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邯郸市2014年高三第二次模拟考试文科数学能力测试 2014.4



邯郸市 2014 年高三第二次模拟考试

文科数学能力测试
一.选择题(共 12 小题) 1.已知集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A A. {0} B. {?1, 0} C. {0,1}

2014.4

B?
D. {?1, 0,1}


2.复数 z 满足 ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? A. ?2 ? 2i B. ?2 ? 2i C. 2 ? 2i D. 2 ? 2i 3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,根

? ? 0.68x ? ? 54.6 ,利用下 据收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求得回归直线方程 y
表中数据推断 a 的值为 零件数 x (个) 加工时间 y ( min ) A. 68.2 B. 68 10 62 20 30 75 C. 69 40 81 50 89 D. 67

a

0) (4, 0) ,则双曲线方程为 4.已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (?4, ,

x2 y 2 ? ?1 A. 4 12

x2 y 2 ? ?1 B. 12 4

x2 y 2 ? ?1 C. 10 6

x2 y 2 ? ?1 D. 6 10

5.如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长均为 2,其正(主)视图如图所示,则此三棱柱 侧(左)视图的面积为 A. 2 2 B. 4 C.

3

D. 2 3

6.函数 y ? x 2 cos x 部分图象可以为

A

B

C

D

7.如图是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 5 时,输出 y 的结果恰好是 关系式是

1 ,则①处的 3

A. y ? x

1 3

B. y ? x ?3

C. y ? 3 x

D.

y ? x3
8.四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1、2、3、4 号位上(如图) ,第一次 前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,?这样交替进行下去,那么第 202 次互换座位 后, 小兔坐在第 号座位上

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

9.已知等比数列前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 16 ,则 S 8 ? A. 160 B. 64 C. ? 64 D. ? 160 10.若在区间 ?0, 2? 中随机地取两个数,则这两个数中较小的数大于 A.

2 的概率是 3

1 3

B.

2 3

C.

4 9

D.

1 9

11.已知四面体 P ? ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO ? 平面 ABC , AB ? 2 AC , 若四面体 P ? ABC 的体积为

9 3 ,则该球的表面积为 16
C. 16? D.

A.

9 ? 2

B.

32? 3

9?

? a( | a ? R ) 在 [? 1 , 1上 ] 的 最 大 值 为 M (a) , 则 函 数 12 . 已 知 函 数 f ( x)? | x

g ( x)? M ( x? ) |2 x ? 的零点的个数为 1|
A. 1 个 B. 2 个 二.填空题(共 4 小题) C. 3 个 D. 4 个

?x ? y ? 0 ? 13.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为_______________. ?0 ? x ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 14.已知 a ? 1 , b ? (1, 3) , b ? a ? a ,则向量 a 与向量 b 的夹角为_______________.

?

?

15.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、b、c, a ? 1 , B ? 等于 3 时,

?
3

,当 ?ABC 的面积

tan C =_______________.

16 .如图所示点 F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,点 A、B 分别在抛物线

y 2 ? 8x 及圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 16 的实线部分上运动,且 AB 总是平行
于 x 轴, ,则 ?FAB 的周长的取值范围是_______________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17 . 已 知 {an } 为 正 项 等 比 数 列 , a2 ? 3, a6 ? 243 , Sn 为 等 差 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 ,

b1 ? 3, S5 ? 35 .
(I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 Tn ? a1b1 ? a2b2 ?

? anbn ,求 Tn .

18.某城市随机抽取一个月(30 天)的空气质量指数 API 监测数据,统计结果如下:

API
空气质量 天数

[0,50]
优 2

(50,100]
良 4

(100,150]
轻微污染 5

(150, 200]
轻度污染 9

(200, 250]
中度污染 4

(250,300]
中重度污染 3

(300,

重度

3

(I)根据以上数据估计该城市这 30 天空气质量指数 API 的平均值; (II)若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失 S (单位:元)与空气质量指数 API (记为 w )的关系式为

0 ? w ? 100 ?0, ? S ? ?4w ? 400, 100 ? w ? 300 ?2000, 300 ? w ? 350 ?
若在本月 30 天中随机抽取一天, 试估计该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概 率.

