高考立体几何小结

立体几何总结 一、 角度
? ? a ?b ? ? ? | a |?|b | a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a1 ? a 2 ? a 3 ?
2 2 2

? ? 空间两个向量的夹角公式 cos ? a , b ??

b1 ? b 2 ? b 3

2

2

2

法向量(平面)：若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ，则称这个向量垂直于平面 ? ，记作 a 叫做平面 ? 的法向量.
? ? ①线与线的夹角： cos ? a , b ?? ? ? a ?b ? ? ? | a |?|b | a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a1 ? a 2 ? a 3 ?
2 2 2

??

，如果 a

??

那么向量 a

b1 ? b 2 ? b 3

2

2

2

??? ?? ? ?? AB ? m ? ①直线与平面的夹角：直线 A B 与平面所成角 ? ? a rc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | A B || m |

②平面与平面的夹角(二面角)：设 n 1 , n 2 分别是二面角 ?

?l??

中平面 ? , ? 的法向量，则 n 1 , n 2 所成的角就是所求

二面角的平面角或其补角大小（ n 1 , n 2 方向相同，则为补角， n 1 , n 2 反方，则为其夹角）.
?? ? ?? ? ?? ? m ?n m ?n 二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? a rc co s ?? ? 或 ? ? a rc co s ?? ? （ m ， n 为平面 ? ， ? 的法向量）. | m || n | | m || n |

特殊情况
? 线与线： ? ①垂直 ? 线与面： ? 面于面： ? ? 线与线： ? ②平行 ? 线与面： ? 面于面： ?

例 1、如图，在四棱锥 O ? A B C D 中，底面 A B C D 四边长为 1 的菱形， ? ?ABC ? , O A ? 底 面 A B C D , O A ? 2 , M 为 O A 的中点，N 为 B C 的中点
4

O M A B N C D

（Ⅰ）证明：直线 M N ‖ 平 面 O C D

；

（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求平面 BOC ? 平面 DOC 所成角的大小； （做） 解：作 A P ? C D 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x , y , z 轴建立坐 标系
A (0, 0, 0 ), B (1, 0, 0 ), P (0, 2 2 ???? ? M N ? (1 ? 2 4 2 4 ??? ? , ? 1), O P ? (0, 2 2
??? ?

, 0 ), D ( ?

2 2

,

2 2

, 0 ), O (0, 0, 2 ), M (0, 0,1), N (1 ?

2 4

,

2 4

, 0)

(1)

,

???? , ? 2 ), O D ? ( ?

2 2

,
????

2 2

, ?2)

设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 n ?O P ? 0, n ?O D ? 0
? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 ? 2 2 ? ? x? y ? 2z ? 0 ? ? 2 2

即

取z ?

2 ,解得 n ? (0, 4,

2)

???? ? ∵ M N ?n ? (1 ?

2 4

,

2 4

, ? 1) ?(0, 4,

2) ? 0

? M N‖ 平 面 O C D
??? ? ???? ? 2 2 2 2

(2)设 A B 与 M D 所成的角为 ? ,∵ A B ? (1, 0, 0 ), M D ? ( ?
??? ???? ? ? A B ?M D 1 ? ∴ co s ? ? ??? ???? ? ,∴ ? ? ? ? 2 3 AB ? M D

,

, ? 1)

, A B 与 M D 所成角的大小为

?
3

二．距离： 求距离的重点在点到平面的距离和异面直线间的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离均可以转化成点到平 面的距离。 向量乘法 a ? b ? a ? b ? co s ? （意义） 空间两点的距离公式： d ①点到面的距离： 设 n 是平面 ? 的法向量，AB 是平面 ? 的一条射线，其中 A ? ? ，则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB ? n | |n|
? ( x 2 ? x1 )
2

? ?

?

?

a ?b ?a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3

? ( y 2 ? y1 )

2

? ( z 2 ? z1 )

2

.

.

