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【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(理)精品课件:第二章 2.7函数的图象



数学 B(理)

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.7 函数的图象

? 基础知识·自主学习

? 题型分类·深度剖析
? 思想方法·感悟提高

? 练出高分

基础知识·自主学习
1.描点法作图

知识梳理

方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;

(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至
变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.

基础知识·自主学习
2.图象变换 (1)平移变换
f(x)+k

知识梳理

f(x+h)

f(x-h)

f(x)-k

基础知识·自主学习
(2)对称变换

知识梳理

关于x轴对称 ①y=f(x)——————→y= -f(x) ; 关于y轴对称 ②y=f(x)——————→y= f(-x) ; 关于原点对称 ③y=f(x)——————→y= -f(-x) ; 关于y=x对称 ④y=ax (a>0 且 a≠1)——————→y=logax(a>0且a≠1) .

基础知识·自主学习

知识梳理

保留x轴上方图象 ⑤y=f(x)————————————→y= |f(x)| . 将x轴下方图象翻折上去 保留y轴右边图象,并作其 ⑥y=f(x)—————————————→y= f(|x|) . 关于y轴对称的图象

基础知识·自主学习
(3)伸缩变换 ①y=f(x)

知识梳理

y= f(ax) .

a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变 ②y=f(x)———————————————————————→ 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变 y= af(x) .

基础知识·自主学习
? 思考辨析

知识梳理

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1) 当 x∈(0 , + ∞) 时 , 函 数 y = |f(x)| 与 y = f(|x|) 的 图 象 相
同.( × )

(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( × )
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( × )

基础知识·自主学习

知识梳理

(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关
于直线x=1对称.( √ ) (5) 将函数 y = f( - x) 的图象向右平移 1 个单位得到函数 y = f(-x-1)的图象.( × ) (6)不论a(a>0且a≠1)取何值,函数y=loga2|x-1|的图象恒 过定点(2,0).( × )

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
B D C

解析

2
3

4

B

与y=ex图象关于y轴对称的函数为y=e-x. 依题意,f(x)图象向右平移一个单位,得y=e-x的图象.

∴f(x)的图象由y=e-x的图象向左平移一个单位得到.
∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

作函数的图象

分别画出下列函数的图象:

(1)y=|lg x|;
? ?lg x y=? ? ?-lg



?x≥1?, x ?0<x<1?

图象如图①.

题型分类·深度剖析
例1 (2)y=2x+2; 解 将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图②.

题型分类·深度剖析
例1 (3) y=x2-2|x|-1;
2 ? x ? -2x-1 y=? 2 ? ?x +2x-1



?x≥0?, ?x<0?.

图象如图③.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例1

x+2 (4)y= . x-1

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例1

x+2 (4)y= . x-1

3 解 因 y=1+ , x-1 3 先作出 y= 的图象, x
将其图象向右平移1个单位,
再向上平移1个单位,
x+2 即得 y= 的图象, x-1

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例1

x+2 (4)y= . x-1

如图④.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例1

x+2 (4)y= . x-1

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|· (x+1);
解 当x≥2,即x-2≥0时,
y=(x-2)(x+1)=x2-x-2
12 9 =(x- ) - ; 2 4

当x<2,即x-2<0时,
y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2
12 9 =-(x- ) + . 2 4

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|· (x+1);
12 9 ? ??x-2? -4,x≥2, ∴y=? ?-?x-1?2+9,x<2. ? 2 4
这是分段函数,每段函数的图象可根 据二次函数图象作出(如图).

题型分类·深度剖析
x+2 (2)y= . x+3
x+2 1 解 y= =1- , x+3 x+3
1 该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 个单位, 再向上平移 1 个 x 单位得到,如下图所示.

题型分类·深度剖析

题型二
例 2

识图与辨图

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 四川 ) 函数 y = )

x3 的图象大致是( x 3 -1

题型分类·深度剖析

题型二
例 2
3

识图与辨图

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 四川 ) 函数 y = )

由3x-1≠0得x≠0,

x 的图象大致是( x 3 -1

x3 ∴ 函数 y = x 的定义域为 3 -1 {x|x≠0},
可排除选项A;

?-1?3 3 当 x=-1 时, y= = >0, 1 2 -1 3 可排除选项B;

题型分类·深度剖析

题型二
例 2

识图与辨图

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 四川 ) 函数 y = )

当x=2时,y=1,

x3 的图象大致是( x 3 -1

64 当 x=4 时,y= , 80
但从选项D的函数图象可以看
出函数在 (0 ,+ ∞) 上单调递 增,两者矛盾,可排除选项D. 故选C.

