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【恒心】【好卷速递】四川省成都外国语学校2012届高三第六次月考数学(理)试题 2



试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、考号准确无误地填写、填涂在答题卡规定的位置上; 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题

卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合要求) 1.当 z ? A.1 则实数 a 的取值范围是

i ?1 2

时, z 100 ? z 50 ? 1 的值等于 B.– 1

2.设全集是实数集 R , A ? x 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? a ? 0 ,若 (C R A) ? B ? B ,
2 2

?

?

C. i

?

?

D.– i

[]

4? ? ? ? 2 3.设甲:函数 f ( x ) ?| x ? mx ? n | 有四个单调区间,乙:函数 g ( x ) ? lg( x ? mx ? n ) 的值
2

A. ? -

? 1 ? ,?? ? ? 4 ?

B. ? ? ? ,- ? 4

?

1?

C. ?-

? 1 ? ,?? ? ? 4 ?

D. ? ? ? ,- ?

?

1?

域为 R,那么甲是乙的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.若

B.必要不充分条件 D.以上均不对 =?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(? ? ? ) sin(

3 3

?
2

,且 ? ? ?0, ? ? ,则 tan(? ?

?
4

) 等于

??)

A. ? 3 ? 2 2 B. ? 3 ? 2 2 C. 2 ? 2 D. 2 ? 2 1 a a a 5.如果数列 a1 , 2 , 3 ,…, n ,…是首项为1 ,公比为 2 的等比数列,bn ? a1 a2 a n ?1 log 2 a n (n ?2 ), lim(b2 ? b ... ? bn ) 等于 3
n ??

A.

1 2

B. 1

C.2

D.4

6.给出下面四个命题: ①过平面外一点,作与该平面成 ? 角的直线一定有无穷多条 ②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题有 A.1 B.2 C.3 D.4 7.定义两种运算: a ? b ?

a2 ? b2 , a ? b ?

( a ? b ) 2 ,则函数 f ( x ) ?
B.偶函数

2? x 为 ( x ? 2) ? 2

A.非奇函数且非偶函数奇函数

本卷第 1 页(共 10 页)

D.奇函数 ??? ? ??? ? ???? ? ?? ?? 8. △ABC 内接于以 O 为圆心, 为半径的圆, 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 , O A 若 1 且 则 C ?B 值为 1 1 6 6 A. ? B. C. ? D. 5 5 5 5

C.奇函数且为偶函数



? ? 9.设 m 为实数,若 ? ( x, y ) ? ? 4 A. 0 ? m ? 3

? x ? 2 y ? 5 ? 0? ? ? 2 2 ? 3 ? x ? 0 ? ? {( x, y ) | x ? y ? 25} ,则 m 的取值范围是 ? mx ? y ? 0 ? ? ?
B. m ?

4 3

C. 0 ? m ?

4 3

D. m ?

4 3

10.在我校的一项竞赛活动中,高中三个年级分别有 1 名、 2 名、 3 名学生获奖, 这 6 名学 生排成一排合影,要求同年级任意两名学生不能相邻,那么不同的排法种数是 A.72 种 B.96 种 C.120 种 D.144 种 11.已知函数 f ( x ) 满足f ( x ) ? 2 f ( ), 当x ?[1,3] , f ( x ) ? ln x ,若在区间 [ , 3] 内,函数

1

1

x g ( x) ? f ( x) ? ax 与 x轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 1 1 ln 3 1 A. (0, ) B. (0, ) C.[ , ) e 2e 3 e
??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

3

D. [

ln 3 1 , ) 3 2e

12.已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ? 1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足

QF ?FP FQ ? 为 Q ,且 QP ?

,动点 P 的轨迹为 C ,已知圆 M 过定点 D ? 0, 2 ? ,圆心 M

在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,则 最大值为 A. 2 B. 2 2 C. 3

l1 l2

?

l2 l1



D. 3 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答卷的横线上.

1 4 ( ) n ?1 ? a n 1 ? 3 ? 2 3 13.设常数 a ? 0 , ? ax ? = 。 lim 3 ? 展开式中 x 的系数为 ,则 n ? ? 1 2 n n x? ? ( ) ?a 3 14. 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等且为 1,A1 在底面 ABC 内的射影为

△ ABC 的中心,则三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积等于
15.定义:


? f ( n,2) f ( 2, n ) ( n ? N *) ,若

f ( x, y ) ? y x ( x ? 0, y ? 0) ,已知数列 {an } 满足: a n

对任意正整数 n ,都有 a n ? a k ( k ? N *) 成立,则 a k 的值为
本卷第 2 页(共 10 页)

.