??? ?? ? ? ? | AB ? n | ? 点 B 到平面 ? 的距离 d ? （ n 为平面 ? 的法向量， A B 是经过面 ? 的一条斜线， A ? ? ）.2、等体积法。 |n|

②异面直线间的距离： 公垂线：与两直线都垂直的直线。 公垂向量：公垂线所在的向量。

???? ?? ? ? | CD ?n | ? 异面直线间的距离 d ? ( l1 , l 2 是两异面直线，其公垂向量为 n ，C 、 D 分别是 l1 , l 2 上任一点，d 为 l1 , l 2 间 |n|

的距离). 例 2．已知正四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 , A B ? 1, A A1 ? 2, 点 E 为 C C 1 的中点， 点 F 为 B D1 的中点， （1）证明: E F 为异面直线 B D 1与 C C 1 的公垂线； （2）求点 D 1 到平面 B D E 的距离． (3 ) 求直线 A1 B 1 到平面 BEF 的距离。 （做） 解： （1）以 D A , D C , D D1 分别为 x , y , z 轴建立坐标系， 则 B (1,1, 0) ， D1 (0, 0, 2) ， E (0,1,1) ， F ( ,
1 1 2 2 ,1) ，
A A1

D1

C1

B1 F E

D

C

B

??? ? ???? ? ???? ? 1 1 E F ? ( , ? , 0 ) ， C C 1 ? (0, 0, 2 ) ， B D 1 ? (1,1, ? 2 ) ， 2 2 ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? ∴ E F ? B D 1 ? 0, E F ? C C 1 ? 0 ，

∴ E F 为异面直线 B D 1与 C C 1 的公垂线．

（2）设 n ? (1, x , y ) 是平面 B D E 的法向量，∵ D B ? (1,1, 0) ， D E ? (0,1,1)
???? ? ? ? ???? ? ???? ? | B D1 ? n | 2 3 ?? ? ? ∴ n ? D B ? 1 ? x ? 0 ， n ? D E ? x ? y ? 0 ， n ? (1, ? 1,1) ，点 D 1 到平面 B D E 的距离 d ? ． 3 |n|

?

????

????

三、位置关系 ①根据共线向量定理证点共线 欲证点共线,通常先构造共始点的向量,再根据共线向量定理证明. 例 3 ,长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点, N 在 AC 上,且 AN ∶NC = 2 ∶1, E 为 BM 的中点,求证:A1、

②根据相等向量证线共点 欲证线共点, 可先在某线上找出一定点,再证其余各线都过这一定点. 例4

③根据共面向量定理证线(或点) 共面 空间向量基本定理：如果三个向量 a , b , c 不共面，那么对空间任一向量 P ，存在一个唯一的有序实数组 x、y、z，使
p ? xa ? yb ? zc

.
OP ? x OA ? y OB ? z OC

推论： O、 B、 是不共面的四点， 设 A、 C 则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x、 z 使 y、

(这

里隐含 x+y+z≠1). 四、空间几何体 1、空间几何体的侧面积、表面积 2、空间几何体的体积 3．欧拉定理（欧拉公式） ：简单多面体的顶点数 V 、面数 F 及棱数 E 有关系式： V ? F ? E ? 2 例 5、一个正 n 面体共有 8 个顶点，每个顶点处共有三条棱，求 n
王新敞
奎屯 新疆

解：∵ V ? 8 ， E ?

8?3 2

? 12 ，

∴F ? E ? 2 ?V ? 6， ∴n ? 6 ．

练习： 1．已知斜三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中， ? B A C ?

?
2

, ? B A A1 ?

2? 3

, ? C A A1 ?

?
3

A1

，
B1 O A B C

C1

A B ? A C ? 1 ， A A1 ? 2, 点 O 是 B1C 与 B C 1 的交点，

（1）用基向量 A B , A C , A A1 表示向量 A O ； （2）求异面直线 A O 与 B C 所成的角； （3）判定平面 A B C 与平面 B1 B C C 1 所成的角． 2 、已知空间四边形 OABC 中， OA ? BC ， OB ? AC ．求证： OC ? AB ．

??? ???? ???? ?

????

3.如图，在棱锥 P ? A B C D 中，侧面 P D C 是边长为 2 的正三角形， 且与底面垂直，底面 A B C D 是菱形，且 ? A D C ? 6 0 ， M 为 P B 的中点， （Ⅰ）求证： P A ? C D ； （Ⅱ）求二面角 P ? A B ? D 的大小； （Ⅲ）求证：平面 C D M ? 平面 P A B ． (IV) 求棱锥 M-ABCD 的体积。
?

4．在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中，底面是等腰直角三角形， ? ACB ? 90 ，侧棱 AA 1 ? 2 ，
D , E 分别是 CC 1 ，与 A 1 B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是 ? ABD 的重心 G ， （1）

?

B A E A1 B1 G C D C1

求 A 1 B 与平面 ABD 所成角的正弦值； （2）求点 A1 到平面 ABD 的距离．

5.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数 V 和面数 F 有下面的关系：F＝2V－4

6 正四面体 ABCD 的棱长为 a，球 O 是内切球，球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个 小球，求球 O1 的体积． 分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．