题型分类·深度剖析

题型二
例 2

识图与辨图

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 四川 ) 函数 y =

当x=2时,y=1,

x3 的图象大致是( C ) x 3 -1

64 当 x=4 时,y= , 80
但从选项D的函数图象可以看
出函数在 (0 ,+ ∞) 上单调递 增,两者矛盾,可排除选项D. 故选C.

题型分类·深度剖析

题型二
例 2

识图与辨图

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 四川 ) 函数 y =

函数图象的识辨可从以下方 面入手: (1) 从函数的定义域,判断图

x3 的图象大致是( C ) x 3 -1

象的左右位臵;从函数的值
域,判断图象的上下位臵;

(2)从函数的单调性,判断图
象的变化趋势;

题型分类·深度剖析

题型二
例 2

识图与辨图

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 四川 ) 函数 y =

x3 的图象大致是( C ) x 3 -1

(3) 从函数的奇偶性,判断图 象的对称性; (4) 从函数的周期性,判断图 象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不 合要求的图象.

题型分类·深度剖析
例2
?-2x?-1≤x≤0?, (2)已知 f(x)=? 则下列函数的图象错 ? x?0<x≤1?,

误的是(

)

题型分类·深度剖析
例2
?-2x?-1≤x≤0?, (2)已知 f(x)=? 则下列函数的图象错 ? x?0<x≤1?,

误的是(
解析

)

先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,再将函数y=f(x)

的图象向右平移 1个单位长度即可得到 y= f(x- 1)的图象,因此 A 正确; 作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到y=f(-x)的图

象,因此B正确;

题型分类·深度剖析
例2
?-2x?-1≤x≤0?, (2)已知 f(x)=? 则下列函数的图象错 ? x?0<x≤1?,

误的是( D )
C正确; y =f(|x|) 的定义域是 [ - 1,1],且是一个偶函数,当 0≤x≤1时,y

y = f(x) 的值域是 [0,2] ,因此 y = |f(x)| 的图象与 y = f(x) 的图象重合,

=f(|x|) = ,相应这部分图象不是一条线段,因此选项D不正 x 综上所述,选D.

题型分类·深度剖析
思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位臵;从函数的值域,判断 图象的上下位臵; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 (1)函数y=xsin x在[-π,π]上的图象是( )

题型分类·深度剖析

解析

容易判断函数y=xsin x为偶函数,可排除D..

π 当 0<x< 时,y=xsin x>0, 2

当x=π时,y=0,可排除B、C,故选A.

答案 A

题型分类·深度剖析
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图 象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )

题型分类·深度剖析
解析 方法一 由y=f(x)的图象知,

? ?x?0≤x≤1?, f(x)=? ? ?1?1<x≤2?.

当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
?1?0≤x≤1?, 所以 f(2-x)=? ?2-x?1<x≤2?, ?-1?0≤x≤1?, 故 y=-f(2-x)=? 图象应为 B. ?x-2?1<x≤2?.

题型分类·深度剖析

方法二 当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1; 当x=1时,-f(2-x)=-f(1)=-1. 观察各选项,可知应选B.

答案 B

题型分类·深度剖析 题型三
例3

函数图象的应用

已知函数f(x)=|x2-4x+3|.

(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;

思维点拨
可利用图象直观得到函数单调性;方程解的个数可转化为函 数图象交点个数.

题型分类·深度剖析 题型三
例3

函数图象的应用

已知函数f(x)=|x2-4x+3|.

(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;

2 ? ? x - 2 ? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, ? f(x)=? 2 ? - ? x - 2 ? +1, x∈?1,3?. ?

作出函数图象如图.
函数的增区间为[1,2],[3,+∞);

函数的减区间为(-∞,1],[2,3].

题型分类·深度剖析 题型三
例3

函数图象的应用

已知函数f(x)=|x2-4x+3|.

(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断

方程是否有解,有多少个解.数形结合是常用的思想方法.
(2)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、 最值等性质.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华

例3

(2)求集合M={m|使方程f(x)

=m有四个不相等的实根}.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华

例3

(2)求集合M={m|使方程f(x)
可利用图象直观得到函数 单调性;方程解的个数可 转化为函数图象交点个 数.

