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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学含答案



2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

. .

r />2.设 z ? (2 ? i) 2 ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为

3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9
个子集. .



4.集合 {?1,0,1} 共有

5.下图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是

6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92 .

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为

7.现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取, 则 m,n 都取到奇数的概率为 .

8.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA 1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积 为 V1 ,三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? .

2 9.抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与边界) .若点 P( x, y) 是

区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是



10 . 设 D,E 分 别 是 ?ABC 的 边 AB,BC 上 的 点 , AD ? ( ?1,?2 为实数) ,则 ?1 ? ?2 的值为 .

1 2 AB , BE ? BC , 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC 2 3

2 11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示





12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l ,短 a 2 b2

轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率 为 .
-1-

13.在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ? 最短距离为 2 2 ,则满 足条件的实数 a 的所有值为 14.在正项等比数列 {an } 中, a5 ? 为 . .

1 ( x ? 0 )图象上一动点,若点 P,A 之间的 x

1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 ....... 骤. 15. (本小题满分 14 分)已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点. 求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; S (2) BC ? SA .

E
F

G
C

A B

-2-

17. (本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线

y A O l

l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上.
(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

x

18. (本小题满分 16 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行 到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲.乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步 行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m / min , 山路 AC 长为 1260 m , 经测量,cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行 的速度应控制在什么范围内? C

12 3 ,cos C ? . 13 5
A

B

-3-

19. (本小题满分 16 分)设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和.记 bn ?

nS n , n2 ? c

n ? N * ,其中 c 为实数.
(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ) ; (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax,其中 a 为实数. (1)若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数, 试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论.

-4-

卷Ⅱ 附加题部分
[选做题]第 21 题,本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答,若多做, ...... 则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.A.[选修 4-1:几何证明选讲] (本小题满分 10 分) 如图, AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D , C , AC 经过圆心 O ,且 BC ? 2OC 求证: AC ? 2 AD 21.B.[选修 4-2:矩阵与变换] (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

??1 0 ? ?1 2? ?1 ,求矩阵 A B . , B ? ? ? ? ?0 2 ? ?0 6 ?

21.C.[选修 4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2 tan 2 ? ?x ? t ? 1 ( t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? ? y ? 2 tan ? ? y ? 2t

( ? 为参数) ,试求直线 l 与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.

21.D.[选修 4-5:不定式选讲] (本小题满分 10 分)
3 3 2 2 已知 a ? b >0,求证: 2a ? b ? 2ab ? a b

-5-

[必做题]第 22、23 题,每题 10 分,共 20 分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值 (2)求平面 ADC1 与 ABA 1 所成二面角的正弦值.

23. (本小题满分 10 分)

(-1) k , ( , -1) k , 设数列 ?an ?: 1 ,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, ,
k ?1 k ?1 k个

(k ? 1 )k ( k k ?1 ) ?n? , 即当 2 2

? k ? N ? 时, a
?

n

k ?1 ? (-1 ) k .记 Sn ? a1 ? a2

? an ? n ? N ? ? .对于 l ? N ? ,定义集合

Pl ? ?n S n 是an的整数倍,n ? N ?,且1 ? n ? l? .
(1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2000 中元素的个数.

-6-

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学参考答案
一、填空题 1. ? 2.5 3. y ? ?

3 x 4

4.8

5.3

6.2 7.

20 . 8. 1: 24 63

9. ?? 2, ? 2

? ?

1? ?

10.

1 2

11. ?? 5,0? ? ?5,???

12.

3 3

13. ?1 或 10

14.12

二、解答题 15.解: (1)∵ | a ? b |?
2

2

∴ | a ? b |2 ? 2
2

即 a?b

? ?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 ,

2

2

2 2 2 2 2 2 又∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1, b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴ a ? b

(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) 两边分别平方再相加得: 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ? ∴ sin ? ?

∴?

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?
1 2
∵0 ? ? ?? ? ?

1 2

∴ sin ? ?

