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江苏省宿迁市2015届高三上学期期中模拟(一)数学试卷



2015 届高三数学期中模拟(一)
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上) 1. 设全集为 R ,集合 A ? {x | 1 ? x ? 4} ,集合 B ? {x | x ? 3 ? 0} ,则 A ? (? R B )= ▲ 2. 若 z z ? 9 (其中 z 表示复数 z 的共轭复数) ,则复

数 z 的模为 3. 函数 f ( x) ?



1 log 1 (2 x ? 1)
2

的定义域为



4. 已知向量 a ? ( 3,1) , b ? (0,?1) , c ? (k , 3) ,若 (a ? 2b) // c ,则 实数 k ? 5. 数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ?1 ,则{ an }的通项公式 an = 6. 已知 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ?



▲ ▲ ▲

2 的零点在区间 ?k , k ? 1??k ? N ? 上,则 k 的值为 x

7. 已知 a, b 为非零向量,且 a, b 夹角为 8. 函数 y ?

a b ? ? ,若向量 p ? ,则 | p |? 3 |a| |b|

1 x ? sin x, x ? [0,2? ] 的单调增区间为 2



9. 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 若 在 区 间 [?2,0) ? (0,2] ,

?ax ? b,?2 ? x ? 0 )? ,则 f (2015 f ( x) ? ? ?ax ? 1,0 ? x ? 2


1 1 ? ,则此函数 4x 2x

10.己知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 的值域为



11. 设函数 f ( x) ? 2 sin(

?
6

x?

?
3

)( ?2 ? x ? 10) 的图像与 x 轴交于点 A ,过点 A 的直线 l 与

函数 f ( x) 的图像交于另外两点 B, C . O 是坐标原点,则 (OB ? OC) ? OA =



12.若函数 f ( x) 定义在 R 上的奇函数,且在 (??,0) 上是增函数,又 f (2) ? 0 ,则不等式

xf ( x ? 1) ? 0 的解集为



2 2 13. 已知函数 f ( x) ? x ? mx? | 1 ? x | (m ? R) ,若 f ( x) 在区间 (?2,0) 上

有且只有 1 个零点,则实数 m 的取值范围是 14.图为函数 f ( x) ?





x (0 ? x ? 1) 的图象,其在点 M(t, f(t))处的切线为 l,

切线 l 与 Y 轴和直线 y=1 分别交于点 P, Q,点 N (0,1) ,若△PQN 的面积为 b

时的点 M 恰好有两个,则 b 的取值范围为 ▲ 。 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。 15.(本小题满分 14 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。已知 a=1, b=2,cosC= (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos (A-C)的值。 16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 2 x . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 在区间 [?1, a ? 2] 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 17. (本小题满分 14 分) 已知{ an}为等比数列,其中 a1=1,且 a2, a3+a5,a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(2n-1)?an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 18.(本小题满分 16 分) 如图, 半径为 30cm 的圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料 OABC, 其中点 B 在圆弧上,点 A, C 在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设 OB 与矩形 材料的边 OA 的夹角为 ? ,圆柱的体积方 V cm3。 (I)求 V 关于 ? 的函数 关系式,并写 出定义域? (II)求圆柱形罐子体积 V 的最大值。 19、已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的极值; (2)求函数 h( x) ? f ( x)? | x ? a | ( a 为实常数)的单调区间; (3)若不等式 ( x ? 1) f ( x) ? k ( x ? 1) 对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

1 。 4

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? x . (1)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数; (2)令 g ( x) ? 范围; (3)在(2)的条件下,对任意 t ? (1, ??), s ? (0,1) ,求证: g (t ) ? g ( s ) ? e ? 2 ? .

ax2 ? ax 1 ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在(0, )内有极值,求实数 a 的取值 e f ( x) ? x
1 e

答案:1、 {x | 3 ? x ? 4}

1 2、3 3、 (? ,0) 2

4、1 11、32

5、 an ? 2 n?1

6、1

7、 3

12、 (0,1) ? (?3,?1)
11 16

? 5? 8、 ( , ) 3 3 1 13、 m ? 或 m ? 1 2

1 1 1 10、 [? , ] 2 4 4 1 8 14、 ( , ) 4 27

9、

15、答案: (1)5 (2)

16、答案:
? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? (1) f ( x ) ? ?0, x ? 0 ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?
(2)要使 f ( x) 在 [?1, a ? 2] 上递增,则 ?

?a ? 2 ? ?1 ?a ? 2 ? 1

?1 ? a ? 3

17:

设 在 等 比 数 列 { an

} 中 , 公 比 为

q, 由 题 意 可 知

1-x 1 19、解: (1)g (x)=lnx-x+1,g′(x)=x -1= x , 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, 可得 g (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 故 g (x)有极大值为 g (1)=0,无极小值. (2)h(x)=lnx+|x-a|. 1 当 a≤0 时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+x >0 恒成立, 此时 h(x)在(0,+∞)上单调递增;
?lnx+x-a,x≥a, 当 a>0 时,h(x)=? ?lnx-x+a,0<x<a.

