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二维形式的柯西不等式大全



二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值, 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 ? a2 ? ? an ≥ n a1a2 an (ai ? R ? , i ? 1, 2, , n) . n 本节, 我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.<

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思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 ? b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:

设 a, b, c, d 为任意实数.
(a ? b )(c ? d )
2 2 2 2





发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数 , 则 (a ? b )(c ? d ) ≥ (ac ? bd ) . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.

你能简明地写出这个定理的证明?
运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考:设 a, b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b

思考解答

变形

二维形式的柯西不等式
? 定理1:(二维形式的柯西不等式)
若a, b, c, d都是实数, 则(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

– 证明思路1:(代数证法)
证明 : (a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 ) ? a 2 c 2 ? b 2 d 2 ? a 2 d 2 ? b 2 c 2 ? (ac ? bd ) 2 ? (ad ? bc ) 2 ? (ac ? bd ) 2

– 证明思路2:(构造向量法)

什么时候“=”成立?

设? ? (a, b), ? ? (c, d ),则? ? a 2 ? b 2 , ? ? c 2 ? d 2 ,

? ? ? ? ac ? bd, 利用? ? ? ? ? ? ? ,两边平方后得证.

运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考 1:设 a, b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b ? R? ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a ? b)( ? ) ≥ ( a ? ? b? ) ?4 a b a b 又 a ? b ? 1, 1 1 ∴ ? ≥4 a b

可以体会到,运用柯西不等式,思路一步到 位,简洁明了!解答漂亮!

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ≥ (ac ? bd )2 . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:

⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a 2 ? b 2 ) ? (c 2 ? d 2 ) ≥ ac ? bd . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.

⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 ? b 2 ) ? (c 2 ? d 2 ) ≥ ac ? bd .

另外由这两个结论,你和以前学过的什么知识 会有联想.

定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 ? , ? 是两个向量 ,则 ? ? ≥ ? ? ? . 当且仅当 ? 是零向量或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立.
注:若 ? ? ( x1 , y1 ) , ? ? ( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 cos ? , ? ? 2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 ) ≥( x1 x2 ? y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.
三角不等式

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 ) ≥( x1 x2 ? y1 y2 )2 .
(发现)定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 ? R, 那么
( x12 ? y12 ) ? ( x22 ? y22 ) ≥ ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 当 且 仅 当

当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.

x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.
y
P 1 ( x1 , y1 )

y

P 1 ( x1 , y1 )
| y1 - y2 |

O
P2 ( x2 , y2 )

x

这个图中有什么 不等关系?

P 2 ( x2 , y2 )
O
| x1 - x2 |

x

柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 , 求 x ? 2 y 的最大值.
变式 1.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 , 求 x ? 2 y 的最大值.

变式 2.已知 3 x ? 2 y ? 6 , 求 x 2 ? y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x ? 2 y ? 6 , 求 x 2 ? 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值.

课堂练习

课堂练习 1: 已知 a,b? R ? , a+b=1, x1 , x2 ? R? ,

求证: ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ x1 x2
分析:如果对不等式左端用柯西不等式,就得不到所 要证明的结论 .若把第二个小括号内的前后项对调一 下,情况就不同了 . 证明:∵ ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? = ? ax1 ? bx2 ? ? ? ax2 ? bx1 ? 由柯西不等式可知

? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ ? a
2

x1 x2 ? b x1 x2

?

2

= ? a ? b ? x1 x2 ? x1 x2 .得证 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、 3、 7、 8 题

37

用柯西不等式证明不等式
a、b 为非负数,a+b=1,x1,x2∈R+. 求证:(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2 【思路分析】 不等号左边为两个二项式积,a、b 为非负数,

x1,x2∈R+,每个两项式可以使用柯西不等式,直接做得不到 预想结论,当把第二个小括号的两项前后调换一下位置,就能 证明结论了.