5 1 ?,? ? ? 6 6

16.证明: (1)∵ AS ? AB , AF ? SB ∴F 分别是 SB 的中点 ∵E.F 分别是 SA.SB 的中点 ∴EF∥AB 又∵EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC 同理:F G∥平面 ABC 又∵EF ? FG=F, EF.FG ? 平面 ABC∴平面 EFG // 平面 ABC (2)∵平面 SAB ? 平面 SBC 平面 SAB ? 平面 SBC =BC AF ? 平面 SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面 SBC 又∵BC ? 平面 SBC ∴AF⊥BC 又∵ AB ? BC , AB ? AF=A, AB.AF ? 平面 SAB ∴BC⊥平面 SAB 又∵SA ? 平面 SAB∴BC⊥SA

17.解: (1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2) ,∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4)
-7-

则圆 C 的方程为: ( x ? a) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2
2 2 2 2 又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为(x,y)则 x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y 整理得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
2

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R
2 由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? ? 5?

12 3 , cos C ? 13 5 ? 5 4 (0, ) ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? 2 13 5
18.解: (1)∵ cos A ?

? ? sin(A ? C) (A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin ?? ?
根据

63 65

AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB
2 2 2

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则 d ? (130 t ) ? (100 ? 50t ) ? 2 ? 130 t ? (100 ? 50t ) ? ∴ d ? 200(37t ? 70t ? 50)
2 2

12 13

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最 短. 37 37
∵0 ? t ? (3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) ? 得 BC ? 63 13 sinB sinA sinB 65

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m) ,还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m / min ,则 ∴?3?

500 710 ? ?3 v 50

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14

∴为使两 位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ? 法二:解: (1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m,
-8-

?1250 625? , ? 范围内 ? 43 14 ?

知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 50 5 126 141 86 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: + 3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 126 111 56 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: - 3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/ min. 5 14 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14 C 19.证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和 ∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0 B D M N A

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2
∴左边= S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a ∴左边=右边∴原式成立

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a

(2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?

nSn 1 1 3 2 ? ∴ (d1 ? d )n ? (b1 ? d1 ? a ? d )n ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N 恒成立 2 2 2 n ?c

-9-

1 ? ?d1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 2 ? cd ? 0 ? 1 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由①式得: d 1 ? 由③式得: c ? 0 法二:证: (1)若 c ? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

d? 3d ? ? ? 2 即: ? a ? ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ? ?
由此: S n ? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a . 故: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ) .

2

(n ? 1)d ? 2a nS 2 (2) bn ? 2 n ? , 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? 2 n ?c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 n2 ? c n2
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※) 式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.

20.解: (1)由 f ( x ) ?
'

1 1 ?1? ? a ? 0 即 ? a 对 x ? (1,??) 恒成立,∴ a ? ? ? max x x ?x?
∴a ?1

而由 x ? (1,??) 知

1 <1 x

' x ' 由 g ( x) ? e ? a 令 g ( x) ? 0 则 x ? ln a

- 10 -

当 x < ln a 时 g ' ( x) <0,当 x > ln a 时 g ' ( x) >0, ∵ g ( x) 在 (1,??) 上有最小值 ∴ ln a >1 ∴a>e

综上所述: a 的取值范围为 (e,??) (2)证明:∵ g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数 ∴ g ' ( x) ? e x ? a ? 0 即 a ? e 对 x ? (?1,??) 恒成立,
x

∴ a ? ex

? ?

min
x

而当 x ? (?1,??) 时, e > 分三种情况:

1 e 1 >0 x

∴a ?

1 e

' (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x ) ?

∴f(x)在 x ? (0,??) 上为单调增函数

∵ f (1) ? 0

∴f(x)存在唯一零点
'

(Ⅱ)当 a <0 时, f ( x ) ?

