9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 系统复习



第5课时

函数y=Asin(ωx+φ)的

图象及三角函数模型的简单应用

图第 象 5 及课 三时 角 函函 数数 模= 型 的 简 单+ 应 用的

温故夯基·面对高考

考点探究·挑战高考

y Asin(ωx φ)

考向瞭望·把

脉高考

温故夯基·面对高考

1.简谐运动的有关概念

简谐运动图象 振 周期 的解析式 幅

频率

相位 初相

y=Asin(ωx+ 2π 1 ω ωx+φ φ)(A>0,ω>0), __ T= _____ A f=T= ω 2π x∈[0,+∞)

φ

2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的 简图 用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的

简图时,要找五个关键点.如下表所示:

ωx+φ

0

π 2

π

3 π 2



x y= Asin(ωx+ φ)

φ - - π - φ ______ 2π- φ - ______ 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω ω

π

φ



φ

0

A

0

-A

0

思考感悟
在上表的三行中,找五个点时,首先确定哪一

行的数据?
π 3π 提示:第一行,即先使 ωx+φ=0, ,π, , 2 2 2π,然后求出对应的 x 的值.

3 . 函 数 y = sinx 的 图 象 经 变 换 得 到 y = Asin(ωx+φ)的图象的步骤

考点探究·挑战高考

考点突破
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 利用五点作图法画三角函数图象的关键是准

确找出五个关键点,在找五个关键点的过程
中用到了“整体思想”,即把ωx+φ看作一个

整体.

例1 设函数 f(x)=sinωx+ 3cosωx(ω>0)的周

期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间 上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过 怎样的变换而得到.

【思路分析】

要作函数的图象或讨论函数的性

质,应先将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式.

【解】 (1)f(x)=sinωx+ 3cosωx 1 3 π =2( sinωx+ cosωx)=2sin(ωx+ ). 2 2 3 2π 又∵T=π,∴ =π,则 ω=2. ω π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 3 π ∴函数 f(x)的振幅为 2,初相为 . 3

(2)列出下表,并描点画出图象如图.

π 2x+ 3 x π y=2sin(2x+ ) 3

0 π - 6 0

π 2 π 12 2

π π 3 0

3π 2 7π 12 -2

2π 5π 6 0

π (3)把 y=sinx 图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y 3 π π =sin(x+ )的图象, 再把 y=sin(x+ )的图象上所有点的 3 3 1 π 横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到 y=sin(2x+ ) 2 3

π 的图象,然后把 y=sin(2x+ )的图象上所有点 3 的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即 π 可得到 y=2sin(2x+ )的图象. 3

【方法指导】

用“五点法”作图应抓住四条:①将

原函数化为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或 y=Acos(ωx 2π +φ)(A>0,ω>0)的形式;②求出周期 T= ω ;③求出 振幅 A; ④列出一个周期内的五个特殊点, 当画出某指 定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点.

求函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式

妙析 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的确定 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m, M-m M+m 则 A= ,b= . 2 2 2π (2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω= T .

(3)求 φ,常用方法有: ①代入法: 把图象上的一个已知点代入(此时, A, ω, 已知)或代入图象与直线 y=b 的交点求解(此 b 时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②最值法:代入最值点的坐标求 φ.

例2

(2011 年 揭 阳 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) =

π Asin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|< )的图象的一部分如 2 图所示: (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

【思路分析】

(1)函数的最大值为 3,最小值

为-1,周期 T=π,从而 A,b,ω 可求,再代 π 入( ,3),可求 φ 值. 6 (2)根据 y=sinx 的对称轴方程得到所求的对称 轴方程.

