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湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(创新班) Word版含解析



湖南省衡阳八中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科) (创新班)
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)下列表述正确的是() ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③

④ C.②④⑤ 2. (3 分) A.ln2+ B.ln2﹣ dx=() C.ln2﹣
2

D.①③⑤

D.ln2﹣

3. (3 分)用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、 c 中至少有一个偶数时,下列假设正确的是() A.假设 a、b、c 都是偶数 B. 假设 a、b、c 都不是偶数 C. 假设 a、b、c 至多有一个偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数 4. (3 分)n∈N ,则(21﹣n)…(100﹣n)等于() A.A C. A B. A D.A
*

5. (3 分)若 a,b∈R,则复数(a ﹣4a+5)+(﹣b +2b﹣6)i 表示的点在() A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限

2

2

6. (3 分)用数学归纳法证明“1+ + +…+

<n(n∈N ,n>1)”时,由 n=k(k>1)不

*

等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是() A.2
k﹣1

B.2 ﹣1
2

k

C. 2

k

D.2 +1

k

7. (3 分)已知方程 x +(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根 b,且 z=a+bi,则复数 z 等于() A.2﹣2i B.2+2i C.﹣2+2i D.﹣2﹣2i 8. (3 分)已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值是()

A.e

B . ﹣e

C.

D.﹣

9. (3 分)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班 级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有() A.16 种 B.18 种 C.37 种 D.48 种

10. (3 分)设有复数 ω1=﹣ ω+ω +ω +…ω A.ω E. ω
2 3 2011

π,令 ω=ω1ω2,则复数

=() 2 B. ω

C.ω1

D.ω2

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)定义一种运算如下: =ad﹣bc,则复数 的共轭复数是.

12. (4 分)两个物体在相距为 423m 的同一直线上从 0s 开始同时相向运动,物体 A 的运动速 度 v 与时间 t 之间的关系为 v=2t+1(v 的单位是 m/s,t 的单位是 s) ,物体 B 的运动速度 v 与 时间 t 之间的关系为 v=1+8t, .则它们相遇时,A 物体的运动路程为. 13. (4 分)观察如图等式,照此规律,第 n 个等式为.

14. (4 分)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上 也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f (x)=(f′(x) )′,若 f (x)<0 在 D 上 恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.对于给出的四个函数: ①f(x)=sinx+cosx,②f(x)=lnx﹣2x,③f(x)=﹣x +x ﹣x +1,④f(x)=﹣xe 以上四个函数在 上是凸函数的是(请把所有正确的序号均填上)
4 3 2
﹣x





15. (4 分)有 6×6 的方阵,3 辆完全相同的红车,3 辆完全相同的黑车,它们均不在同一行且 不在同一列,则所有的排列方法种数为.

三、解答题(共 6 小题,共 50 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (5 分)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的 品种,现在餐厅准备了五种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择,则餐厅 至少还需准备多少不同的素菜品种?(要求写出必要的解答过程)

17. (5 分)已知|z|=1,求|z +z+4|的最小值. 18. (8 分)设 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切 线与 y 轴相交于点(0,6) . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 19. (12 分)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数,问: (1)可组成多少个无重复数字的五位数? (2)可组成多少个无重复数字的五位奇数? (3)可组成多少个无重复数字的能被 3 整除的五位奇数?
2

2

20. (8 分)已知数列 Sn 为该数列的前 n 项和, * (1)计算得 S1,S2,S3,S4,并归纳出 Sn(n∈N ) ; (2)用数学归纳法证明你的结论. 21. (12 分)已知 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3. (1)求函数 f(x)在(t>0)上的最小值; (2)对一切 x∈(0,+∞) ,2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 成立.
2

,…,

湖南省衡阳八中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科) (创新班)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)下列表述正确的是() ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推 理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ 考点: 归纳推理;演绎推理的意义.