1 ? a >0 ∴f(x)在 x ? (0,??) 上为单调增函数 x

∵ f (e a ) ? a ? aea ? a(1 ? e a ) <0 且 f (1) ? ?a >0 ∴f(x)存在唯一零点

1 1 1 ' ' 时, f ( x ) ? ? a ,令 f ( x) ? 0 得 x ? e x a 1 1 ? a( x ? ) ? a( x ? ) 1 1 a >0; x > 时, f ' ( x) ? a <0 ∵当 0< x < 时, f ' ( x) ? a a x x 1 1 1 1 ∴ x ? 为最大值点,最大值为 f ( ) ? ln ? a ? ? ln a ? 1 a a a a 1 1 ①当 ? ln a ? 1 ? 0 时, ? ln a ? 1 ? 0 , a ? , f ( x) 有唯一零点 x ? ? e e a 1 ②当 ? ln a ? 1 >0 时,0< a ? , f ( x) 有两个零点 e 1 1 1 1 a 1 1 1 实际上,对于 0< a ? ,由于 f ( ) ? ln ? a ? ?1 ? <0, f ( ) ? ln ? a ? ? ln a ? 1 >0 e e e e e a a a
(Ⅲ)当 0< a ? 且函数在 ? ,

?1 1? ?1 1? ? 上的图像不间断 ∴函数 f ( x) 在 ? , ? 上有存在零点 ?e a? ?e a? ? ?
1 1? ? 1? ? 1? ' ? , f ( x ) ? ? a >0,故 f ( x) 在 ? 0, ? 上单调增,∴ f ( x) 在 ? 0, ? 只有一个零点 x a? ? a? ? a?
?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? ,?? ? 的情况,先证 f (e a ) ? ln e a ? aea ? a ?1 ln e ? aea ? a(a ?2 ? e a ) <0 ?a ?

另外,当 x ? ? 0,

下面考虑 f ( x) 在 ?

- 11 -

为此我们要证明:当 x > e 时, e > x ,设 h( x) ? e x ? x 2
x 2

,则 h ' ( x) ? e x ? 2 x ,再设 l ( x) ? e x ? 2 x

∴ l ' ( x) ? e x ? 2 当 x >1 时, l ' ( x) ? e x ? 2 > e -2>0, l ( x) ? e x ? 2 x 在 ?1,??? 上是单调增函数 故当 x >2 时, h ' ( x) ? e x ? 2 x > h ' (2) ? e 2 ? 4 >0 从而 h( x) ? e x ? x 2 在 ?2,??? 上是单调增函数,进而当 x > e 时, h( x) ? e x ? x 2 > h(e) ? e e ? e 2 >0 即当 x > e 时, e > x ,
?1 ?1 ?1 ?1 ?1 1 ?1 时,即 a >e 时, f (e a ) ? ln e a ? aea ? a ?1 ln e ? aea ? a(a ?2 ? e a ) <0 e ?1 1 1 1 又 f ( ) ? ln ? a ? ? ln a ? 1 >0 且函数 f ( x) 在 a ?1 , e a 上的图像不间断, a a a 1 ? a( x ? ) ?1 1 a <0 故 f ( x) 在 a ?1 ,?? 上是单调 ∴函数 f ( x) 在 a ?1 , e a 上有存在零点,又当 x > 时, f ' ( x) ? a x

x

2

当 0< a <

?

?

?

?

?

?

减函数∴函数 f ( x) 在 a ?1 ,?? 只有一个零点 综合(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)知:当 a ? 0 时, f ( x) 的零点个数为 1;当 0< a <

?

?

1 时, f ( x) 的零点个数为 2 e

21.A 证明:连接 OD,∵AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C ∴ ?ADO ? ?ACB ? 90 ,又∵ ?A ? ?A
0

∴ RT ?ADO ~ RT ?ACB ∴

BC AC ? OD AD

又∵BC=2 OC=2OD

∴AC=2AD

21.B 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

?a ?b ? ?? 1? 0? ? ,则 ? ? ?c ?d ? ?0? 2 ?

?a ?b ? ?1? 0? ?? a ? ? b? ?1? 0? = ,即 ?c ?d ? ?0 ?1? ?2c ?2d ? = ?0 ?1? , ? ? ? ? ? ? ? ?