=m有四个不相等的实根}.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华

例3

(2)求集合M={m|使方程f(x) 解 在同一坐标系中作出y=
f(x) 和 y = m 的图象,使两函

=m有四个不相等的实根}.

数图象有四个不同的交点(如
图). 由图知0<m<1, ∴M={m|0<m<1}.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华

(2)求集合M={m|使方程f(x) (1) 利用函数的图象可解决 =m有四个不相等的实根}. 方程和不等式的求解问题, 例3
如判断方程是否有解,有多 少个解.数形结合是常用的 思想方法.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华

例3

(2)求集合M={m|使方程f(x)
(2) 利用图象,可观察函数

=m有四个不相等的实根}.

的对称性、单调性、定义域、
值域、最值等性质.

题型分类·深度剖析
(1)方程x2-|x|+a=1有四个不同的实数解,则a的 5 (1, ) . 取值范围是________ 4 跟踪训练3 解析 方程解的个数可转化为函数y=x2-|x|

的图象与直线y=1-a交点的个数,如图:
1 5 易知- <1-a<0,∴1<a< . 4 4

题型分类·深度剖析
1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 2 2 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 C.(1, 2) D.( 2,2) )

1 解析 方法一 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2, 2
∴logax>4x>1,∴0<a<1. 令f(x)=4x,g(x)=logax,

题型分类·深度剖析
1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 2 2 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 C.(1, 2)
1 1 当 x= 时,f( )=2.(如图) 2 2 1 1 2 令 g( )=loga =2,即 a= . 2 2 2
又∵g(x)=logax,x0∈(0,1),

)

D.( 2,2)

题型分类·深度剖析
1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 2 2 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 C.(1, 2) D.( 2,2) )

a1,a2∈(0,1)且 a1<a2 时,log a2 x0>loga1 x0,

1 ∴要使当 0<x≤ 时,4x<logax 成立, 2 2 需 <a<1.故选 B. 2

题型分类·深度剖析
1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 2 2 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 C.(1, 2) D.( 2,2) )

1 方法二 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2, 2

∴logax>4x>1,∴0<a<1,排除答案C,D;
1 1 取 a= ,x= , 2 2

题型分类·深度剖析
1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( B ) 2 2 2 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 C.(1, 2)
1 则有 4 =2,log =1, 2
1 2
1 2

D.( 2,2)

显然4x<logax不成立,排除答案A;故选B.

题型分类·深度剖析 高频小考点3 高考中的函数图象及应用问题
一、已知函数解析式确定函数图象 典例:函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=log1 f(x)的图象大致是(
2

)

题型分类·深度剖析 高频小考点3 高考中的函数图象及应用问题
一、已知函数解析式确定函数图象 典例:函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=log1 f(x)的图象大致是(
2

)

思维点拨

根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确

定函数图象.

题型分类·深度剖析 高频小考点3 高考中的函数图象及应用问题
一、已知函数解析式确定函数图象 典例:函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=log1 f(x)的图象大致是(
2

)

解析 由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,
所以log 1 f(x)≤0.
2

又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,

题型分类·深度剖析 高频小考点3 高考中的函数图象及应用问题
一、已知函数解析式确定函数图象 典例:函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=log1 f(x)的图象大致是( C )
2

所以y=log 1 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合
2

各选项知,选C.

题型分类·深度剖析 高频小考点3 高考中的函数图象及应用问题
一、已知函数解析式确定函数图象 典例:函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=log1 f(x)的图象大致是( C ) 2 温馨提醒 (1)确定函数的图象,要从函数的性质出发,利用

数形结合的思想.
(2)对于给出图象的选择题,可以结合函数的某一性质或特殊

点进行排除.

题型分类·深度剖析
二、函数图象的变换问题 典例:若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为( )

题型分类·深度剖析
二、函数图象的变换问题 典例:若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为( )

思维点拨

从y=f(x)的图象可先得到y=-f(x)的图象,再得

y=-f(x+1)的图象.

题型分类·深度剖析
二、函数图象的变换问题 典例:若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为( C )

解析 要想由y=f(x)的图象得到y=-f(x+1)的图象,
需要先将y=f(x)的图象关于x轴对称得到y=-f(x)的图象, 然后再向左平移一个单位得到y=-f(x+1)的图象,

根据上述步骤可知C正确.

