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§1.1.2 集合间的基本关系


§1.1.2
一 教材解析

集合间的基本关系

集合之间的关系是集合运算的基础和前提, 是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁 和工具. 这节内容是对集合的基本概念的深化, 延伸, 首先通过类比、 实例引出子集的概念, 再结合实例加以说明, 然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况. 这节内容 的教学重点是子集的概念,教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.



教学目标

1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)理解子集.真子集的概念. (3)能使用 venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3.情感 态度与价值观 (1)树立数形结合的思想. (2)体会类比对发现新结论的作用.



教学重、难点

重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点:属于关系与包含关系的区别.



学法与教学用具

1.学法:让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,发现集合间的基本关系. 2.学用具:多媒体.



课时安排

1 课时



教学设计

问题情境 1. 元素与集合之间的关系是什么? 元素与集合是从属关系,属于与不属于 2. 集合有哪些表示方法? 列举法,描述法,Venn 图法. 问题讨论: 实数有相等、大小关系,如 5=5,5<7,5>3 等等,类比实数之间的关系, 你会想到集合之间有什么关系呢?

研探新知 观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1) A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2)设 A 为县一中高一(12)班全体男生组成的集合, B 为这个班学生的全体学生组 成的集合; (3)设 C ? {x | x是两条边相等的三角形}, D ? {x | x是等腰三角形}; (4) E ? {2, 4,6}, F ? {6, 4, 2} . 组织学生充分讨论、交流,使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系,从而类比 得出两个集合之间的关系. 1 子集的概念 一般地,对于两个集合 A, B ,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们 就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为 B 的子集. 记作: A ? B

(或B ? A)

读作: A 含于 B (或 B 包含 A ).

B

A

说明:① Venn 图如图 1 ? 3 所示; ②用符号语言可表示为:如果任意元素 x ? A ,都有 x ? B ,那么 A ? B ③规定:空集是任何集合的子集,即对于任意一个集合 A ,有 ? ? A .
问题讨论: A(B) 与实数中的结论 “若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ” 相类比, 在集合中, 你能得出什么结论? 2.集合相等的证明 教 师 引 导 学 生 通 过 类 比 , 思 考 得 出 结 论 : 图1 ? 4 图1 ? 3



?A ? B A ? B, 且B ? A, 则A ? B . A ? B ? ? ?B ? A
如上面例子中集合 C ? D , E ? F ,Venn 图如图 1 ? 4 所示. 3.真子集的概念 再来分析下上例中(1)(2)两例:

若集合 A ? B , 存在元素 x ? B且x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) . 记作: A B(或 B A) 读作: A 真包含于 B (或 B 真包含 A ). 。

说明:①空集是任何非空集合的真子集. ② A? B ? ?

?A ? B ?A ? B

4.几个重要的结论: (1)任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ; (2) 对于集合 A,B,C,如果 A (3)对于集合 A,B,C,如果 A B,B B,B C,那么 A C,那么 A C; C;

(4)空集只有一个子集,即它本身. 说明: 1.注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关 系; 2.在分析有关集合问题时,要注意空集的地位. 5 课堂练习 补充练习
2 (1) ?a, b? _____ ?a, b, c? , a ____ ?a, b, c? (2) ? ____ x | x ? 3 ? 0 , ? ____ R

课本 P 练习 2 3 7

?

?

(3) N ____ ?0,1 , Q ____ N ? 说明: 0 , ?0? 与 ? 的区别.

2 (4) ?0? ____ x | x ? x ? 0

?

?

6.教学例题 例 1:写出集合 {a, b, c} 的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集. 例 2:填 表





集合中元素的个数 子集的个数 真子集的个数 1 2 3 4
2 4 8 16 1 3 7 15

?a?

?a, b? ?a, b, c? ?a, b, c, d? ?a, b, c, d ??

??

n

2n

2n ? 1

(1)你能找出“集合中元素的个数”与“子集的个数”、“真子集的个数”之间关系吗? (2)如果一个集合中有 n 个元素,你能写出计算它的所有子集个数与真子集个数的公 式吗?(用 n 表达) 7 学习小结 ①子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn 图图示;一些结论.②两个集合间的基本 关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,特别要注意区别“属于” 与“包含”两种关系及其表示方法. 8 作业 课本 P 12 习题 1.1 5

补充:写出集合 {0,1, 2} 的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.


§1.1.2 说明

板书设计
集合间的基本关系 4.重要结论

1.子集的概念 5.课堂练习 2.集合相等 3.真子集概念 6.教学例题 说明 7 学习小结 8 作业



课后反思

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