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1.1.3集合间的运算(新)



集合间的基本运算
集合之间的基本关系是类比实数之间的关系
得到的,同样类比实数的运算,能否得到集合之 间的运算呢?

想一想

实数有加法运算,那么
集合是否也有“加法”呢?





下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B 之间的关系吗? (

1)A={a,b},B={c,d },C={a,b,c,d}; (2)A={x∣x是有理数},B={x ∣x是无理数}, C={x ∣x是实数}; (3)A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|1<x<8}; B A
-2
1

2

4

6

8

10

C 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组 成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”) 即: A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
Venn图表示: A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

并集例题
例1.⑴设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 则 AUB= {3,4,5,6,7,8} . ⑵设集合A={x|-1<x < 2},B={x|1
则AUB=


x < 3},

{x | ?1 ? x ? 3} .

可以在数轴上表示(2)中的并集,如下图:

[变式 1]若集合 A={1,4,x},B={1,x2},A∪B={1,4,x},则 满足条件的实数 x 有( C ) A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个

并集的性质
A (1) A ? A = ______
B? A (3) A ? B = _______

A (2) A ? ? = ______ B (4) A ? B则A ? B = __________

? A ? B) (5)A_______(

? A ? B) B_______(

A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

思考: 求集合的并集是集合间的一种运 算,那么,集合间还有其他运算吗?

观察下列各个集合,你能说出集合A,B与
集合C之间的关系吗?
(1)A={2,4,6,8,10},B={2,3,5,8,9,12},C={2,8};
(2) A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|4<x<6};

集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的 所有元素组成.

交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成 的集合,称为A与B的交集(intersection set). 记作:A∩B(读作:“A交B”) 即: A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B=

B

?

交集例题
例2.⑴设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},
则 A∩B= 则A ∩ B=

{5,8}



⑵设集合A={x|-1<x < 2},B={x|1 < x < 3},

{x |1 ? x ? 2}.

可以在数轴上表示(2)中的交集,如下图:

[变式 1]若集合 A={ x|y=x2-1 },B={ y|y=x2-1},那么 A∩B= A.{ x|x=0 或 x=1 } C.{(0,-1),(1,0)} B.{ y|y=0 或 y=-1} D.{ y|y≥-1}

D

交集的性质
A (1) A ? A = ______
(2) A ? ? = ______ ?

B? A (3) A ? B = _______
(5)A_______( A ? B)

?

A (4) A ? B则A ? B = __________

? A ? B) B_______(

? ( A ? B) (6)( A ? B)_____
A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B=

B

?

例3.设A ? {-4, 2a -1, a2}, B ? {a -5,1- a,9},
分别求出适合下列条件的a的值,并求出A∪B



9 ? ( A ? B)

② {9} ? A ? B

例4. 已知集合A={x |-2≤x≤4},B={x | x>a}

①若A∩B=φ,求实数a的取值范围;
②若A∩B=A,求实数a的取值范围.
变式1

集合A ? { x | ?2 ? x ? ?1} ? { x | x ? 1}, B ? { x | a ? x ? b} 若A ? B ? { x | x ? ?2}, A ? B ? { x | 1 ? x ? 3}, 求a, b的值.

例 5:设集合 M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}, 若 M∪N=N,则实数 t 的取值范围为________. 若 M∩N=N,则实数 t 的取值范围为________.

变:已知 A ? { x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}
B ? { x | x 2 ? ax ? a ?1 ? 0} 若 A ? B ? B 求实数a的取值。

想一想
方程 ( x -1)( x2 - 3) ? 0 的解集,在有理数范围内有几 个解?分别是什么? 1个 ,{1} 在实数范围内有几个解?分别是什么?

3个解,解集是{1,3, - 3}
在不同的范围内研究问题,结果是不同的,为 此,需要确定研究对象的范围.

全集的概念
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U. 对全集概念的理解 “全集”是一个相对的概念,并不是固定不

变的,它是依据具体的问题来加以选择的.
例如:我们常把实数集R看作全集,而当我们在整 数范围内研究问题时,就把整数集Z看作全集.

提出问题
A={高一(1)班参加足球队的同学},B={高一(1)班没有参加足球 队的同学},U={高一(1)班的同学}.

问题1:集合A,B,U有何关系?
提示:U=A∪B. 问题2:B中元素与U和A有何关系? 提示:B中元素在U中,不在A中.

补集的概念
对于一个集合A,由全集U中 不属于集合A 文字语言 的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的



补集,简称为集合A的补集,记作 ?UA }

义 符号语言 ?UA={x| x∈U,且x?A 图形语言

U A

A

说明:⑴补集的概念必须要有全集的限制.离开了全集, 补集就没有意义了。集合A在不同的全集中补集也不同。 ⑵补集既是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,同 时也是一种思想方法。

例1.⑴设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}, B={3,5,7,8},则 CU B = {1, 2, 4, 6} .

⑵设全集U=R, A={x|-1<x < 2}, CU A ? ? x | x ? 2或x ? ?1? 则 .
⑶设全集U= {x |1 ?

A ? {x |1 ? x ? a} x ? 5} ,



若 CU A ? {x | 2 ? x ? 5} .则 a

? ____ 2

⑷ 设全集 U={1,3,5,7,9},A={1,|a-5|,9),?UA={5,7}, 则 a 的值为________ 8或 2 .

⑹ 已知集合 A={x|x<a},B={x<-1,或 x>0}, 若 A∩(?RB)=?,则实数 a 的取值范围是 .

例2:设全集 U ? {不大于20的素数}, A ? ?C B? ? {3,5} U

19}, ?CU A? ? ?CU B? ? {211} , ?CU A? ? B ? {7,
求集合A,B

请观察A,B,C这些集合之间是什么关系?

x是有理数 a,b

x是无理数 c,d

x 是实数 a,b,c,d

集合A

集合B
A
-2 2 4

集合C
B
6 8 10

C 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.



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