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17-18版:1.1.1 第1课时 集合的含义(步步高)


1.1.1

集合的含义与表示 集合的含义

第 1 课时
学习目标

1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征,并能利用它们进行解题.3.

理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.

知识点一 集合的概念 思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”, 在这句话中, 谁是集合?谁是集合中的元 素?

梳理 元素与集合的概念 (1)把__________统称为元素,通常用________________表示. (2)把______________________叫做集合(简称为集), 通常用________________________表示.

知识点二 元素与集合的关系 1 思考 1 是整数吗? 是整数吗?有没有这样一个数,它既是整数,又不是整数? 2

梳理 元素与集合的关系有且只有两种, 分别为______、 __________, 数学符号分别为______、 ______. 知识点三 元素的三个特性

思考 1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一 个集合?集合元素确定性的含义是什么?

思考 2 构成单词“bee”的字母形成的集合,其中的元素有多少个?

思考 3 “中国的直辖市”构成的集合中, 元素包括哪些?甲同学说: “北京、 上海、 天津、 重庆”;乙同学说:“上海、北京、重庆、天津”,他们的回答都正确吗?由此说明什么? 怎么说明两个集合相等?

梳理 元素的三个特性是指____________、__________、__________. 知识点四 常用数集及表示符号 名称 符号 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

类型一 判断给定的对象能否构成集合 例 1 考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过 20 的非负数; (2)方程 x2-9=0 在实数范围内的解; (3)某班的所有高个子同学; (4) 3的近似值的全体.

反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合, 关键在于是否给出一个明确的标准, 使得对 于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素. 跟踪训练 1 下列各组对象可以组成集合的是( A.数学必修 1 课本中所有的难题 B.小于 8 的所有素数 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.所有小的正数 类型二 元素与集合的关系 命题角度1 判定元素与集合的关系 例 2 给出下列关系: 1 ① ∈R;② 2?Q;③|-3|?N;④|- 3|∈Q;⑤0?N, 2 其中正确的个数为( A.1B.2C.3D.4 反思与感悟 要判断元素与集合的关系,首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集,如 N,R,Q,概念要清晰);其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件. 跟踪训练 2 用符号“∈”或“?”填空. - 2________R; -3________Q; ) )

-1________N; π________Z. 命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理 6 例 3 集合 A 中的元素 x 满足 ∈N,x∈N,则集合 A 中的元素为________. 3-x 反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法 ①使用前提:集合中的元素是直接给出的. ②判断方法:首先明确集合是由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法 ①使用前提:对于某些不便直接表示的集合. ②判断方法: 首先明确已知集合的元素具有什么特征, 然后判断该元素是否满足集合中元素 所具有的特征. 跟踪训练 3 已知集合 A 中元素满足 2x+a>0,a∈R,若 1?A,2∈A,则( A.a>-4 C.-4<a<-2 类型三 元素的三个特性的应用 B.a≤-2 D.-4<a≤-2 )

例 4 已知集合 A 有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合 B 也有三个元素:0,1,x. (1)若-3∈A,求 a 的值; (2)若 x2∈B,求实数 x 的值; (3)是否存在实数 a,x,使 A=B.

反思与感悟 元素的无序性主要体现在: ①给出元素属于某集合, 则它可能表示集合中的任 一元素;②给出两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等. 元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不相等. 跟踪训练 4 已知集合 M 中含有三个元素:2,a,b,集合 N 中含有三个元素:2a,2,b2,

且 M=N,求 a,b 的值.

1.下列给出的对象中,能组成集合的是( A.一切很大的数 C.漂亮的小女孩 2.下面说法正确的是( )

)

B.好心人 D.方程 x2-1=0 的实数根

A.所有在 N 中的元素都在 N*中 B.所有不在 N*中的数都在 Z 中 C.所有不在 Q 中的实数都在 R 中 D.方程 4x=-8 的解既在 N 中又在 Z 中

3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( A.1B.2C.3D.4 4.下列结论不正确的是( )

)

A.0∈NB. 2?QC.0?QD.-1∈Z 5.已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实数 m 为( A.2 C.0 或 3 B .3 D.0,2,3 均可 )

1.考察对象能否构成一个集合,就是要看是否有一个确定的特征(或标准),依此特征(或标 准)能确定任何一个个体是否属于这个总体,如果有,能构成集合,如果没有,就不能构成 集合. 2.元素 a 与集合 A 之间只有两种关系:a∈A,a?A. 3.集合中元素的三个特性 (1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个 元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个 特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合. (2)互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元 素都是不同的. (3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,如由元素 a,b,c 与由元素 b,a,c 组成的 集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.