16.若函数 f ( x ) 在给定区间 M 上存在正数 t,使得对于任意 x ? M ,有 x ? t ? M ,且

f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为 M 上的 t 级类增函数。给出 4 个命题 4 ①函数 f ( x ) ? ? x是 (1, ?? ) 上的 3 级类增函数 x ②函数 f ( x ) ?| log 2 ( x ? 1) | 是 (1, ?? ) 上的 1 级类增函数
③若函数 f ( x ) ? sin x ? ax是 ?

④设 f (x) 是定义 R 在上的函数,且满足:1.对任意 x ? ?0,1? ,恒有 f ( x ) ? 0 ;2.对任意

? ?? ? , ?? ? 上的 级类增函数,则实数 a 的最小值为 2 3 ?2 ?
1 1 f (x ? ) 2

x1 , x2 ? ?0,1? ,恒有

f ( x1 ) f (1 ? x1 ) f ( x) ? ? ? 2 ;3. 对任意 x ? R , f ( x2 ) f (1 ? x2 )

,若函数

f (x) 是 ?1, ?? ? 上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为 (0,?? ) 。

以上命题中为真命题的是 三、解答题:本大題共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

1 3

.

18.(12 分)高三年级 1, 2, 3,? , 9 班参加高考体检, 9 个班中,任选 3 个班先参加视力检 查. (I)求这 3 个班中恰有 1 个班班级序号是偶数的概率; (II)设 ? 为这 3 个班中两班序号相邻的组数(例如:若选出的班为 1, 2, 3 班,则有两组相邻 的, 1, 2 班和 2, 3 班,此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E ? .

19.(12 分)如图已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC , ?BAC ? ?ACD ? 90? , ?EAC ? 60? , AB ? AC ? AE . (I)在直线 BC 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 EAB ?请证明你的 结论; (II)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 ? 的余弦值。
B
图5

E

D

A

C

20. (12 分)已知圆 A: x ? 4 x ? y ? 16 ? 0 及定点 B( 2,0) ,点 Q 是圆 A 上的动点,
2 2

点 G 在 BQ 上,点 P 在 QA 上,且满足 BQ ? 2 BG , GP ? BQ =0. (I)求 P 点所在的曲线 C 的方程; (II)过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点,直线 l 与 y 轴交于 E 点,若

???? ? ???? ???? ??? ? EM ? ?1 MB , EN ? ?2 NB , 求证 : ?1 ? ?2 为定值。

本卷第 3 页(共 10 页)

21.(12 分)已知在数列 ?a n ? 中, a1 ?

1

2 n ?1 ? ? (I)求 a 2 , a3 ;(II)证明:数列 ? S n ? 是等差数列; ? n ? (III)令 bn ? ( n ? 1)(1 ? a n ) ,记数列 ?b n ? 的前 n 项和为 Tn .求证:当 n ? 2 时,
Tn ? 2 (
2

, S n 是其前 n 项和,且 S n ? n a n ? n ( n ? 1)
2

T2 2

?

T3 3

???

Tn n

)。

22. (理)(14 分)设函数
(I)当

,其中 在定义域上的单调性;

时,判断函数 的极值点;

(II)求函数

(III)证明对任意的正整数 n,不等式

都成立.

本卷第 4 页(共 10 页)

成都外国语学校高 2012 届四月月考试题数学试题参考答案
一、选择题 题号 1 答案 D 理 C文 二、填空题 13. 理:-1 文: 2 C 3 A理 B文 4 A 5 D理 A文 6 B 7 D 8 A 9 C 10 C 11 C理 C文 12 B理 D文

1 2

14.

2 4

15.

8 9

16 . 理:①④ 文:③

18.解析: (I)记“这 3 个班恰有一个班级序号是偶数”为事件 A,则 P ( A) ? (理)(II)随机变量 ? 的取值为 0,1, 2, ? 的分布列为

1 C 4C5 2

C

3 9

?

10 21



?

0

1

2

本卷第 5 页(共 10 页)

P

5 12

1

1 12

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? (文)

5 12

? 1?

1 2

? 2?

