、E 分别为 DB、PB 的中点,∴OE∥PD,且 OE=2PD.

又∵PD⊥底面 ABCD,∴OE⊥底面 ABCD,∴OE⊥AO. 1 2 在 Rt△AOE 中,OE=2PD= 2 AB=AO,∴∠AEO=45° . 即 AE 与平面 PDB 所成的角为 45° . 求直线与平面所成的角,一般分为两大步: (1)找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成; (2)计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解. 【训练 4】 (2012· 丽水质检)

如图,已知 DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分别 为 AE,AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. (1)证明 因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点,所以 PQ∥EB. 又 DC∥EB,因此 PQ∥DC,PQ?平面 ACD,DC?平面 ACD,从而 PQ∥平面 ACD. (2)解 如图,连接 CQ,DP.

因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC, 所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC,EB∥DC, 所以 EB⊥平面 ABC. 因此 CQ⊥EB,又 AB∩EB=B, 故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC,又 PQ=2EB=DC, 所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DP∥CQ, 因此 DP⊥平面 ABE,∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角,

5 在 Rt△DPA 中,AD= 5,DP=1,sin∠DAP= 5 . 5 因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 5 .

阅卷报告 11——证明过程推理不严密而丢分 【问题诊断】 高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题,难度为中低档题,大多数考 生会做而得不到全分,往往因为推理不严密,跳步作答所致. 【防范措施】 解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算题要有明确 的计算过程,不可跨度太大,以免漏掉得分点.引入数据要明确、要写明已知、设等字样.要养 成良好的书写习惯. 【示例】?(2011· 江苏)如图,

在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 错因 实录 在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误. (1)在△PAD 中, 因为 E, 分别为 AP、 的中点, F AD 所以 EF∥PD, 所以 EF∥平面 PCD.

(2)△ABD 为正三角形, ∴BF⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD ∴BF⊥平面 PAD,∴平面 BEF⊥平面 PAD. 正解

(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD.

又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD,所以直线 EF∥平面 PCD. (2)如图,连结 BD. 因为 AB=AD,∠BAD=60° , 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平 面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 【试一试】 如图

所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为 PC、BD 的中点, 2 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= 2 AD. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD. [尝试解答] (1)连接 AC,则 F 是 AC 的中点,E 为 PC 的中点,故在△CPA 中,EF∥PA,

又∵PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又∵CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD, 2 ∴CD⊥PA.又 PA=PD= 2 AD, ∴△PAD 是等腰直角三角形, π 且∠APD=2,即 PA⊥PD. 又∵CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PCD. 又∵PA?平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PCD.


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