【解】 (1)由图象可知, 函数的最大值 M=3, 最小值 m=-1, 3-?-1? 3-1 则 A= =2,b= =1. 2 2 2 π 2π 2π 又 T=2( π- )=π,∴ω= = =2, T π 3 6 ∴f(x)=2sin(2x+φ)+1. π 将 x= ,y=3 代入上式,得 6 π sin( +φ)=1, 3

π π ∴ +φ= +2kπ,k∈Z, 3 2 π π π 即 φ= +2kπ,k∈Z,又∵|φ|< ,∴φ= , 6 2 6 π ∴f(x)=2sin(2x+ )+1. 6 π π π 1 (2)由 2x+ = +kπ(k∈Z),得 x= + kπ, 6 2 6 2 k∈Z, π ∴f(x)=2sin(2x+ )+1 的对称轴方程为: 6 π 1 x= + kπ,k∈Z. 6 2

在确定 φ 值时,也可用五点法确 φ 定,往往以寻找“五点法”中的第一零点(- , ω 0)作为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+ 【名师点评】 φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx+φ π = ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 2 ωx+φ=π; “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx 3π +φ= ;“第五点”为 ωx+φ=2π. 2

互动探究 在例2中,已知不变,求f(x)的对 称中心. 解:由例题可知,
π f(x)=2sin(2x+ )+1. 6 π π k 令 2x+ =kπ,得 x=- + π(k∈Z), 6 12 2 π ∴f(x)=2sin(2x+ )+1 的对称中心为: 6 π 1 (- + kπ,1),k∈Z. 12 2

三角函数模型的应用

(1)根据图象求出解析式或根据解析式作出图
象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单 函数模型. (3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散 点图进行函数拟合,从而得到函数模型.

例3 如图为一个缆车示意图,该缆车半径为

4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60
秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为 始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面 间的距离为h.

(1)求h与θ间关系的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求

h与t之间的函数关系式,并求缆车到达最高
点时用的最少时间是多少?

【思路分析】

(1)以圆心O为原点建立平面直

角坐标系,利用三角函数的定义求出点B的纵

坐标,则h与θ之间的关系式可求.(2)把θ用t
表示出来,代入h与θ的函数关系式即可.

【解】

(1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的平面

直角坐标系,则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ π π π - ,故点 B 的坐标为(4.8cos(θ- ),4.8sin(θ- )), 2 2 2 π ∴h=5.6+4.8sin(θ- ). 2

π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 , 30 π 故 t 秒转过的弧度数为 t, 30 π π ∴h=5.6+4.8sin( t- ),t∈[0,+∞). 30 2 到达最高点时,h=10.4 m. π π π π π 由 sin( t- )=1,得 t- = ,∴t=30, 30 2 30 2 2 ∴缆车到达最高点时,用的最少时间为 30 秒.

【误区警示】

在解答过程中易出现求得B

的坐标为(4.8cosθ,4.8sinθ)的错误,导致错

误的原因是没有理解三角函数的定义.

方法感悟
方法技巧

1.五点法作函数图象及函数图象变换问题
(1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法”

是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作
正、余弦型函数图象时,应取好五个特殊点,

并注意曲线的凹凸方向.

(2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平

移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常
出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论

是哪种变形,切记每一个变换总是对自变量
x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,

而不是“角”变化多少(如例1).

2.由图象确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A、ω、φ 的题
? ? φ ? 型,常常以“五点法”中的第一零点?-ω,0?作为 ? ? ?

突破口,要从图象的升降情况找准第一零点的位 置.要善于抓住特殊量和特殊点(如例 2).

3.对称问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点 均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,± A) 的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对 称轴, 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是 半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

失误防范 1.由函数y=sin x(x∈R)的图象经过变换得 到函数y=A· sin(ωx+φ)的图象,在具体问题 中,可先平移变换后伸缩变换,也可以先伸 缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩,后

平移时要把x前面的系数提取出来.

2.注意复合形式的三角函数的单调区间的 求法.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单 调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一 个整体.在单调性应用方面,比较大小是一 类常见的题目,依据是同一区间内函数的单 调性.

考向瞭望·把脉高考

考情分析
从近 几 年的 广 东高 考 试题 来 看 , 函 数y=

Asin(ωx+φ)的图象和性质一直是高考数学
的热点内容之一,对其图象和性质的考查多 为一个小题,一个大题,一般以基础题的形 式出现,属于低、中档难度的题目,整个命 题过程主要侧重于三角函数的图象及其变换、

求三角函数的解析式.