题型分类·深度剖析
二、函数图象的变换问题 典例:若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为( C )

温馨提醒

(1) 对图象的变换问题,从 f(x) 到 f(ax+ b) ,可以

先进行平移变换,也可以先进行伸缩变换,要注意变换过 程中两者的区别. (2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定.

题型分类·深度剖析

思 维 点 拨

解 析

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析

思 维 点 拨

解 析

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析

思 维 点 拨

解 析

温 馨 提 醒

根据绝对值的意义,
|x2-1| ? ?x+1?x>1或x<-1?, y= =? x-1 ? ?-x-1?-1≤x<1?.

在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.

题型分类·深度剖析

(0,1)∪(1,4)
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

根据图象可知, 当0<k<1或1<k<4时有两个交点.

题型分类·深度剖析

(0,1)∪(1,4)
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

(1)本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括 “以形助数”或“以数辅形”两个方面,本题属于“以形 助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变 抽象思维为形象思维,解释数学问题的本质.

题型分类·深度剖析

(0,1)∪(1,4)
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况,解题时可对方 程或不等式适当变形,选择合适的函数进行作图.

思想方法·感悟提高
1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数

方 法 与 技 巧

图象首先要明确函数图象的位臵和形状: (1)可通过 研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、 单调性等等; (2)可通过函数图象的变换如平移变换、 对称变换、伸缩变换等;(3)可通过方程的同解变形, 如作函数y= 1-x2 的图象.

思想方法·感悟提高
2.合理处理识图题与用图题

方 法 与 技 巧

(1)识图

对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分
布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定

义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图
象与函数解析式中参数的关系.

思想方法·感悟提高
(2)用图

方 法 与 技 巧

函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量

关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题
途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结

合解题的思想方法.常用函数图象研究含参数的
方程或不等式解集的情况.

思想方法·感悟提高

1 .函数图象的每次变换都针对自变量 “x” 而言,

失 误 与 防 范

如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移
1 1. 个单位,其中是把 x 变成 x - 2 2

2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”
的精确,注重数形结合思想的运用.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1
2
x

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 1.函数 y=5 与函数 y=- x的图象关于( C ) 5 A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称
解析

D.直线 y=x 对称

1 y=- x=-5-x, 可将函数 y=5x 中的 x, y 分别换成-x, 5

-y 得到,

故两者图象关于原点对称.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1).若f(1)g(2)<0,

则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是(

)

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析 由f(1)g(2)<0可得g(2)<0,∴0<a<1, 故两个函数均为减函数.

答案 C

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则关于函 1 数y= 的单调区间表述正确的是( ) f?x? A.在[-1,1]上单调递增 B.在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增 C.在[5,7]上单调递增 D.在[3,5]上单调递增

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析 由题图可知,f(0)=f(3)=f(6)=0,
1 所以函数 y= 在 x=0,x=3,x=6 时无定义, f?x?

故排除A、C、D,选B.

答案 B

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是( A ) A.(-1,0) C.(-2,0) B.[-1,0) D.[-2,0)

解析 在同一坐标系内作出y=log2(-x),

y=x+1的图象,知满足条件的x∈(-1,0),
故选A.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.(2014· 山东)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x) =g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(
1 A.(0, ) 2 C.(1,2) 1 B.( ,1) 2 D.(2,+∞)

)

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象, 如图所示, 当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,
1 当直线 g(x)=kx 过 A 点时斜率为2,

答案 B

1 故 f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为( ,1). 2

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1x 6.已知 f(x)=( ) ,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象 3

g(x)=3 对应的函数为 g(x),则 g(x)的表达式为___________ .
x-2

解析

设g(x)上的任意一点A(x,y),则该点关于直线 x=1的

对称点为B(2-x,y),而该点在f(x)的图象上.
1 2 -x ∴y=( ) =3x-2,即 g(x)=3x-2. 3

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
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7.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=

6 . min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为_____ 解析 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.
令x+2=10-x,得x=4.
当x=4时,f(x)取最大值,

f(4)=6.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
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?2 ? , x≥2, x 8.已知函数 f(x)=? 3 ? ? x - 1 ? , x<2. ?

若关于 x 的方程 f(x)=k

(0,1) . 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________
解析 画出分段函数f(x)的图象如图所示,结合 图象可以看出,若f(x)=k有两个不同的实根, 也即函数y=f(x)的图象与y=k有两个不同的交 点,k的取值范围为(0,1).