D.①③ ⑤

专题: 阅读型. 分析: 本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对 5 个命题 逐一判断即可得到答案. 解答: 解:归纳推理是由部分到整体的推理, 演绎推理是由一般到特殊的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理. 故①③⑤是正确的 故选 D 点评: 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义,即是否是 由特殊到一般的推理过程. 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的 定义, 即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程. 判断一个推理过程是否是演绎推 理关键是看他是否符合演绎推理的定义, 即是否是由一般到特殊的推理过程. 2. (3 分) A.ln2+ B.ln2﹣ dx=() C.ln2﹣ D.ln2﹣

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 只须求出被积函数的原函数,再利用积分中值定理即可求得结果. 解答: 解:∵ dx=(lnx﹣ ﹣ )|1 =ln2﹣ ﹣ ﹣ln1+1+ =ln2+ .
2

故选:A 点评: 本小题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识,考查运算求解能力、化 归与转化思想.属于基础题. 3. (3 分)用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、 c 中至少有一个偶数时,下列假设正确的是() A.假设 a、b、c 都是偶数 B. 假设 a、b、c 都不是偶数 C. 假设 a、b、c 至多有一个偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数 考点: 反证法与放缩法. 专题: 常规题型. 分析: 本题考查反证法的概念, 逻辑用语, 否命题与命题的否定的概念, 逻辑词语的否定. 根 据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定 即可. 解答: 解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定 “至少有一个”的否定“都不是”. 即假设正确的是:假设 a、b、c 都不是偶数 故选:B. 点评: 一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定:“不 都是”;“至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至多
2

有 n 个”的否定:“至少有 n+1 个”;“任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两个”; “所有的”的否定:“某些”. 4. (3 分)n∈N ,则(21﹣n)…(100﹣n)等于() A.A C. A B. A D.A
*

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 由条件利用排列数公式,可得结论. 解答: 解:由于(21﹣n)…(100﹣n)表示 81 个连续自然数的乘积, 最大的项是 100﹣n,最小的项为 20﹣n, 根据排列数公式可得它可用 A 表示,

故选:C. 点评: 本题主要考查排列数公式的应用,属于基础题. 5. (3 分)若 a,b∈R,则复数(a ﹣4a+5)+(﹣b +2b﹣6)i 表示的点在() A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 配方可得 a ﹣4a+5=(a﹣2) >0,﹣b +2b﹣6<0,可得结论. 2 2 解答: 解:配方可得 a ﹣4a+5=(a﹣2) +1≥1>0 2 2 ﹣b +2b﹣6=﹣(b﹣1) ﹣5≤﹣5<0, 2 2 ∴复数(a ﹣4a+5)+(﹣b +2b﹣6)i 表示的点在第四象限, 故选:D 点评: 本题考查复数的代数形式的几何意义,涉及配方法的应用,属基础题.
2 2 2 2 2

6. (3 分)用数学归纳法证明“1+ + +…+

<n(n∈N ,n>1)”时,由 n=k(k>1)不

*

等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是() A.2
k﹣1

B.2 ﹣1

k

C. 2

k

D.2 +1

k

考点: 用数学归纳法证明不等式. 专题: 综合题. 分析: 考查不等式左侧的特点,分母数字逐渐增加 1,末项为 增加的项数即可. ,然后判断 n=k+1 时

解答: 解:左边的特点:分母逐渐增加 1,末项为



由 n=k,末项为

到 n=k+1, 末项为

=

,∴应增加的项数为 2 .

k

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查数学归纳法证明问题的第二步,项数增加多少问题,注意表达 式的形式特点,找出规律是关键. 7. (3 分)已知方程 x +(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根 b,且 z=a+bi,则复数 z 等于() A.2﹣2i B.2+2i C.﹣2+2i D.﹣2﹣2i 考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 把 b 代入方程,化简利用复数相等的条件,求 a、b 即可得到复数 z. 2 2 解答: 解:把实根 b,代入方程 x +(4+i)x+4+ai=0,得方程 b +(4+i)b+4+ai=0 2 所以 b +4b+4=0 且 b+a=0,所以 b=﹣2,a=2 所以 z=2﹣2i 故选 A. 点评: 本题考查复数代数形式的混合 运算,复数的相等,是基础题. 8. (3 分)已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值是() A.e B . ﹣e C. D.﹣
2