1 ①当 x≥a 时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+x >0 恒成立, 此时 h(x)在(a,+∞)上单调 递增; 1-x 1 ②当 0<x<a 时,h (x)=lnx-x+a,h′(x)=x -1= x . 当 0<a≤1 时,h′(x)>0 恒成立,此时 h(x)在(0,a)上单调递增; 当 a>1 时,当 0<x<1 时 h′(x)>0,当 1≤x<a 时 h′(x)≤0, 所以 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减. 综上,当 a≤1 时,h(x )的增区间为(0,+∞) ,无减区间; 当 a>1 时,h(x)增区间为(0,1) , (a,+∞) ;减区间为(1,a) . 2 2 (3)不等式(x -1)f (x)≥k(x-1) 对一切正实数 x 恒成立, 即(x2-1)lnx≥k(x-1)2 对一切正实数 x 恒成立. 当 0<x<1 时,x2-1<0;lnx<0,则(x2-1)lnx>0; 当 x≥1 时,x2-1≥0;lnx≥0,则(x2-1)lnx≥0. 因此当 x>0 时, (x2-1)lnx≥0 恒成立. 又当 k≤0 时,k(x-1)2≤0,故当 k≤0 时, (x2-1)lnx≥k(x-1)2 恒成立. 下面讨论 k>0 的情形. k(x-1) 当 x>0 且 x≠1 时, (x2-1)lnx-k(x-1)2=(x2-1)[lnx- ]. x+1 k(x-1) 1 2k x 2 ? 2(1 ? k ) x ? 1 设 h(x)=lnx- ( x>0 且 x≠1) , h' ( x) ? ? . ? x+1 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 记△=4(1-k)2-4=4(k2-2k) . ① 当△≤0,即 0<k≤2 时,h′(x)≥0 恒成立, 故 h(x)在(0,1)及(1,+∞)上单调递增. 于是当 0<x<1 时,h(x)<h(1)=0,又 x2-1<0,故(x2-1) h(x)>0, 即(x2-1)lnx>k(x-1)2. 当 x>1 时,h(x)>h(1)=0,又 x2-1>0,故(x2-1) h(x)>0, 即 (x2-1)lnx>k(x-1)2. 20、(1)? f (0) ? 0 ? x ? 0是y ? f ( x)的一个零点. …………………1 分

当x ? 0时,f ( x ) ? x( x 2 ? 1 ?

1 1 ), 设? ( x ) ? x 2 ? 1 ? x x

?? ?( x ) ? 2 x ?

1 2 x3

? 0,?? ( x)在( 0, ? ?)上单调递增
1 ? 0. ?? ( x )在( 1,2)上有唯一零点 2

? ? (1) ? ?1 ? 0,? (2) ? 3 ?

? y ? f ( x)在?0, ? ??上有且仅有 2个零点 ……………………………………4
(2)? g( x ) ?

ax2 ? ax ax( x ? 1) a ? ln x ? ? ln x ? ? ln x 3 x ?x x( x ? 1)( x ? 1) x ?1

(0,1) ? ( 1, ? ?) 定义域为

? g?( x ) ?

1 a x 2 ? 2 x ? 1 ? ax x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ……………………5 ? ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

1 设h( x ) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 1, 要使y ? g ( x )在(0, )上有极值, ? h ( x ) ? x 2 ? ( a ? 2) x ? 1 ? 0 e 2 有两个不同的实根 x 1 , x2 ,? ? ? (a ? 2) ? 4 ? 0 ? a ? 0或a ? ?4
………………………………………………………………………8

1 1 1 而且一根在 (0, )间,不妨设 0 ? x1 ? , 又因为 x 1 x2 ? 1,? 0 ? x1 ? ? e ? x2 e e e

1 1 1 ? h (0) ? 1,?只需h ( ) ? 0, 即 2 ? ( a ? 2) ? 1 ? 0 e e e ………………10 1 ?a ? e ? ? 2 e
(3)由( 2)知,x ? (1, x2 )时,g?( x) ? 0, 则g ( x)单调递减

x? (x 2 ? ?)时,g( x)单调递增

? g( x)在( 1, ? ?)上有最小值 g ( x2 ) 即?t ? ( 1, ? ?),都有g(t ) ? g ( x2 )

………………………………11

又当x ? (0, x1 ), g ?( x) ? 0 ? g ( x)单调递增 当x ? ( x1 ,??), g ?( x) ? 0,? g ( x)单调递减

? g( x)在(0, 1)上有最大值 g( x1 ) 即对?s ? (0,1),都有g(s) ? g ( x1 )

…………………………………………12

1 又 ? x1 ? x2 ? 2 ? a, x1 x2 ? 1,? x1 ? (0, ), x2 ? (e,?? ) e

? g(t ) ? g ( s ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ln x2 ?

a a ? ln x1 ? x2 ? 1 x1 ? 1

x2 a a 1 2 ? ? ? ln x2 ? x2 ? ( x2 ? e) ………………………13 x1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 1 1 设k ( x ) ? ln x 2 ? x ? ? 2 ln x ? x ? x x 2 1 ? k ?( x ) ? ? 1 ? 2 ? 0 x x 1 ? k ( x )在( e,?? )上单调递增, ? k ( x ) ? k ( e) ? 2 ? e ? e 1 ? g (t ) ? g ( s ) ? e ? ? 2 …………………………………………………16 e ? ln



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