? 19.如图,在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 底面 ABC , ?ABC ? 90 , 且 SA ? AB ,点 M 是

SB 的中点, AN ? SC 且交 SC 于点 N .
(I)求证: SC ? 平面 AMN ; (II)当 AB =BC

? 1 时,求三棱锥 M ? SAN 的体积.

x 2 1) ,且在点 P 处的 20.已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 2 x ,曲线 y ? f ( x) 经过点 P(0,

切线为 l:y ? 4 x ? 1 . (I)求 a , b 的值;

- 1? 时 f ( x) ? x ? 2(k ? 1) x ? k 恒成立,求 k 的取值 (II)若存在实数 k ,使得 x ? ?? 2,
2

范围. 21.已知 F1、F2 为椭圆 E 的左、右焦点,点 P(1, ) 为其上一点,且有 PF 1 ? PF 2 ? 4. (I)求椭圆 E 的标准方程;

3 2

E 交于 A、B 两点,过 F2 与 l1 平行的直线 (II)过 F 1 的直线 l1 与椭圆
A

C F E D O

G

B

l2 与椭圆 E 交于 C、D 两点,求四边形 ABCD 的面积 S ABCD 的最大值.
22.如图,已知 AB 为圆 O 的直径, CD 为垂直 AB 的一条弦,垂足为 E , 弦 AG 交 CD 于 F . (I)求证: E、F、G、B 四点共圆; (II)若 GF ? 2 FA ? 4 ,求线段 AC 的长.

? 1 3 x? ? t ? ? 2 2 C l 23.已知圆 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,直线 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?y ? 1 ? 1 t ? ? 2 2
点 A 的极坐标为 (

2 ? , ) ,设直线 l 与圆 C 交于点 P, Q . 2 4

(I)写出圆 C 的直角坐标方程; (II)求 | AP | ? | AQ | 的值. 24.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 4 ; (II)若不等式 f ( x) ? 2a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

邯郸市 2014 届高三二模文科数学答案 一.选择题: 1—5 BDBAD 二.填空题: 13、 ? 3 14、 6—10 ACBAC 11--12 DC
12 ) 16、 (8,

? 3

15、 ? 2 3

? a1q ? 3 ?a ? 1 ?? 1 17. 解: (I) ? 5 ?q ? 3 ? a1q ? 243

? an ? 3n?1 ????????????2 分

?b ? 3 又? 1 ?5b1 ? 10d ? 35

?b ? 3 ?? 1 ?d ? 2

?bn ? 2n ? 1????????????4 分

(II) Tn ? 1? 3 ? 3? 5 ? 32 ? 7 ?

? 3n?1 ? (2n ?1)

3Tn ? 3? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ?
8分

? 3n?1 ? (2n ?1) ? 3n ? (2n ?1) ????????????

相减得 ?2Tn ? 3 ? 3? 2 ? 32 ? 2 ?

3n?1 ? 2 ? 3n ? (2n ? 1)

? 3 ? 2 ? (3 ? 32 ?

3n?1 ) ? 3n ? (2n ?1)

? 3n ? 3n (2n ? 1) ? ?2n ? 3n

?Tn ? n ? 3n ????????????12 分
18. 解: (I)该城市这 30 天空气质量指数 API 的平均值为 (25 ? 2 ? 75 ? 4 ? 125 ? 5 ? 175 ? 9 ? 225 ? 4 ? 275 ? 3 ? 325 ? 3) ? 30 ? 175 ?????? ??4 分 (II)设“在本月 30 天中随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不 超过 600 元”为事件 A 由 200 ? S ? 600 得 150 ? w ? 250 ,????????8 分 根据表格数据得共有 9+4=13 天 13 P ( A) ? ????????12 分 30

所以

19. 解:(I) SA ? 底面 ABC , BC ? SA, BC ? AB ,? BC ? 面SAB ? BC ? AM 又 SA ? AB , M 是 SB 的中点, ? AM ? SB ,? AM ? 面SBC ? SC ? AM 由已知 AN ? SC ,? SC ? 平面 AMN . ????????4 分 (II) SC ? 平面 AMN ? SN ? 平面 AMN
而SA ? AB ? BC ? 1? AC ? 2, SC ? 3



AN ? SC ? AN ?

6 3



AM ? 平面SBC ? AM ? MN ……………………8 分

而 AM ?

