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2.2



一元二次不等式的解法 (1)

一、区间的概念:
{x | a ? x ? b} ? ? a, b? {x | a ? x ? b} ? ? a, b ? {x | a ? x ? b} ? ? a, b?
R ? ? ??, ???

{x | x ? a} ? ? a, ???
{x | x ? b} ?

? ??, b ?

注:1、区间也是集合的表达方式之一。 2、a、b叫做区间的端点。

二、引入
2、汽车在遇到紧急情况时,即司机马上刹车,但由于 惯性的作用,刹车后的汽车任会继续往前滑行一段 距离后才会停下,这段距离叫做刹车距离。车速越 快,刹车距离越长,事故发生的可能性越大。 试验表明,某种型号的汽车当速度每小时小于 100千米时,若行驶在水泥路面上,则汽车的刹车 距离s(米)与汽车的速度x(千米/时)有如下关系:
s ? 0.00526 x 2 ? 0.000078 x( x ? 100)

某次交通事故中,测得一肇事汽车的刹车距离大于 45.5米,问这汽车刹车前的车速情况。 根据题意,得 0.00526 x 2 ? 0.000078 x ? 45.5( x ? 100)

三、定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 二次,这样的不等式叫做一元二次不等式。 一般形式: ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a

? 0)

四、一元二次不等式的解法
1、解一元二次不等式:x? -x-2>0 (x-2)(x+1)>0

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 或? ? ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0
? x ? 2或x ? ?1 {x | x ? 2或x ? ?1}

? 原不等式的解集为

2、解一元二次不等式:x? -x-2<0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 (x-2)(x+1)<0 或? ? ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0

??1 ? x ? 2 ? 原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2}

五、例题
1、求不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0的解集
2

2、求不等式 ?3x ? x ? 1 ? 0 的解集
2

3、写出一个一元二次不等式,使它的解集为(-1,3)

4、引例2中肇事汽车发生事故前的车速情况如何?

二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)

△情况 △= b2-4ac

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)
x2=

一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)



△>0

?b? △ 不等式解集为 2a
?b? △ 2a

x1=

{ x | x < x 1或 x>x2}

不等式解集为 {x|x1<x< x2}


△=0 x 0=



?b 2a

不等式解集{x| x≠x0,x∈R}

解集为

? ?



△<0

方程无解

不等式解集为 R(一切实数)

解集为

a<0的情况自己完成

五、解一元二次不等式的一般步骤
一看:

看二次项系数的符号,将不等式转化为标准形式 ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)

二算:计算判别式,进而解方程ax2+bx+c=0.
或因式分解。

三画:画二次函数的大致图像。 四写:根据函数图像,写出不等式的解集。

一元二次不等式的解法 (2)

一、复习

二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)

△情况 △= b2-4ac

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)
x2=

一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)



△>0

?b? △ 不等式解集为 2a
?b? △ 2a

x1=

{ x | x < x 1或 x>x2}

不等式解集为 {x|x1<x< x2}


△=0 x 0=



?b 2a

不等式解集{x| x≠x0,x∈R}

解集为

? ?



△<0

方程无解

不等式解集为 R(一切实数)

解集为

a<0的情况自己完成

二、例题
1、解下列不等式 (1)9 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0

(2)4 x ? x ? 5
2

(3)2x 2 ? x ? 1 ? 0

2、解不等式组: ?7 ? x ? 8x ? 8 ? ?4
2

3 x 2 ? 7 x ?10 ? 0 3、解不等式组: 2 x 2 ?5 x ? 2 ? 0

{

4、解不等式组

? ?9 x ? 6 x ? 1 ? 0 ? 2 ? ??2 x ? x ? 1 ? 0
2

三、思考
1、当k为何值时,关于x的一元二次不等式 x2+(k-1)x+4>0的解集为 ? ??, ?? ??
2、当k为何值时,关于x的不等式 (k-1)x2+(k-1)x+4≥0的解集为_________?



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