2 1

12

?

2 3
E D

1 2

19.解: (I)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P .…1 分 证明如下: 取 AB 的中点 F 连结 DP、PF、EF ,则

FP // AC , FP ?

1 2

M A F B P

C

AC ,

…………………2 分

取 AC 的中点 M ,连结 EM 、EC , ∵ AE ? AC 且 ?EAC ? 60? , ∴△ EAC 是正三角形,∴ EM ? AC . ∴四边形 EMCD 为矩形,∴ ED ? MC ?

1 2

AC .又∵ ED // AC ,………3 分

∴ ED // FP 且 ED ? FP ,四边形 EFPD 是平行四边形.…………4 分 ∴ DP // EF ,而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB ,∴ DP // 平面 EAB .……6 分 (2) (法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG ,∵ ED // AC , ∴ ED // l , l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱.……8 分 E ∵平面 EAC ? 平面 ABC , DC ? AC ,∴ DC ? 平面 ABC , 又∵ l ? 平面 ABC ,? DC ? l , ∴ l ? 平面 DGC ,∴ l ? DG , ∴ ?DGC 是所求二面角的平面角.………………10 分 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,则 CD ? ∴ GD ?

D

3a , GC ? 2a ,
M
A
C

GC ? CD ?
2 2

7a ,

GC 2 7 ∴ cos ? ? cos ? DGC ? . ………12 分 ? P F GD 7 G B (法 2)∵ ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC , ∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 z 轴在平面 EACD 内(如图) .设 AB ? AC ? AE ? 2a ,由已知,得 B ( 2a , 0 , 0) ,
E ( 0 , a , 3a ) , D ( 0 , 2 a , 3a ) .

3a ) , ED ? ( 0 , a , 0) ,…………………8 分 ? 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , ? ??? ? ? ??? ? 则 n ? EB 且 n ? ED , ? ??? ? ? 3 ? n ? EB ? 0 , ? 2 ax ? ay ? 3az ? 0 , ?x ? ? z, ∴ ? ? ??? ∴? 解之得 ? ? 2 ? n ? ED ? 0 . ? ay ? 0 . ?y ? 0 . ? ?
∴ EB ? ( 2 a , ? a , ? 取 z ? 2 , 得 平 面 EBD 的 一 个 法 向 量 为 ? n ? ( 3 , 0 , 2) . ………10 分 ?? 又∵平面 ABC 的一个法向量为 n? ? (0 , 0 , 1) . ……11 分
F

z

E

D

M A P

C

y

x

B

? ?? cos ? ? cos ? n , n ? ? ?

3 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 ( 3) 2 ? 0 2 ? 2 2 ? 0 2 ? 0 2 ? 12
本卷第 6 页(共 10 页)

?

2 7 7

.………12 分 20. (理)∵ BQ ? 2 BG , GP ? BQ =0∴ GP 垂直平分线段 BQ , 即

PQ ? PB

,所以
2

PA ? PB ? PA ? PQ ? AQ ? 2 5

,由椭圆定义:

x 5分 +y2=1 5 (文)解: (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. 且点 Q 在曲线 C 上,

曲线 C 的方程为

∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1.
x2 5分 +y2=1 5 (Ⅱ)证法 1:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) ,

∴曲线 C 的方程为

又易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ EM ? ?1 MB ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 ?

???? ?

????

2?1 1 ? ?1

, y1 ?

y0 1 ? ?1



7分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (
2 2

1

2?1

5 1 ? ?1

)2 ? (

y0 1 ? ?1

)2 ? 1,
10 分

去分母整理,得 ?1 ? 10 ?1 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 .
2 2

???? ??? ? 2 2 同理,由 EN ? ?2 NB 可得: ? 2 ? 10 ? 2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 .
∴ ? 1 , ? 2 是方程 x ? 10 x ? 5 ? 5 y 0 ? 0 的两个根, ∴ ?1 ? ? 2 ? ?10 . 12 分

本卷第 7 页(共 10 页)

5 11 , a3 ? 6 12 ; 21.【解析】 (I) 2 2 2 (II)由条件可得 S n ? n ( S n ? S n ?1 ) ? n ( n ? 1) , ( n ? 1) S n ? n S ? n ( n ? 1) a2 ?
两边同除以 n( n ? 1) ,得: 所以:数列 ?

n ?1 n

Sn ?

n n ?1

S n ?1 ? 1

?n ?1 ? S n ? 成等差数列,且首项和公差均为 1 ? n ?

