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5.3平面向量的数量积及应用



高考总复习 · 课标版 · 数学(文) 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) (对应学生用书P103) 1.两个向量的夹角 (1)定义 → =a, → 已知两个 非零 向量 a 和 b, 作OA OB =b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)范围 向量夹角 θ 的范围是 0°≤θ≤180° , a 与 b 同向时, 夹角 θ= 0°;a 与 b 反向时,夹角 θ= 180°. . 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) (3)向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 90° ,则 a 与 b 垂直,记 作 a⊥b . 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) 2.平面向量数量积的意义 (1)a, b 是两个非零向量, 它们的夹角为 θ, 则数 |a |· |b |· cos |b|· cos θ θ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a· b,即 a· b= |a|· 规定 0· a=0. 当 a⊥b 时,θ=90° ,这时 a· b= 0 . (2)a· b 的几何意义 a· b 等于 a 的长度|a |与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的 . 乘积 . 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) 问题探究 1:b 在 a 上的投影是向量吗? 提示:不是,b 在 a 上的投影是一个数量|b |cos θ ,它可 以为正,可以为负,也可以为 0. 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) 3.向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a= |a|cos 〈a,e〉 . (2)a⊥b? a· b=0 (3)a· a= 且 a· b=0? a⊥b . |a|2 ,|a |= a· a. a· b |b| (4)cos 〈a,b〉= |a|· . (5)|a· b| ≤ |a ||b |. 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) 4.数量积的运算律 a (1)交换律 a· b= b· (2)分配律(a+b)· c= . a· c+b· c . b = a· (λb) . (3)对 λ∈R,λ(a· b)= (λa)· 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) 问题探究 2:数量积的运算满足结合律吗? 提示:数量积的运算不满足结合律,即(a· b)c=a (b· c)不 成立.这是由于(a· b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b· c) 表示一个与 a 共线的向量, 因此(a· b)c 与 a(b· c)一般是不相等 的. 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) 5.数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 (1)a· b= a1b1+a2b2 (2)a⊥b? (3)|a |= . . a1b1+a2b2=0 2 a2 + a 1 2 . a1b1+a2b2 2 2 2 2 a + a b + b (4)cos 〈a,b〉= 1 2 1 2 . 课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业 高考总复习 · 课标版 · 数学(文) (对应学生用书 P


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