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1.1两个基本计数原理


两个基本计数原理

问题一:从甲地到乙地,可以乘火车, 问题一:从甲地到乙地,可以乘火车, 也可以乘汽车,一天中,火车有3 也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车 那么一天中, 有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法? 甲地到乙地共有多少种不同的走法?

因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2 解:因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2 种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地, 种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所 种不同的走法。 以共有 3+2=5 种不同的走法。

完成一件事, 分类计数原理 完成一件事,有n类方 在第1类方式中有m 种不同的方法, 式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在 类方式中有m 种不同的方法, , 第2类方式中有m2种不同的方法,…,在第 类方式中有m 种不同的方法, n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这 件事共有: 件事共有:

N = m1 + m2 ++ mn
种不同的方法。 种不同的方法。 分类计数原理又称为加法原理。 分类计数原理又称为加法原理。

问题二:从甲地到乙地, 问题二:从甲地到乙地,要从甲地选乘火 车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地。 车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中,火车有3 汽车有2 那么两天中, 天中,火车有3班,汽车有2班。那么两天中, 从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

这个问题与前一个问题有什么区别? 这个问题与前一个问题有什么区别? 在前一个问题中, 在前一个问题中,采用乘火车或汽车中的 任何一种方式,都可以从甲地到乙地; 任何一种方式,都可以从甲地到乙地;而在这 个问题中,必须经过先乘火车、后乘汽车两个 个问题中,必须经过先乘火车、后乘汽车两个 步骤,才能从甲地到乙地. 步骤,才能从甲地到乙地.

解:因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法, 因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法, 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地, 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地, 种不同的走法。 共有 3×2=6 种不同的走法。 完成一件事,需要分成n 分步计数原理 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有m 种不同的方法,做第2 个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步 种不同的方法, ,做第n步时有m 有m2 种不同的方法,…,做第n步时有mn种不 同的方法。 同的方法。那么完成这件事共有

N = m1 ×m2 ××mn
种不同的方法。 种不同的方法。 分步计数原理又称为乘法原理。 分步计数原理又称为乘法原理。

分类计数原理(加法原理) 1、分类计数原理(加法原理)中,“完成 一件事, 类方式” 一件事,有n类方式”,即每种方式都可以独 立地完成这件事。进行分类时, 立地完成这件事。进行分类时,要求各类方式 彼此之间是相互排斥的, 彼此之间是相互排斥的,不论那一类办法中的 哪一种方法,都能独立完成这件事。 哪一种方法,都能独立完成这件事。只有满足 这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以。 这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以。 分步计数原理(乘法原理) 2、分步计数原理(乘法原理)中,“完成一 件事, 个步骤” 件事,需要分成n个步骤”,是说每个步骤都不 足以完成这件事。 足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几 个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所 个步骤,各步骤都不可缺少, 有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立, 有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立, 即相对于前一步的每一种方法,下一步有m 即相对于前一步的每一种方法,下一步有m种不 同的方法, 同的方法,那么完成这件事的方法数就可以直 接用乘法原理。 接用乘法原理。

应用这两个原理的关键是看完成这件 事情是“分类”还是“分步” 事情是“分类”还是“分步”。 某班共有男生28 28名 女生20 20名 例1、某班共有男生28名、女生20名, 从该班选出学生代表参加校学代会。 从该班选出学生代表参加校学代会。 1)若学校分配给该班 名代表, 若学校分配给该班1 (1)若学校分配给该班1名代表,有多少种 不同的选法? 不同的选法? ( 2) 若学校分配给该班2名代表, 若学校分配给该班2名代表,且男女生代表 有多少种不同的选法? 各1名,有多少种不同的选法?

跟踪练习
书架上的第一层放有 本不同的计算机 书架上的第一层放有4本不同的计算机 书,第二层放有3本不同的文艺书,第 第二层放有 本不同的文艺书, 本不同的文艺书 三层放有2本不同的体育书 三层放有 本不同的体育书 (1)从书架上任取 本书,有多少不同的取 从书架上任取1本书 从书架上任取 本书, 法? (2)从书架上的第一,二,三层各取 本书, 从书架上的第一, 三层各取1本书 本书, 从书架上的第一 有多少中取法? 有多少中取法?

在下面两个图中, 例2、在下面两个图中,使电路接通的 不同方法各有多少种? 不同方法各有多少种? A A

B ( 1)

B ( 2)

跟踪练习
8 如图为一电路图, 如图为一电路图,从A到B共有 到 共有
条不同的线路可通电。 条不同的线路可通电。
A B

【评述】在综合运用两个原理时,一 评述】在综合运用两个原理时, 般先分类再分步。 般先分类再分步。

为了确保电子信箱的安全, 例3、为了确保电子信箱的安全,在注册 通常要设置电子信箱密码。 时,通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中, 置的信箱中, ( 1) 密码为4 每位均为0 10个数字中的一 密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一 个数字,这样的密码共有多少个?( ?(2 个数字,这样的密码共有多少个?(2)密码 每位均为0 10个数字中的一个 个数字中的一个, 为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个, 或是从A 26个英文字母中的 个英文字母中的1 或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的 密码共有多少个? 密码共有多少个? (3)密码 每位均为0 10个数字中的一 为4到6位,每位均为0到9这10个数字中的一 这样的密码共有多少个? 个。这样的密码共有多少个?

课堂小结: 课堂小结: 1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组 .分类计数原理和分步计数原理是解决排列、 合问题的理论基础。这两个原理的本质区别在于分 合问题的理论基础。这两个原理的本质区别在于分 类与分步,分类用分类计数原理, 类与分步,分类用分类计数原理,分步用分步 计数 原理 。 2.元素能重复的问题往往用计数原理。 2.元素能重复的问题往往用计数原理。 元素能重复的问题往往用计数原理 3.注意:类”间相互独立,“步”间相互联 注意: 间相互独立, 系。

个不同元素中取出m(m≤n)个元素, m(m≤n)个元素 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个 不同元素中取出m 一个排列. 不同元素中取出m个元素的一个排列

排列数公式

A

m n

n! = nm ( )!

我们规定:0!=1 我们规定:0!=1

个不同元素中取出m(m≤n)个元素, m(m≤n)个元素 组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素, 并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 一个组合. 个元素的一个组合

组合数公式
n! C = m !( n m )!
m n

强调:排列 次序性; 强调:排列——次序性; 次序性 组合——无序性. 无序性. 组合 无序性
解决实际问题时首先要看是否与 顺序有关, 顺序有关,从而确定是排列问题 还是组合问题, 还是组合问题,必要时要利用分 类和分步计数原理. 类和分步计数原理.

例4、(1)8张卡片上写着0,1,2, ,7共 、(1 张卡片上写着0,1,2,…,7 0,1,2, ,7共 个数字,取其中的三张卡片排放在一起, 8个数字,取其中的三张卡片排放在一起,可 组成多少个不同的三位数? 组成多少个不同的三位数? 张卡片的正、反面分别写有0 (2)4张卡片的正、反面分别写有0与1、 将其中的3 2与3、4与5、6与7,将其中的3张卡片排放在 一起,共有多少个不同的三位数? 一起,共有多少个不同的三位数? 自然数2520有多少个正约数? 2520有多少个正约数 例5、自然数2520有多少个正约数? 例6、书架上原来并排放着5本不同的书, 书架上原来并排放着5本不同的书, 现要插入三本不同的书, 现要插入三本不同的书,那么不同的插法有 多少种? 多少种?


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