考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题. 分析: 欲求 k 的值,只须求出切线的 斜率的值即可,故先利用导数求出在切处的导函数值, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵y=lnx,∴y'= , 设切点为(m,lnm) ,得切线的斜率为 ,

所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为:y﹣lnm= ×(x﹣m) . 它过原点,∴﹣lnm=﹣1,∴m=e, ∴k= . 故选 C. 点评: 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 9. (3 分)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班 级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有() A.16 种 B.18 种 C.37 种 D.48 种

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,用间接法:先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数,再排除甲工厂无人 去的情况,由分步计数原理可得其方案数目,由事件之间的关系,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有 4 种选择,共有 4×4×4=64 种情况, 其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有 3 种选择,共 有 3×3×3=27 种方案; 则符合条件的有 64﹣27=37 种, 故选 C. 点评: 本题考查计数原理的运用,本题易错的方法是:甲工厂先派一个班去,有 3 种选派 方法,剩下的 2 个班均有 4 种选择,这样共有 3×4×4=48 种方案;显然这种方法中有重复的计 算;解题时特别要注意.

10. (3 分)设有复数 ω1=﹣ ω+ω +ω +…ω A.ω E. ω
2 3 2011

π,令 ω=ω1ω2,则复数

=() 2 B. ω

C.ω1

D.ω2

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化代数形式为三角形式,然后直接利用复数三角形式的乘除运算化简求值. 解答: 解:∵ω1=﹣ ω=ω1ω2=(
2 3 2011

π, ) (cos +isin )=cos +isin .

∴ω+ω +ω +…ω

=

=

=ω.

故选:A. 点评: 本题考查了复数三角形式的乘除运算,是基础的计算题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)定义一种运算如下: =ad﹣bc,则复数 的共轭复数是 22﹣i.

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数.

分析: 直接由定义得到复数 解答: 解:由定义知,复数 ∴复数 的共轭复数是 22﹣i.

,取其共轭得答案. =(1+i)i+23=22+i.

故答案为:22﹣i. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的概念,是基础题. 12. (4 分)两个物体在相距为 423m 的同一直线上从 0s 开始同时相向运动,物体 A 的运动速 度 v 与时间 t 之间的关系为 v=2t+1(v 的单位是 m/s,t 的单位是 s) ,物体 B 的运动速度 v 与 时间 t 之间的关系为 v=1+8t, .则它们相遇时,A 物体的运动路程为 90m. 考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由定积分求出两物体相遇时物体 A 运动的距离和物体 B 运动的距离,由距离相等列 式求出 t,代入距离函数求得答案. 解答: 解:两物体相遇时 A 运动的距离为 B 运动的距离为
2 2

(2t+1)dt=(t +t)|

2

=t +t,

2

(1+8t)dt=t+4t . 舍去) .
2

2

由 t +t+4t +t=423,得 t=9, (t=﹣

∴两物体相遇时 A 运动的距离为 9 +9=90. 故答案为:90m. 点评: 本题考查了定积分的应用;关键是明确对速度的积分是物体的运动路程的意义,属 于基础题. 13. (4 分)观察如图等式,照此规律,第 n 个等式为 n+(n+1)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1) .
2

考点: 归纳推理;进行简单的合情推理. 专题: 探究型. 分析: 根据前 4 个式子的规律,利用归纳推理进行归纳即可. 2 2 2 2 解答: 解:等式的右边为 1,9,25,49,即 1 ,3 ,5 ,7 …,为奇数的平方. 等式的左边为正整数为首项,每行个数为对应奇数的和, 2 ∴第 n 个式子的右边为(2n﹣1) , 左边为 n+(n+1)+…+(3n﹣2) , 2 ∴第 n 个等式为:n+(n+1)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1) . 2 故答案为:n+(n+1)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1) .