(理)(III)由(Ⅰ)可得:

n ?1 n 1
n 1

Sn ? n , Sn ?
1 2 ? 1 3

n2 n ?1

,代入 S n ? n a n ? n ( n ? 1) 可得
2

an ? 1 ?

1 n ( n ? 1)

,所以 b n ?

, Tn ? 1 ?

???

1 n

.

当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? 平方则 Tn ?
2

n
2

, 即 Tn ?
2

1 n

? Tn ?1
2

2Tn n

?

1
2

叠加得 Tn ? 1 ? 2(
2

n T2

? Tn ?1 ? Tn ? Tn ?1 ?

2Tn n

?

1 n2

2

?

T3 3

???

Tn n

)?(
1 22 1

1 2
2

?

1 3 1
2

???
)
1

1 n2

)

? Tn ? 2 (
2

T2 2 1
3
2

?

T3 3

???
1 n
2

Tn n

) ?1? (
1 ?

???
???

n2

又 =1 ?

1 2
2

?

???

?

1? 2

2?3

( n ? 1) n
2

) 2 3 n n n2 n ?1 2 (文)(III) (III)由(Ⅰ)可得: ,代入 S n ? n a n ? n ( n ? 1) 可 S n ? n ,S n ? n ?1 n n ?1 1 c ? nx ( x ? R ) 得 an ? 1 ? ,所以 n ; n ( n ? 1) n ( n ? 1) Tn ? Tn ? 0 2 分情况讨论:1.当 x ? 0 时, ;2.当 x ? 1 ,时 ;

1

2

?

1

2

?

1

3

???

1

n ?1

?

1

n

? 1?

1

? 1 ? Tn ? 2 (

T2

?

T3

???

Tn

3.当 x ? 0且x ? 1 时,
3 4 5
2 3

Tn ? x 2 ? 2 x 3 ? 3 x 4 ? ... ? ( n ? 1) x n ? nx n ?1
n ?1

①,

xTn ? x ? 2 x ? 3 x ? ... ? ( n ? 1) x (1 ? x )Tn ? x ? x ? x ? ... ? x
4 n ?1

? nx
n?2

n?2

②,① ? ②得:

? nx



Tn ?

x ?x
2

n?2

(1 ? n ? nx ) (1 ? x ) 2

本卷第 8 页(共 10 页)

(文)解:(Ⅰ)因为 f ?( x ) ? ?3 x ? 4 mx ? m ,
2 2

所以 f ?(2) ? ?12 ? 8m ? m ? ?5 ……………………………………………………(2 分) 解得 m=-1 或 m=-7(舍),即 m=-1 ……………………………………………………(4 分)
2

(Ⅱ)由 f ?( x ) ? ?3 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?
2

1 3
1 3
,1)

………………(5 分)

列表如下: x 0 (0,

1 3

)

1 3

(

1

本卷第 9 页(共 10 页)

f ?( x )
f(x) …(7 分) 2

- ↘



50 27



2 …

所以函数 f ( x ) 在区间[0,1]的最小值为 f ( ) ?

1

50

…………………… (8 分)

3 27 3 2 2 (Ⅲ)因为 f ( x ) ? ? x ? 2 x ? x ? 2 ? (1 ? x )(2 ? x) …………… (10 分) 50 1 27 2 由(Ⅱ)知,当 x∈[0,1]时, (1 ? x )(2 ? x ) ? ,所以 ? (2 ? x ) , 2 27 1? x 50 x 27 所以 ………………………………………(13 分) ? (2 x ? x 2 ) 2 1? x 50 当 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 时, 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,
以 27 27 (12 ? ? ? [2(a ? b ? c)-(a 2 ? b 2 ? c 2 )] [2-(a 2 ? b 2 ? c 2 )] 分) ? 1 ? a 2 1 ? b 2 1 ? c 2 50 50 2 2 2 2 2 2 2 又因为 ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 3( a ? b ? c ) ,
b c

所 a

所以 a ? b ? c ?
2 2 2

1 3
c 1? c
2

………………………………… (13 分)
?



a 1? a
2

?

b 1? b
2

?

1 1 9 (当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号) (14 分) (2- ) ? 50 3 10 3
27

本卷第 10 页(共 10 页)



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