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平面与空间直线和空间中的平行关系- 副本



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平面与空间直线和空间中的平行关系 一、重难点: 1 平面基本性质的理解与应用;文字语言、图形语言、符号语言三种语言的相互转化及两异 面直线的判定与夹角。 2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理 实现“线线” “线面”平行的转化。 二、基础知识 (一)、平面的基本性质及其推论 1、 平面的画法及其表示方法:

2、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示:

图形

符号语言

文字语言(读法) 点 A 在直线 a 上。 点 A 不在直线 a 上。 点 A 在平面 ? 内。

A

a

A?a
A?a

A

a

? A
?
A

A??

A
b a

A??

点 A 不在平面 ? 内。 直线 a 、 b 交于 A 点。 直线 a 在平面 ? 内。

a?b ? A

?
?

a
a

a??

a?? ? ?

直线 a 与平面 ? 无公共点。

?

a

A

a?? ? A

直线 a 与平面 ? 交于点 A 。

? ?? ?l

平面 ? 、 ? 相交于直线 l 。

a ? ? (平面 ? 外的直线 a )表示 a ? ? ? ? 或 a ? ? ? A 。

3、平面的基本性质 公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内 公理 2: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是 一条过这个公共点的直线。 公理 3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 推论 2: 经过两条相交直线有且只有一个平面。
王新敞
奎屯 新疆

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推论 3: 经过两条平行直线有且只有一个平面。 (二) 、空间两条直线 1、空间两直线的位置关系: (1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内,没有公共点; (3)异面——不在任何一个平面内,没有公共点; .. 2、公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式: a // b , b // c ? a // c 。 3、等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 相等。 4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的 锐角(或直角)相等。 5、异面直线判定定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线 是异面直线。推理模式: A ? ? , B ? ? , l ? ? , B ? l ? A B 与 l 是异面直线。 6、 异面直线所成的角: 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作直线 a ? // a , b ? // b , ?, b ? a 所成的角的大小与点 O 的选择无关,把 a ?, b ? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的 角(或夹角) .为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围:
(0,

?
2

]。

7、异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面 直线 a , b 垂直,记作 a ? b 。 8、求异面直线所成的角的方法: 几何法: (1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; (2)找出 与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。 9、两条异面直线的公垂线、距离:和两条异面直线都垂直相交的直线,我们称之为异面直 .... 线的公垂线。理解:因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交,所以公垂线的定义要 注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长 度,叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法:①几何 法; 。 基础训练 1、 下列推断中,错误的是( ) 。 A.A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? C. l ? ? , A ? l ? A ? ? B.A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB

D. A , B , C ? ? , A , B , C ? ? ,且 A、B、C 不共线 ? ? , ? 重合

2、判断下列命题的真假,真的打“√” ,假的打“×” 。 (1)空间三点可以确定一个平面 ( )(2)两条直线可以确定一个平面 ( ) 。 。 (3) 两条相交直线可以确定一个平面 ( ) 4) 。 一条直线和一个点可以确定一个平面 ( ( ) 。 (5)三条平行直线可以确定三个平面( ) (6)两两相交的三条直线确定一个平面 。
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( )(7)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( )(8)若四点不共面, 。 。 那么每三个点一定不共线( ) 。 3、如下图,正四面体 S—ABC 中,D 为 SC 的中点,则 BD 与 SA 所成角的余弦值是( ) 。
3 2 3 2
S D E B

A 3
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B 3
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C 6
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D 6
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4、正六棱柱 A B C D E F ? A1 B1 C 1 D 1 E 1 F1 的底面边长为 1,侧棱 长为
2

A

C

,则这个棱柱的侧面对角线 E 1 D 与 B C 1 所成的角___。

典型题型:异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离 例题、A 是△BCD 平面外的一点,E、F 分别是 BC、AD 的中点, (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角。

A F B E D G C

练习、长方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,已知 AB=a,BC=b, A A1 =c,且 a>b,求: (1)下列异面直线之间的距离:AB 与 C C 1 ;AB 与 A1 C 1 ;AB 与 B 1 C 。 (2)异面直线 D 1 B 与 AC 所成角的余弦值。
A1 D1 B1 C1 E C O B