预测2012年广东高考,仍将以三角函数的图

象及其变换,求三角函数的解析式为主要考
点,重点考查数形结合的思想.

规范解答


(2010 年高考山东卷)(本题满分 12 分)已知函

? 1 1 ?π ? 2 数 f(x)= sin 2xsin φ+ cos xcos φ- sin ?2+φ? ? 2 2 ? ? ?π 1? ? (0<φ<π),其图象过点? , ?. 2? ?6 ?

(1)求 φ 的值;

(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到 1 原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 2 求函数
? π? ? g(x)在?0,4 ?上的最大值和最小值. ? ? ?

cos 2x+1 1 1 【解】 (1)f(x)= sin 2xsinφ+ cos φ- cosφ 2 2 2 1 = (sin2xsin φ+cos 2xcos φ) 2 1 = cos(2x-φ). 3分 2 ?π 1? ? , ?, 又∵f(x)过点? 6 2? ? ? ? ?π ? 1 1 ?π ∴ = cos? -φ?,cos? -φ?=1. ? ? ? 2 2 ?3 ? ? ?3 ? π 由 0<φ<π 知 φ= . 6分 3

π? 1 ? (2)由(1)知 f(x)= cos?2x- ?. 3? 2 ? ? ? 1 将 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐 2 π? 1 ? ? ? 标不变,变为 g(x)= cos?4x-3 ?. 9分 2 ? ? π π π 2π ∵0≤x≤ ,∴- ≤4x- ≤ . 10 分 4 3 3 3 π π 1 当 4x- =0,即 x= 时,g(x)有最大值 ; 3 12 2 π 2π π 1 当 4x- = ,即 x= 时,g(x)有最小值- .12 分 3 3 4 4

名师预测

1 π 1.函数 y=3sin( x+ )的周期、振幅依次是 2 3 ( ) B.4π,-3 D.π,-3

A.4π,3 C.π,3
答案:A

π 2.函数 y=sin(2x+ )的图象( 3 π A.关于点( ,0)对称 3 π C.关于点( ,0)对称 4

)

π B.关于直线 x= 对称 4 π D.关于直线 x= 对称 3

答案:A

3.(2010 年高考大纲全国卷Ⅱ)为了得到函数 y= π π sin(2x- )的图象, 只需把函数 y=sin(2x+ )的图象 3 6 ( ) π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2 答案:B

4. 若函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象关于 y 轴对称, 则 φ 值是________.
π 答案:kπ+ (k∈Z) 2

本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放 点此进入课件目录

谢谢使用



更多相关文章:
三角函数的图象和性质、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(复习教师专用)
三角函数的图象和性质、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(复习教师专用)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。戴氏教育集团营门口校区 高中数学 罗...
高三复习理科数学三角函数学案-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
高三复习理科数学三角函数学案-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应...
2016高三数学一轮复习 第3章 第5课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课时训练 文
2016高三数学一轮复习 第3章 第5课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课时训练 文_数学_高中教育_教育专区。【高考领航】2016 高三数学一轮...
2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含解析
2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含解析_数学_高中教育_教育专区。2015 年高考数学理一轮复习精品资...
2016届高考数学(理)总复习课时演练 第4章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2016届高考数学(理)总复习课时演练 第4章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016届高考数学(理)(...
2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(20)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用
2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(20)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用_高中教育_教育专区。2013届高三江苏专版数学一轮复习课...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(二十一) 函数 y=...
一轮复习第三章 三角函数、解三角形 3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课时规范训练
一轮复习第三章 三角函数、解三角形 3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课时规范训练_数学_高中教育_教育专区。第三章 三角函数、解三角形...
高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。第四节 函数 y=Asin(ω x+φ )...
2015届高三数学(文)湘教版一轮复习课时跟踪检测20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用]
2015届高三数学(文)湘教版一轮复习课时跟踪检测20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用]_高中教育_教育专区。2015届高三数学(文)湘教版一轮复习...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图