点评: 本题主要考查归纳推理的应用,观察等式的取值规律,进行归纳是解决归纳推理的 基本方法,考查学生的观察和分析能力. 14. (4 分)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上 ″ ″ 也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f (x)=(f′(x) )′,若 f (x)<0 在 D 上 恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.对于给出的四个函数: ①f(x)=sinx+cosx,②f(x)=lnx﹣2x,③f(x)=﹣x +x ﹣x +1,④f(x)=﹣xe 以上四个函数在
4 3 2
﹣x

上是凸函数的是①②③(请把所有正确的序号均填上)

考点: 导数的运算. 专题: 计算题;新定义;导数的概念及应用. 分析: 根据二阶导数的定义逐项判断即可得到答案. 解答: 解:对于①,f″(x)=﹣(sinx+cosx) ,x∈(0, 对于②,f″(x)=﹣ ,在 x∈(0,
2

)时,f″(x)<0 恒成立;

)时,f″(x)<0 恒成立; )时,f″(x)<0 恒成立;

对于③,f″(x)=﹣2(6x ﹣3x+1) ,在 x∈(0, 对于④,f″(x)=(2﹣x)?e
﹣x ﹣x

在 x∈(0,

)时 f″(x)>0 恒成立,

所以 f(x)=﹣xe 不是凸函数. 故答案为:①②③. 点评: 本题考查导数的运算,考查学生的运算求解能力及应用意识,属基础题. 15. (4 分)有 6×6 的方阵,3 辆完全相同的红车,3 辆完全相同的黑车,它们均不在同一行且 不在同一列,则所有的排列方法种数为 14400. 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;排列组合. 分析: 利用分步计数原理,第一步先选车,第二种再排列,问题得以解决. 解答: 解:第一步先选车有 种,第二步因为每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一 种,根据分步计数

格,从中选取一辆车后,把这辆车所在的行列全划掉,依次进行,则有 原理得; =14400.

故答案为:14400. 点评: 本题考查了分步计数原理的应用,关键是如何求出每辆车所在行列的可能性. 三、解答题(共 6 小题,共 50 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (5 分)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的 品种,现在餐厅准备了五种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择,则餐厅 至少还需准备多少不同的素菜品种?(要求写出必要的解答过程)

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 根据保证每位顾客有 200 种以上不同选择,可得 解答: 解:设餐厅至少还需准备 n 种不同的素菜, 由题意,得 从而有 , ,即 n(n﹣1)≥40, ,由此可得结论.

所以 n 的最小值为 7, 故餐厅至少还需准备 7 种不同的素菜. 点评: 本题考查计数原理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 17. (5 分)已知|z|=1,求|z +z+4|的最小值. 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由|z|=1,设 z=cosθ+isinθ.利用复数的运算法则、倍角公式、两角和差的余弦公式、 二次函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵|z|=1,设 z=cosθ+isinθ. 2 则|z +z+4|=|cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ+4| = = = ∴|z +z+4|的最小值为
2 2

.当 cos .

时取等号.

点评: 本题考查了复数的运算法则、倍角公式、两角和差的余弦公式、二次函数的单调性, 属于基础题. 18. (8 分)设 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切 线与 y 轴相交于点(0,6) . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某 点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先由所给函数的表达式,求导数 fˊ(x) ,再根据导数的几何意义求出切线的斜 率,最后由曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴相交于点(0,6)列出方程求 a 的值即可;
2

(2)由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函 数在各段内的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调性求出极值点,把极 值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值. 解答: 解: (1)因 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,故 f′(x)=2a(x﹣5)+ , (x>0) , 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6﹣8a, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣16a=(6﹣8a) (x﹣1) , 由切线与 y 轴相交于点(0,6) . ∴6﹣16a=8a﹣6, ∴a= . (2)由(I)得 f(x)= (x﹣5) +6lnx, (x>0) , f′(x)=(x﹣5)+ = ,令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=3,
2 2