答案精析 数学 必修 1 学案导学与随堂笔记答案精析学案导学与随堂笔记答案精析

答案精析
问题导学 知识点一 思考 “某人的舅”是一个集合,“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素. 梳理 (1)研究对象 小写拉丁字母 a, b, c, ? (2)一些元素组成的总体 大写拉丁字母 A, B,C,? 知识点二 1 思考 1 是整数; 不是整数.没有. 2 梳理 属于 不属于 ∈ ? 知识点三 思考 1 某班所有的“帅哥”不能构成集合,因“帅哥”无明确的标准.高于 175 厘米的男 生能构成一个集合,因标准确定.元素确定性的含义:集合中的元素必须是确定的,也就是 说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. 思考 2 2 个.集合中的元素互不相同,这叫元素的互异性. 思考 3 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市,因此两个同学的回答都是正确的.由此 说明, 集合中的元素是无先后顺序的, 这就是元素的无序性. 只要构成两个集合的元素一样, 我们就称这两个集合是相等的. 梳理 确定性 互异性 无序性 知识点四 N N*或 N+ 题型探究 例1 解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过 20 的非负数”,所以能构成集合; Z Q R

(2)能构成集合; (3)“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一 个集合; (4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度, 因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值, 所以不能构成集合. 跟踪训练 1 B [A 中“难题”的标准不确定,不能构成集合;B 能构成集合;C 中“一些点”

无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的 一些点”不能构成集合;D 中没有明确的标准,所以不能构成集合.]

例2 B

1 [ 是实数,①对; 2

2不是有理数,②对; |-3|=3 是自然数,③错; |- 3|= 3为无理数,④错; 0 是自然数,⑤错. 故选 B.] 跟踪训练 2 ∈ ∈ ? ? 例 3 0,1,2 6 解析 ∵x∈N, ∈N, 3-x ∴0≤x≤2 且 x∈N. 6 6 当 x=0 时, = =2∈N; 3-x 3 6 6 当 x=1 时, = =3∈N; 3-x 3-1 6 6 当 x=2 时, = =6∈N. 3-x 3-2 ∴A 中元素有 0,1,2. 跟踪训练 3 D [∵1?A,

∴2×1+a≤0,a≤-2. 又∵2∈A,∴2×2+a>0,a>-4, ∴-4<a≤-2.] 例4 解 (1)由-3∈A 且 a2+1≥1,

可知 a-3=-3 或 2a-1=-3, 当 a-3=-3 时,a=0;当 2a-1=-3 时,a=-1. 经检验,0 与-1 都符合要求. ∴a=0 或-1. (2)当 x=0,1,-1 时,都有 x2∈B, 但考虑到集合元素的互异性,x≠0,x≠1,故 x=-1. (3)显然 a2+1≠0.由集合元素的无序性,只可能 a-3=0 或 2a-1=0. 若 a-3=0,则 a=3,A={a-3,2a-1,a2+1}={0,5,10}≠B. 1 若 2a-1=0,则 a= , 2 A={a-3,2a-1,a2+1} 5 5 ={0,- , }≠B. 2 4

故不存在这样的实数 a,x,使 A=B. 跟踪训练 4 解 方法一
2 ? ? ?a=2a, ?a=b , 根据集合中元素的互异性,有? 或? 2 ?b=b ? ? ?b=2a,

? ? ?a=0, ?a=0, 解得? 或? 或 ?b=1 ? ? ?b=0

?a=4, ? 1 ?b=2.

1

再根据集合中元素的互异性,得
?a=0, ? ? 或 ? ?b=1

?a=4, ? 1 ?b=2.

1

方法二 ∵两个集合相等,则其中的对应元素相同.
?a+b=2a+b2, ? ∴? ?a· b=2a· b2, ? ?a+b?b-1?=0, ? 即? ? ?2b-1?=0,② ?ab·



∵集合中的元素互异, ∴a,b 不能同时为零. 1 当 b≠0 时,由②得 a=0,或 b= . 2 当 a=0 时,由①得 b=1,或 b=0(舍去). 1 1 当 b= 时,由①得 a= . 2 4 当 b=0 时,a=0(舍去).
?a=0, ? ∴? 或 ? ?b=1

?a=4, ? 1 ?b=2.
4.C 5.B

1

当堂训练 1.D 2.C 3.C


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