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2016文科导数二轮复习



导数 题型一、讨论函数单调性 ①导数中含未知参数 1.[2014· 全国文] 函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围. 2.[2014· 安徽文] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈

[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 2 3.[2014· 天津文] 已知函数 f(x)=x2-3ax3(a>0),x∈R. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)· f(x2)=1, 求 a 的取值范围. 4.[2014· 四川文] 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28… 为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1. 1 5.[2014· 广东文] 已知函数 f(x)=3x3+x2+ax+1(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; 1? ?1 ? ? ?1? (2)当 a<0 时,试讨论是否存在 x0∈?0,2?∪?2,1?,使得 f(x0)=f?2?. ? ? ? ? ? ? 6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ文] 若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增, 则 k 的取值范围是 7.[2015· 福建文] 已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e) =2(e=2.71828…是自然对数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M], ? ?1 ?? 直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈? e,e??都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和 ? ? ?? 最大的实数 M;若不存在,说明理由. 8.[2015· 北京文] 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 1 9.[2015· 湖南文] 设函数 f(x)=x- x-alnx(a∈R). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个极值点 x1 和 x2,记过点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜 率为 k.问:是否存在 a,使得 k=2-a?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说 明理由. 10.[2015· 浙江文] 设函数 f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立.

注:e 为自然对数的底数. ②导数中不未知参数 m 1.[2014· 陕西文] 设函数 f(x)=ln x+ x ,m∈R. (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)讨论函数 g(x)=f′(x)-3零点的个数; (3)若对任意 b>a>0, f(b)-f(a) <1 恒成立,求 m 的取值范围. b-a

2.[2014· 北京文] 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x) 相切?(只需写出结论) sin x 3.[2014· 江苏文] 已知函数 f0(x)= x (x>0),设 fn(x)为 fn-1(x)的导数,n∈N*. ?π ? π ?π ? (1)求 2f1? ?+ 2 f2? ?的值; ?2? ?2? 2 ? ?π ? π ?π ?? (2)证明:对任意的 n∈N*,等式?nfn-1? ?+ fn? ??= 2 都成立. 4 4 4 ? ? ? ?? ? 4.[2014· 湖北文] π 为圆周率,e=2.718 28…为自然对数的底数. ln x (1)求函数 f(x)= x 的单调区间; (2)求 e3,3e,eπ ,π e,3π ,π 3 这 6 个数中的最大数与最小数. 5.[2014· 湖南文] 已知函数 f(x)=xcos x-sin x+1(x>0). (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(i∈N*)个零点,证明:对一切 n∈N*,有x2+
1

1 1 2 +…+x2<3. x2 2 n 6.[2015· 安徽文] 设 f(x)=

ex ,其中 a 为正实数. 1+ax2

4 (1)当 a=3时,求 f(x)的极值点; (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 7.[2015· 陕西文] 设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; ?1? (2)讨论 g(x)与 g? x?的大小关系; ? ? 1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)<a对任意 x>0 成立

2 1 8.[2015· 四川文] 已知函数 f(x)=3x+2,h(x)= x. (1)设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求 F(x)的单调区间与极值; 3? ?3 (2)设 a∈R,解关于 x 的方程 lg?2f?x-1?-4?=2lgh(a-x)-2lgh(4-x); ? ? 1 (3)设 n∈N*,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥6. 题型二、与切线有关的问题 1.[2014· 福建文] 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x x <ce . 2.[2014· 广东文] 曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为________. b 3.[2014· 江苏文] 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+x(a,b 为常数)过 点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的 值是________. 1-a 4. [2014· 全国新课标卷Ⅰ文] 设函数 f(x)=aln x+ 2 x2-bx(a≠1), 曲线 y=f(x) 在点(1, f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; a (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围. a-1 5.[2014· 山东文] 设函数 f(x)=aln x+ x-1 ,其中 a 为常数. x+1

(1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 6. [2014· 新课标全国卷Ⅱ文] 已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2, 曲线 y=f(x)在点(0, 2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 7.[2015· 全国文] 已知函数 f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R). (1)证明:曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2); (2)若 f(x)在 x=x0 处取得极小值,x0∈(1,3),求 a 的取值范围. 8.[2015· 湖北文] 设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中 x∈R, a、b 为常数,已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且 对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数 m 的取值范围.

9.[2015· 辽宁卷] 设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处 的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2. alnx b 10.[2015· 课标全国卷文] 已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 x+1 x 的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; lnx (2)证明:当 x>0,且 x≠1 时,f(x)> . x-1 11.[2015· 天津文] 已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间; (3)证明:对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 题型三、其它问题 1.[2014· 全国新课标卷Ⅰ文] 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零 点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( ) 3 2.[2015· 湖南文] 已知函数 f(x)=x ,g(x)=x+ x. (1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由; (2)设数列{an}(n∈N*)满足 a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数 M, 使得对于任意的 n∈N*,都有 an≤M. 1 3.[2015· 江西文] 设 f(x)=3x3+mx2+nx. (1)如果 g(x)=f′(x)-2x-3 在 x=-2 处取得最小值-5,求 f(x)的解析式; (2)如果 m+n<10(m,n∈N+),f(x)的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间(a,b)的长度为 b-a) 4. [2015· 江苏文] 已知 a, b 是实数, 函数 f(x)=x3+ax, g(x)=x2+bx, f′(x)和 g′(x) 分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≥0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性一致. (1)设 a>0,若 f(x)和 g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求 b 的取值范围; (2)设 a<0 且 a≠b,若 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a-b|的最大值. 5.[2015· 重庆文] 设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若函数 y=f′(x)的 1 图象关于直线 x=-2对称,且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值.



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