当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2) , (3,+∞)上为增函数, 当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数, 故 f(x)在 x=2 时取得极大值 f(2)= +6ln2,在 x=3 时取得极小值 f(3)=2+6ln3. 点评: 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、 函数的极值及其几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思 想.属于中档题. 19. (12 分)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重 复数字的数,问: (1)可组成多少个无重复数字的五位数? (2)可组成多少个无重复数字的五位奇数? (3)可组成多少个无重复数字的能被 3 整除的五位奇数? 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;排列组合. 分析: (1)利用间接法, 可得 (2)利用间接法,可得 ﹣ ; =72;取 0,则其余 4 个数为 1,2,4, ;

(3)分类讨论,不取 0,能被 3 整除的五位奇数有 5,能被 3 整除的五位奇数有 解答: 解: (1)利用间接法,可得 (2)末尾是奇数共有

=36,即可得出结论. =600; ,故共有 ﹣ =288;

,首位是 0 末尾是奇数共有

(3)不取 0,能被 3 整除的五位奇数有 3 整除的五位奇数有

=72;取 0,则其余 4 个数为 1,2,4,5,能被

=36,故共有 72+36=108.

点评: 本题考查计数原理的应用,考查间接法,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

20. (8 分)已知数列 Sn 为该数列的前 n 项和, * (1)计算得 S1,S2,S3,S4,并归纳出 Sn(n∈N ) ; (2)用数学归纳法证明你的结论. 考点: 数学归纳法;数列的求和;归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: (1)由已知中

,…,

,可得:

S1= ,S2=

,S3=

,S4=

,并猜想:Sn=

(2)利用归纳法进行证明,检验 n=1 时等式成立,假设 n=k 时命题成立,证明当 n=k+1 时命 题也成立. 解答: 解: (1)∵ ∴S1= ,S2= ,S3= ,S4= , ,

由此归纳猜想:Sn=



证明: (2)当 n=1 时,左=S1= ,右=

= ,

猜想成立假设当 n=k 时猜想成立,即 Sk=

(k∈N*) .

那么 Sk+1=Sk+ak+1=

+

=

=

=



即当 n=k+1 时猜 想也成立. * 根据(1)和(2)可知,猜想对?n∈N 都成立. 点评: 此题主要考查归纳法的证明,归纳法一般三个步骤: (1)验证 n=1 成立; (2)假设 n=k 成立; (3)利用已知条件证明 n=k+1 也成立,从而求证. 21. (12 分)已知 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3. (1)求函数 f(x)在(t>0)上的最小值; (2)对一切 x∈(0,+∞) ,2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 成立.
2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)对函数求导,根据导函数与 0 的关系写出函数的单调性和区间,讨论所给的区 间和求出的单调区间之间的关系,在不同条件下做出函数的最值. (2)根据两个函数的不等关系恒成立,先求出两个函数的最值,利用最值思想解决,主要看 两个函数的最大值和最小值之间的关系,得到结果. (3)要证明不等式成立,问题等价于证明 知 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) )的最小值是 解答: 解: (1)f'(x)=lnx+1,当 当 ① ② ③ ,构造新函数,得到结论. ,f'(x)<0,f(x)单调递减, ,由(1)可

,f'(x)>0,f(x)单调递增. ,t 无解; ,即 ,即 时, ;

时,f(x)在上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;





(2)2xlnx≥﹣x +ax﹣3,则

2





,则



x∈(0,1) ,h'(x)<0,h(x)单调递减,x∈(1,+∞) ,h'(x)>0,h(x)单调递增,

所以 h(x)min=h(1)=4 因为对一切 x∈(0,+∞) ,2f(x)≥g(x)恒成立,所以 a≤h(x)min=4; (3)问题等价于证明 由(1)可知 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) )的最小值是 , ,当且仅当 时取到



,则

,易得

, 当且仅当 x=1 时取到,从而对一切 x∈(0,+∞) ,都有 成立.

点评: 不同考查利用导数研究函数的最值,利用最值解决函数的恒成立思想,不同解题的 关键是构造新函数,利用新函数的性质解决问题.



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