【证明】

∵a+b=1

∴(ax1+bx2)(bx1+ax2) =(ax1+bx2)(ax2+bx1) ≥(a x1x2+b x1x2)2 =(a+b)2x1x2=x1x2 即(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2 【名师点睛】 用柯西不等式证明不等式时,关键是将不等式

配凑成柯西不等式的形式,通常要拆常数、重新安排某些项的 次序(如例 1)、改变结构(下面的延伸拓展)和添项等.

1.若 a>b>c,

1 1 4 求证: + ≥ a-b b-c a-c

思路分析:初见并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西 不等式了. 证明:∵a-c=(a-b)+(b-c) ∵a>c ∴a-c>0 1 1 ∴结论改为(a-c)( + )≥4 a-b b-c (a-c)( 1 1 1 1 + )=[(a-b)+(b-c)]( + )≥(1+1)2=4 a-b b-c a-b b-c

1 1 4 ∴ + ≥ a-b b-c a-c

?

探究点4

含参变量的柯西不等式的应用

1 1 n 例 4 设 a>b>c,n∈N,且 + + ≥0 恒成 a-b b-c c-a 立,则 n 的最大值是________.

【思路】 分离变量,再考虑如何运用柯西不等式.
【答案】 4

1 1 n 1 1 n 【解析】由 + + ≥0 得 + ≥ , a-b b-c c-a a-b b-c a-c
? 1 1 ? ? ? + 即(a-c)· ?a-b b-c?≥n ? ? ? 1 1 ? ? ? + 恒成立.∵(a-c)· ?a-b b-c?= ? ?

? 1 1 ? ? ? + (a-b+b-c)· ?a-b b-c?≥4,∴n≤4. ? ?

例1. 求函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2x 的最大值
引:

若2x ? 3 y ? 1, 求4x ? 9 y 的最小值, 并求最小值点.
2 2

例2.设实数x, y, z满足x ? 2 y ? 3z ? 3,
2 2 2

求S ? x ? 2 y ? 3z的最大值

若 2 x ? 3 y ? 1, 求 4 x 2 ? 9 y 2的最小值, 并求最小值点.
解 : 由柯西不等式(4 x 2 ? 9 y 2 )(12 ? 12 ) ? ( 2 x ? 3 y )2 ? 1, 1 2 2 ?4x ? 9 y ? . 2 当且仅当2 x ? 1 ? 3 y ? 1, 即2 x ? 3 y时取等号. ? x? ? ?2 x ? 3 y ? 由? 得? ?2 x ? 3 y ? 1 ? y ? ? ?
2 2

变式引申:

1 4 1 6

1 1 1 ? 4 x ? 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6

变式题

已知实数 m,n>0.
2

a2 b2 (a+b) (1)求证:m+ n ≥ ; m+ n ? 1? 2 9 (2)已知函数 y=x+ , x∈?0,2?, 求它的最小值. ? ? 1-2x
【思路】构造符合柯西不等式的平方和.

【解答】 (1)因为 m,n>0,利用柯西不等式,得(m
?a2 b2? ? + ?≥(a+b)2, +n)· n? ?m

a2 b2 (a+b) 所以m+ n ≥ . m+ n 2 9 22 32 (2) 由 (1) , 函 数 y = x + = + 2 x 1-2x 1-2x (2+3)2 ≥ =25, 2x+(1-2x) 2 9 ? ? 1 ?? ?x∈?0, ??的最小值为 25, 所以函数 y=x+ 当 1-2x? ? 2?? 1 且仅当 x= 时取得. 5

2

?

探究点2

用柯西不等式证明不等式

例 2 设 a1,a2,a3 均为正数,且 a1+a2+a3=m, 1 1 1 9 求证: + + ≥m. a1 a2 a3

【思路】利用常数 “1” 的代换,结合三元的均值不等 式或柯西不等式求解.

【解答】证法 1:由已知条件和均值不等式有:
?1 1 1? 1 1 1 1 + + =m(a1+a2+a3)?a +a +a ? a1 a2 a3 ? 1 2 3?