2 6 ? MN ? 2 6

1 2 6 3 ? S ?AMN ? ? ? ? 2 2 6 12
1 1 ?VS ? AMN ? S?AMN ? SN ? 3 36 1 ? V M ? SAN ? VS ? AMN ? ????????12 分 36

20. 解: (I) f ?( x) ? e x (ax ? a ? b) ? 2x ? 2 ????????????2 分

?4 ? f ?(0) ?a ? b ? 2 ? 4 ?a ? 1 依题意, ? ,即 ? ,解得 ? .????????4 ? f (0) ? 1 ?b ? 1 ?b ? 1
分 (II)由 f ( x) ? x 2 ? 2(k ? 1) x ? k 得: e x ( x ? 1) ? k (2x ? 1)

- 1? 时, 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?? 2,

? f ( x) ? x 2 ? 2(k ? 1) x ? k 即 e x ( x ? 1) ? k (2x ? 1) 恒成立当且仅当
e x ( x ? 1) k? ??6 分 2x ? 1

设 g ( x) ?

e x ( x ? 1) e x ( 2 x 2 ? 3 x) , x ? ?? 2,?1? , g ?( x) ? 2x ? 1 (2 x ? 1) 2

3 由 g ?( x) ? 0 得 x ? 0(舍去), x ? ? ????8 分 2 3 3 ?0 当 x ? (?2,? )时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (? ,?1)时, g ?( x) 2 2

e x ( x ? 1) 在区间?- 2, - 1? 上的最大值为 ? g ( x) ? 2x ? 1

3 1 ? g (? ) ? e 2 ?????????10 分 2 4

3

?1 ?3 ? 所以常数 k 的取值范围为 ? e 2 ,?? ? ? ?????????????12 分 ?4 ?

21. 解: (I)设椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

由已知 PF1 ? PF2 ? 4 得 2a ? 4 ,? a ? 2
3 1 9 又点 P(1, ) 在椭圆上,? ? 2 ? 1 ? b ? 3 2 4 4b

椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ????4 分 4 3

(II)由题可知,四边形 ABCD 为平行四边形 ? S ABCD =4 S?OAB 设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 ,且 A( x1,y1 )、B( x2 ,y2 )

? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

? y1 ? y2 ?

6m 9 , y1 y2 ? ? 2 ????6 分 2 3m ? 4 3m ? 4 1 1 | OF1 | ? | y1 ? y2 | = | y1 ? y2 | 2 2
m2 ? 1 ????8 分 (3m 2 ? 4) 2

S?OAB = S?OF1A + S?OF1B =
=
1 2

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 = 6

令 m2 ? 1 ? t ,则 t ? 1

S?OAB = 6

1 t =6 ,????10 分 2 1 (3t ? 1) 9t ? ? 6 t



1 g (t ) ? 9t ? 在 [1, ??) 上单调递增 t

? g (t ) ? g (1) ? 10

? S?OAB 的最大值为

3 2

? S ABCD 的最大值为 6. ????12 分
22.解: (I)如图,连结 GB ,由 AB 为圆 O 的直径可知 ?AGB ? 90 又 CD ? AB ,所以 ?AGB ? ?BEF ? 90 因此 E、F、G、B 四点共圆????????????4 分

(II)连结 BC ,由 E、F、G、B 四点共圆得
AF ? AG ? AE ? AB

又 AF ? 2, AG ? 6 ,所以 AE ? AB ? 12 因为在 Rt ?ABC 中, AC 2 ? AE ? AB 所 以 AC ? 2 3 .????????????10 分 23.解: (I)圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ,所以 ? 2 ? 2? cos? 转化成直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x (II)由点 A 的极坐标 ( 即 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ???4 分

1 1 2 ? , ) 得直角坐标 A ( , ) 2 2 2 4

? 1 3 x? ? t ? ? 2 2 将直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数)代入圆 C 的直角坐标方程 ?y ? 1 ? 1 t ? ? 2 2

( x ?1)2 ? y 2 ? 1 得 t 2 ?

3 ?1 1 t? ?0 2 2

设 t1、t2 为方程 t 2 ?

1 3 ?1 1 t ? ? 0 的两个根,则 t1t2 ? ? 2 2 2
1 .????????????10 分 2

所以 | AP | ? | AQ | = | t1t2 |?

?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ?x ? 2 24 解: (1)由 f ( x) ? 4 得, ? ,或 ? ,或 ? ?1 ? 4 ?3 ? 2 x ? 4 ?2 x ? 3 ? 4
1 7 ? 1 7? 解得: x ? ? , 或x ? 原不等式的解集为 ? x x ? ? ,或x ? ? ?????4 分 2 2 2 2? ?

(2)由不等式的性质得: f ( x) ? a ? 1 , 要使不等式 f ( x) ? 2a 恒成立,则 a ? 1 ? 2a ????6 分 解得: a ? ?1 或 a ?
1 ????8 分 3

1? ? 所以实数 a 的取值范围为 ? ? ?, ? .????????????10 分 3? ?

新课 标第 一 网



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