F
D

A

(三) 、直线与平面平行 1.直线和平面的位置关系: (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点) 2.线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行.推理模式: l ? ? , m ? ? , l // m ? l // ? . 3 线面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交,
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那么这条直线和交线平行.推理模式: l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m . (四) 、平面与平面平行 1.平行平面:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行. 2.平行平面的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么 这两个平面互相平行.推理模式: a ? ? ,b ? ? , a ? b ? P , a // ? ,b // ? ? ? // ? . : 平行平面的判定定理推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的 两条相交直线,那么这两个平面互相平行. 推理模式: a ? b ? P , a 刎 ? , b
? , a ? ? b ? ? P ?, a ? 刎 ? , b ? ? , a // a ?, b // b ? ? ? // ? .

4. 证明两平面平行的方法: (1)利用定义证明。利用反证法,假设两平面不平行,则它们 必相交,再导出矛盾。 (2)判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则 这两个平面平行,这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是:a∩b,a α , b α ,a∥β ,b∥β ,则α ∥β 。 (3)垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是: a⊥α ,a⊥β 则α ∥β (4)平行于同一个平面的两个平面平行。? // ? , ? // ? ? ? // ? 。 5.两个平面平行的性质有五条: (1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简 记为: “面面平行,则线面平行” 。用符号表示是:α ∥β ,a α ,则 a∥β 。 (2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可简 记为: “面面平行,则线线平行” 。用符号表示是:α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b。 (3) 一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 这个定理可用 于证线面垂直。用符号表示是:α ∥β ,a⊥α ,则 a⊥β 。 (4)夹在两个平行平面间的平行线段相等。 (5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。 (五) 、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换

基础巩固训练: 1、若两条直线 m, n 分别在平面α 、β 内,且α //β ,则 m, n 的关 系一定是( ) 。 (A)平行 (B) 相交 (C)异面 (D)平行或异面 2、一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这 两个平面的交线的位置关系是( ). A 异面 B 相交 C 平行 D 不能确定 3、a、b 是两条异面直线,A 是不在 a、b 上的点,则下列结论成立 的是( ) (如图) 。
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A 过 A 有且只有一个平面平行于 a、b B 过 A 至少有一个平面平行于 a、b C 过 A 有无数个平面平行于 a、b D 过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在 典型题型:面面平行的判定与性质 例题、 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,M, z D1 N,Q 分别是棱 A1A,A1B1,A1D1,CB,CC1,CD 的中点,求证:平面 EFG C1 G F ∥平面 MNQ A1 B
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N E A B M Q D C

y

x
练习、如图,在四棱锥 P – ABCD 中,M,N 分别是侧棱 PA 和底面 BC 边的中点,O 是底面平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点. 求证:过 O、M、N 三点的平面与侧面 PCD 平行.

三 家庭作业 1、在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 C C 1 、 AD 的中点,那么异面直线 OE 和 F D 1 所成的角的余弦值等于( )。
10 15
4 2

A

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B

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C 5
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D 3
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2、四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB=2,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的 角等于___________。 3、以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? ④若 a∥?,b??,则 a∥b 其中正确命题的个数是 ( )(A)0 个 (B)1 个 。 (C)2 个 (D)3 个 4、 (2009 湖南卷 5)设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? ) 。

B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ?

5、下列图形中不一定是平面图形的是( ) 。
(A)三角形 (B)菱形 (C)梯形 (D)四边相等的四边形 6、下列说法正确的是 。 ①④ ①空间四边形的对角线一定不相交 ②四个角都是直角的四边形一定是平面图形 ③两两相交的三条直线一定共面 ④ 在空间的四点, 若无三点共线, 则这四点一定不共面
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7、 已知正四棱锥 P—ABCD 的底面边长及侧棱长均为 13, 、 分别是 PA、 上的点, PM∶ M N BD 且 MA=BN∶ND=5∶8。 (1)求证:直线 MN∥平面 PBC; (2)求直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦 值。
P M C N E B

D A

8、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1, D1 C1 CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD。 A1 E D A B1 F G B C

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