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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案1.1.1集合的含义与表示



第 1 课时 集合的含义与表示
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法. (2)初步了解“属于”关系的意义.理解集合相等的含义. (3)初步了解有限集、无限集的意义,并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2.过程与方法 (1)通过实例,初步体会元素与集合的“属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确 地理解集合. (2)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语 言在描述客观现实和数学对象中的意义. (3)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性) . (4)通过实例体会有限集与无限集,理解列举法和描述法的含义,学会用恰当的形式表 示给定集合掌握集合表示的方法. 3.情感、态度与价值观 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. (2) 在学习运用集合语言的过程中, 增强学生认识事物的能力. 初步培养学生实事求是、 扎实严谨的科学态度. (二)教学重点、难点 重点是集合的概念及集合的表示. 难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述 法正确地表示一些简单集合. (三)教学方法 尝试指导与合作交流相结合.通过提出问题、观察实例,引导学生理解集合的概念,分 析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求,并能依照要求举出符合条件的例子,加深对概 念的理解、性质的掌握.通过命题表示集合,培养运用数学符合的意识. 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 学生回答(不能,应为7种), 一个百货商店,第一批进货是帽子、皮 然后教师和学生共同分析原因:由 设疑激趣, 鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种,第二批 于两次进货共同的品种有两种,故 进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、 应为4 +5 – 2 = 7种.从而指出: 导入课题. 闹钟共计5个品种,问一共进了多少品种 ??这好像涉及了另一种新的运 的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢? 算.?? 引导学生回顾,初中代数中不 等 式的 解法 一节 中提 到的 有关 知 识: 通 过 复 一般地,一个含有未知数的不 ① 初中代数中涉及“集合”的提法. 习回顾,引 等式的所有解,组成这个不等式的 ② 初中几何中涉及“集合”的提法. 出集合的 解的集合,简称为这个不等式的解 概念. 集. 几何中,圆的概念是用集合描 述的.

提出 问题

复习 引入

概念 形成

第一组实例(幻灯片一): 通过实例, (1)“小于l0”的自然数0,1,2, 引导学生 3,??,9. 经历并体 (2)满足3x – 2 >x + 3的全体实 教师提问: 以上各例 ① (构成集 会集合(描 数. 合)有什么特点?请大家讨论. (3)所有直角三角形. 学生讨论交流,得出集合概念 述性)概念 (4)到两定点距离的和等于两定点 的要点,然后教师肯定或补充. 间的距离的点. ②我们能否给出集合一个大体 形成的过 (5)高一(1)班全体同学. 描述???学生思考后回答,然后教 程,引导学 (6) 参与中国加入WTO谈判的中方 师总结. 成员. ③上述六个例子中集合的元素 生 进 一 步 1.集合: 各是什么? 明确集合 一般地,把一些能够确定的不同的 ④请同学们自己举一些集合的 及 集 合 元 对象看成一个整体,就说这个整体是由 例子. 素的概念, 这些对象的全体构成的集合(或集). 会用自然 2.集合的元素(或成员): 语言描述 即构成集合的每个对象(或成员), 集合. 第二组实例(幻灯片二): (1)参加亚特兰大奥运会的所有中 教师要求学生看第二组实例, 国代表团的成员构成的集合. 并提问: 你能指出各个集合的元素 ① 2 (2) 方程x = 1的解的全体构成的集 吗?②各个集合的元素与集合之间 引入集合 合. 是什么关系?③例(2)中数0,–2 语言描述 (3)平行四边形的全体构成的集 是这个集合的元素吗? 集合. 合. 学生讨论交流,弄清元素与集 (4)平面上与一定点O的距离等于r 合之间是从属关系,即“属于”或 的点的全体构成的集合. “不属于”关系. 3.元素与集合的关系:

概念 深化

教学环节

教学内容 集合通常用英语大写字母A、B、C? 表示,它们的元素通常用英语小写字母a、 b、c?表示. 如果a是集合A的元素,就说a属于A, 记作a∈ A,读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素, 就说a不属于