?? 1? 0 ? 1 ?1 故 a=-1,b=0,c=0,d= ∴矩阵 A 的逆矩阵为 A ? ? , 1? ? 2 0 ?? ? 2? ? ?? 1? 0 ? ? ∴ A B=? ?0 ? ? 1 ? 2? ?
?1

?1?2 ? ?? 1? ? 2? ?0?6? = ?? 0? ? 3 ? ? ? ? ? ?x ? t ? 1 ∴消去参数 t 后得直线的普通方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ① ? y ? 2t

- 12 -

21.C 解:∵直线 l 的参数方程为 ?
2

同理得曲线 C 的普通方程为 y ? 2 x

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 ( 2,2) , ( ,?1)

1 2

21.D 证明:∵ 2a ? b ? 2ab ? a b ? 2a 3 ? 2ab2 ? (a 2 b ? b 3 ) ? 2a a 2 ? b 2 ? b(a 2 ? b 2 )
3 3 2 2

?

?

?

?

? a 2 ? b 2 (2a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(2a ? b)
又∵ a ? b >0,∴ a ? b >0, a ? b ? 0 2a ? b ? 0 , ∴ (a ? b)(a ? b)(2a ? b) ? 0 ∴ 2a ? b ? 2ab ? a b ? 0
3 3 2 2

?

?

∴ 2a ? b ? 2ab ? a b
3 3 2 2

22.本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力. 解: (1)以 AB, AC, AA 1 为为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

?

?

则 A(0,0,0) B(2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D(1,1,0) , C1 (0,2,4) ∴ A1 B ? (2,0,?4) , A1 B ? (1,?1,?4) ∴ cos ? A1 B, C1 D ??

A1 B ? C1 D A1 B C1 D

?

18 20 18

?

3 10 10

∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为

3 10 10

(2) AC ? (0,2,0) 是平面 ABA 1 的的一个法向量 设平面 ADC1 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,∵ AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0,2,4) 由 m ? AD, m ? AC1 ∴?

?x ? y ? 0 ?2 y ? 4 z ? 0

取 z ? 1 ,得 y ? ?2, x ? 2 ,∴平面 ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1)

设平面 ADC1 与 ABA 1 所成二面角为 ?
- 13 -

∴ cos? ? cos ? AC, m ? ?

AC ? m AC m

?

5 ?4 2 ? , 得 sin ? ? 3 2?3 3
5 3

∴平面 ADC1 与 ABA 1 所成二面角的正弦值为

23.本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问 题能力及推理论证能力. (1)解:由数列 ?an ? 的定义得:a1 ? 1 ,a2 ? ?2 , a3 ? ?2 ,a4 ? 3 ,a5 ? 3 ,a6 ? 3 ,a7 ? ?4 ,a8 ? ?4 ,

a9 ? ?4 , a10 ? ?4 , a11 ? 5
∴ S1 ? 1 ,S 2 ? ?1 ,S 3 ? ?3 ,S 4 ? 0 ,S 5 ? 3 ,S 6 ? 6 ,S 7 ? 2 ,S8 ? ?2 ,S 9 ? ?6 ,S10 ? ?10 ,S11 ? ?5 ∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 事实上, ① ② 当 i ? 1 时, Si ( 2i ?1) ? S3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 故原式成立

假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m( 2m?1) ? ?m ? (2m ? 1)

则: i ? m ? 1 ,时,

S(m?1)[ 2( m?1)?1} ? S(m?1)(2m?3} ? Sm(2m?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2
? ?(2m2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)(2m ? 3)
综合①②得: Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 于是

S(i?1)[2i?1} ? Si (2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: Si ( 2i ?1} 是 (2i ? 1) 的倍数 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? 2i ? 1( j ? 1,2,?,2i ? 1) ,所以 Si ( 2i ?1)? j ? Si ( 2i ?1) ? j (2i ? 1) 是

a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 1) 的倍数
又 S (i ?1)[ 2i ?1} ? (i ? 1)(2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? ?(2i ? 2)( j ? 1,2,?,2i ? 2) 所以 S(i ?1)( 2i ?1)? j ? S(i ?1)( 2i ?1) ? j(2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j(2i ? 2) 不是 a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 2) 的倍数
- 14 -

(2i - 1 ) ?i 故当 l ? i(2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ?

2

于是当 l ? i(2i ? 1) ? j( 时,集合 Pl 中元素的个数为 i 2 ? j 1 ? j ? 2i ? 1 )

(2 ? 31 ? 1 ) ? 47 又 2000 ? 31 ?
故集合 P2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008
2

- 15 -



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