1 ? ?a1 a2? ?a2 a3? ?a1 a3?? =m?3+?a +a ?+?a +a ?+?a +a ?? ? ? 2 ? 3 ? 3 1? 2? 1?? 1 9 ≥m(3+2+2+2)=m, m 当且仅当 a1=a2=a3= 时,等号成立. 3

例4.Δ ABC之三边长为4,5,6,P为三角形 內部一点P,P到三边的距离分別为x,y,z, 求x2+y2+z2的最小值。
C

6 F z x A D 4 B P y E 5

C

4 ? 5 ? 6 15 解: s ? ? 2 2
?ABC面积=
A

6 F z x D 4 B P y E 5

15 7 5 3 15 7 s( s ? a)(s ? b)(s ? c) ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4

1 15 7 又 (4 x ? 5 y ? 6 z ) ? 2 4 4 x ? 5 y ? 6 z ? 15 7 2
而 2+z2)(42+52+62) (4x+5y+6z)2≤(x2+y225 x2+y2+z2?

44

课外思考: 1.已知 a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1, 求证: a ? b ? 1 . 2.设 a,b,c 为正数且不相等,求证: 2 2 2 9 ? ? ? . a?b b?c c?a a?b?c ? 3. 设 x1 , x2 , ?, xn ? R , 求证:
2 2
2 2

x x x x2 ? ? ? ? ≥ x1 ? x2 ? x2 x3 xn x1 ( 1984 年全国高中数学联赛题)

2 1

2

2 n ?1

2 n

? xn

作业:课本 P 习题 3.1 第 1、 3、 7、 8 题 37

已知 a 1 ? b2 ? b 1 ? a 2 ? 1, 求证: a 2 ? b2 ? 1 。 证明:由柯西不等式,得 2 2 2 2 2 2 ? ? ? a 1 ? b ? b 1 ? a ≤ ?a ? ? 1 ? a ? ? ?b ? ? 1 ? b ? ? ? ?1
1 ? b2 ? 当且仅当 时,上式取等号, a 1 ? a2 b

? ab ? 1 ? a 2 ? 1 ? b2 ,
a b ? ?1 ? a
2 2 2

?? 1 ? b ? ,
2

2 2 a ? b ?1 。 于是 注: 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的

分析:我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆,9=? 1 ? 1 ? 1 ? ,
2

2 ? a ? b ? c ? ? ? a ? b? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明: 1 1 ? 1 1 ? ? 1 ? 1 2?a ? b ? c? ? ? ? ? ?? ? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ??? ? ? ? ? ? ? ? ? a?b b?c c?a ? ? a?b b?c c?a ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ??? ? ?? a ? b ? b ? c ? c ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b?c ? ? c?a ? ? ? ? a ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??

?

? ?

? ?

?

? 1 1 1 ? 2 ≥? a ? b ? ? b ? c ? ? c ? a ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 9 ? ? ? ? ? a ? b b ? c c ? a ? ? 2 2 2 9 ? ? ? ≥ a?b b?c c?a a?b?c ?a,b,c 各不相等,? 等号不可能成立,从而原不等式成立。

2

3.证明:在不等式的左端嵌乘以因式 ? x2 ? x3 ? 也即嵌以因式 ? x1 ? x2 ?

? xn ? ,由柯西不等式,得

? xn ? x1 ? ,

?

2 x1 x22 ? ? x2 x3

2 2 xn x ? ?1 ? n xn x1

? ? ( x2 ? x3 ?
2 2

? xn ? x1 )

2 2 ?? ? ? x ? x 1 ? ?? ? ?? 2 ? ? ? ? x ? ?? x 2 ? ? 3? ??

?? ? ?

? x ? ?? x ?
2 2 3

2

?

?x ? ? x ? ? ? ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? x ? ? x ? ? ? n? ? 1? ? 2 2 ? xn ? x1 ? ? ?

? ? ? ?
xn ?1

? x x2 1 ≥? ? x2 ? ? x3 ? ? x x3 ? 2 ? ? x1 ? x2 ?
2 x1 x22 于是 ? ? x2 x3

? ? ? xn ? ? x1 ? ? xn x1 ? xn

? xn ? ,
2
2 2 xn x ? ?1 ? n ≥ x1 ? x2 ? xn x1

? xn .



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