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数列的实际应用教案



数列实际应用举例
教学目标: (1)知识与技能: 初步掌握利用数列的基础知识来解决实际问题的方法。培养学生搜集资料、 分析资料的良好习惯,提高分析问题、解决问题的能力及人际交往与协作能力。 (2)过程与方法: 经历数列实际问题的解决过程,发展学生的思维,领悟解决数列实际问题 的方法,获得教学活动的经验。 (3)情感、态度与价值观: 通过情境创设,活动参与,体会数列在社会

生活中的广泛应用,提高学习数 学的兴趣,并初步培养与他人合作交流的意识;培养学生探索的精神,并使数 学能够为实际生产生活服务,为学生的专业学习打下良好的基础。 教学重、难点: 重点:数列的综合应用举例。 难点:1.数列的实际应用举例。 2.用数学建模思想解决数列的实际问题。 教学方法:启发法、讨论法、情境教学法 教学手段:多媒体、黑板 教学过程: 一、 创设情境,激发兴趣 教师活动:多媒体演示:数学史小故事《棋盘上的麦粒》 古印度舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相达依尔。宰相说: “请您在 棋盘的第 1 个小格里,赏给我 1 粒麦子,在第 2 个小格里给我 2 粒,第 3 个小 格给 4 粒,以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把棋盘上 64 格的麦粒,都 赏给您的仆人吧! ” 国王觉得这个要求太容易满足了,就命令给她这些麦粒。结果发现:就是把 全国的麦粒全拿来,也满足不了宰相的要求。原来宰相要求的麦粒总数为: 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ... ? 2 63
? 2 64 ? 1 人们推算发现当时全国所有的麦粒加在一起的总和也没有这么多! ? 1844674407 3709551615 (粒) 板书课题:数列实际应用举例 学生活动:1. 观看媒体演示,倾听老师完整的叙述故事 2. 观察数列,找到该等比数列的首项、公比,并会利用公式计算 二、互动交流,问题探究 探究一:数列在生活中的应用 我校机电专业近期计划购进一批新型的制冷压缩机,总价值 20 万元,以分 期付款的方式购买。由于机电专业向学校申请的是内部无息贷款,故还款时并 不涉及利息问题,有如下两种付款方式: 第一种:首付款 15500 元,从第二年起每年比前一年多付 1000 元; 教师活动:问题 1:此种付款方式我们需要几年能够还清贷款? 学生活动:1:学生按小组活动,分小组进行思考、讨论并解答。 2:得出结论:问题一是等差数列的应用问题。 3:分组讨论应用题的解题方法,利用等差数列求和公式来进行

求解;讨论后学生讲解并解答,课堂师生互动交流。 解:设需要 n 年能够还清贷款,根据题意可知,该工程部每年所还贷款额 构成首项为 a1 ? 1.55 万元,公差 d ? 0.1 万元,总和 S n ? 20 万元的等差数列。由 公式有: 20 ? 1.55n ?
n(n ? 1) ? 0.1 2

整理得: n 2 ? 30n ? 400 ? 0 解得: n1 ? ?40 (舍) n2 ? 10 答:按这种方式还款需要 10 年还清贷款。 第二种:首付款 2 万元,从第二年起还款数额每年比上一年增加 20% 教师活动:问题 2:此种付款方式五年内机电专业总计还款多少万元? (参考数据: 1.25 ? 2.488 ) 学生活动:1:学生按小组活动,分小组进行思考、讨论并解答。 2:得出结论:问题二是等比数列的应用问题。 3:分组讨论应用题的解题方法, 利用等差数列求和公式来进行求 解;讨论后学生讲解并解答,课堂师生互动交流。 解:由题意,五年内机电专业每年的付款额依次为(单位:万元) 2, 2(1 ? 20%) , 2(1 ? 20%) 2 , 2(1 ? 20%)3 , 2(1 ? 20%) 4 . 它们构成等比数列,首项为 a1 ? 2 公比为 q ? 1 ? 20% ? 1.2 ,项数 n ? 5 ,因此,所 求总利润为 S 5 ?
2 ? (1 ? 1.25 ) ? 14.88 1 ? 1.2

答: 五年内机电专业总计还款约为 14.88 万元。 教师活动: 数学应用题解题一般步骤? (强调总结) 学生活动: 思考并回答,与老师共同完成 数学应用题解题一般步骤: 第一步:审题; 第二步:将实际问题转化为数学问题; 第三步:求出数学问题的解; 第四步:检验 其中审题是基础,转化是关键,解题是目标。 题目引申:分期付款在现代经济生活中非常常见,在贷款买车和买房的应用也 非常广泛,掌握好数列知识是必要的,当然实际问题会更加复杂 探究二:数列在数学中的应用 自然数按规律排成了如下面的三角形数阵 1 2 3

4 7 11 8

5

6 9 10 13 14 15

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? ?? ?? ?? ?? 问题 3: (1)第 6 行左起第 2 个数是多少? (2)第 10 行左起第 3 个数是多少? (由学生思考、分析,并解决实际问题;充分发挥学生课堂上的主体性,充 分相信学生,充分调动学生,寻找、探究该三角形数阵所蕴藏的规律,开放性 习题,学生可以有多种解法,自己去发现、寻找数学的乐趣) 题目引申: 这是一道非常容易找到规律的数阵问题,那么在现实生活中有很多事物的规 律并不是这么的明显,那么就需要我们细心观察、留意进而善于找到、善于发 现事物的规律,从而有效的找出具体问题的解决方式。 三、习题演练,巩固新知 1.某林场计划今年造林 50 亩,以后每年比上一年多造林 15 亩,问从今年起 10 年内该林场共造林多少亩? 2.某城区今年完成危房改造工程 20 万平方米, 以后计划每年比前一年多完成 8%, 问从今年起的 5 年内,该城区可完成多少万平方米的危房改造程? 学生活动:学生独立思考,分析并解决问题 四、总结提炼,升华认识 请同学们回顾一下通过本节课的学习,你有哪些收获? (学生讨论、回答、补充、共同整理,加深对所学知识的理解,形成系统。) 1. 回顾了所学过的等差数列与等比数列的相关知识; 2. 学习了解数学应用题的一般步骤。 3. 发现数列在现实生活中的应用非常广泛,生活中处处有数学。 五、课后作业:(学生课后根据自己情况完成作业) 1.学案上习题演练 1、2; 2.活动作业: 请到当地银行调查居民定期存款利率,按你调查的利率计算下面问题:假设一 年期的存款利率 6 年内不变,将 1 万元现金存入银行,一年后连本带利取出, 再将取出的本利和一起继续转存一年后再连本带利取出,依次类推,这样下去, 问 5 年后取出的本利和是多少? 六、板书设计 课题:数列综合应用举例 应用题解题一般步骤 问题 1: 问题 2: 解: (详细) 解: (略写) 审题 转化 求解 → 检验



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