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1
2 3

A组
4

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x 9.已知函数 f(x)= . 1+x (1)画出 f(x)的草图;
解 x 1 f(x)= =1- ,函数 f(x)的图象 1+x x+1

1 是由反比例函数 y=- 的图象向左平移 1 个单 x 位后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所示.

练出高分
1
2 3

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专项基础训练
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(2)指出f(x)的单调区间. 解 由图象可以看出,函数f(x)有两个单调递增区间: (-∞,-1),(-1,+∞).

练出高分
1
2 3

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10.已知函数f(x)=2x,当m取何值时方程|f(x)-2|=m有一个解,两

个解?

解 令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,
画出F(x)的图象如图所示.
由图象看出,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交

点,原方程有一个解;
当0<m<2时,函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解.

练出高分
11

B组
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13

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11

B组
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11.函数y=e|ln x|-|x-1|的图象大致是(

)

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解析

函数的定义域为(0,+∞).
-ln x

当 0<x<1 时,y=e

1 -1+x= -1+x; x

当x≥1时,y=eln x+1-x=x+1-x=1,故选项D正确.

答案 D

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1 12.函数y= 的图象与函数y=2sin πx (-2≤x≤4)的图 1 -x
象所有交点的横坐标之和等于( )

A.2
解析

B.4
令1-x=t,则x=1-t.

C.6

D.8

由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,所以-3≤t≤3. 又y=2sin πx=2sin π(1-t)=2sin πt.

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1 在同一坐标系下作出 y= 和 y=2sin πt 的图象 . t

由图可知两函数图象在[-3,3]上共有8个交点,
且这8个交点两两关于原点对称.

因此这8个交点的横坐标的和为0,即t1+t2+?+t8=0.
也就是1-x1+1-x2+?+1-x8=0,因此x1+x2+?+x8=8.

答案 D

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13.(2014· 天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|
=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.

解析

设y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|,

在同一直角坐标系中作出y1=|x2+3x|, y2=a|x-1|的图象如图所示.

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由图可知f(x)-a|x-1|=0有4个互异的实数根等价于y1=|x2+3x| 与y2=a|x-1|的图象有4个不同的交点,
?y=-x2-3x, 所以,①? (-3<x<0)有两组不同解 . ?y=a?1-x?

消去y得x2+(3-a)x+a=0有两个不等实根x1,x2, ∴Δ=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0, 又∵x1+x2=a-3<0,x1· x2=a>0,∴0<a<1.

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?y=x2+3x, ②? (x>1)有两组不同解. ?y=a?x-1?

消去y得x2+(3-a)x+a=0有两不等实根x3、x4, ∴Δ=a2-10a+9>0, 又∵x3+x4=a-3>2,∴a>9. 综上可知,0<a<1或a>9.

答案 (0,1)∪(9,+∞)

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14 .设函数 y = f(x + 1) 是定义 在 ( - ∞ , 0)∪(0 ,+ ∞) 上的 偶函数,在区间(-∞,0)是减 函数,且图象过点 (1,0),则不

等 式 (x - 1)f(x)≤0 的 解 集 为
________.

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解析

y=f(x+1)向右平移1个单位得到y=f(x)的图象,由已知可

得f(x)的图象的对称轴为x=1,过定点(2,0),且函数在(-∞,1) 上递减,在(1,+∞)上递增,则f(x)的大致图象如图所示.
不等式(x-1)f(x)≤0
? ?x>1, 可化为 ? ? ?f?x?≤0 ? ?x<1, 或? ? ?f?x?≥0.

由图可知符

合条件的解集为 (-∞,0]∪(1,2].

答案 (-∞,0]∪(1,2]

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15.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.
(1)求实数m的值;

解 ∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4.

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(2)作出函数f(x)的图象;

?x?x-4?=?x-2?2-4,x≥4, f(x)=x|x-4|=? 2 - x ? x - 4 ? =- ? x - 2 ? +4,x<4. ?

f(x)的图象如图所示.

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(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;
解 f(x)的减区间是[2,4].

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(4)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围. 解 从 f(x) 的图象可知,当 a>4或 a<0时,f(x) 的图象与直

线y=a只有一个交点,方程f(x)=a只有一个实数根,即a

的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).

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