师生互动

设计意图

念 深化

教师提问: “我们班中高个子 的同学”、“年轻人”、“接近数 通过讨 0的数”能否分别组成一个集合, 论, 使学生 A,记作a ? A,读作“a不属于A”. 为什么? 明确集合 4.集合的元素的基本性质; 学生分组讨论、交流,并在教 元 素 所 具 (1)确定性:集合的元素必须是确定 师的引导下明确: 有的性质, 的.不能确定的对象不能构成集合. 给定一个集合, 任何一个对象 从 而 进 一 (2)互异性:集合的元素一定是互异 是不是这个集合的元素也就确定 步 准 确 理 的.相同的几个对象归于同一个集合时只 了.另外,集合的元素一定是互异 解 集 合 的 能算作一个元素. 的. 相同的对象归于同一个集合时 概念. 只能算作集合的一个元素. 第三组实例(幻灯片三): 通过观 (1)由x2,3x + 1,2x2 – x + 5三个式 教师要求学生观察第三组实 察实例, 发 子构成的集合. 例,并提问:它们各有元素多少 现 集 合 的 (2)平面上与一个定点O的距离等于 个? 元素个数 1的点的全体构成的集合. 学生通过观察思考并回答问 具 有 不 同 (3) 方程x2 = – 1的全体实数解构成的 题. 的类别, 从 集合. 然后, 依据元素个数的多少将 而 使 学 生 集合分类. 感受到有 5.空集:不含任何元素的集合,记作 让学生指出第三组实例中, 限集、 哪 无限 ?. 些 是 有 限 集 ? 哪 些 是 无 限 集、 空集存 6.集合的分类: 按所含元素的个数分 集??? 在的客观 为有限集和无限集. 请同学们熟记上述符号及其 意义. 7. 常用的数集及其记号 (幻灯片四) . 意义. N:非负整数集(或自然数集). N*或N+:正整数集(或自然数集去掉 0). Z:整数集. Q:有理数集. R:实数集.

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

应用 举例

师生合作应用定义表示集合. 例1 解答:(1)设小于10的所 有自然数组成的集合为A,那么 A = {0,1,2,3,4,5,6,7, 列举法: 8,9}. 定义: 把集合的元素一一列举出来, 由于元素完全相同的两个集合 并用花括号“{}”括起来表示集合的方 相等,而与列举的顺序无关,因此 法叫做列举法. 集合A可以有不同的列举法. 例如: 例1 用列举法表示下列集合: A = {9,8,7,6,5,4,3,2, (1) 小于10的所有自然数组成的集 1,0}. 合; (2)设方程x2 = x 的所有实数 (2)方程x2 = x的所有实数根组成 根组成的集合为B,那么B = {0,1}. 的集合; (3)设由1~20以内的所有质 (3)由1~20以内的所有质数组成 数组成的集合为C,那么 的集合. C = {2,3,5,7,11,13,17, 19}. 描述法: 定义:用集合所含元素的共同特征 例2 解答:(1)设方程x2 – 2 = 表示集合的方法称为描述法. 具体方法 0的实数根为 x, 并且满足条件x2 – 2 是:在花括号内先写上表示这个集合元 = 0,因此,用描述法表示为 素的一般符号及取值(或变化)范围, A = {x∈R| x2 –2 = 0}. 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合 方程x2 –2 = 0有两个实数根 中元素所具有的共同特征. 2 , ? 2 ,因此,用列举法表示为 例2 试分别用列举法和描述法表 A = { 2 , ? 2 }. 示下列集合: (2)设大于10小于20的整数为 2 (1)方程x –2 = 0的所有实数根组 x,它满足条件x∈Z,且10<x<20. 成的集合; 因此,用描述法表示为 (2) 由大于10小于20的所有整数组 B = {x∈Z | 10<x<20}. 成的集合. 大于10小于20的整数有11,12, 13,14,15,16,17,18,19,因 此,用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16, 17,18,19}.

教学环节

教学内容 例3 已知由l,x,x ,三个实数构成 一个集合,求x应满足的条件. 解:根据集合元素的互异性,
?x ? 1 ? 得 ?x 2 ? 1 ? 2 ?x ? x
2

师生互动

设计意图

学生分析求解, 教师板书.

应用 举例

通过应 用,进一步 所以x∈R且x≠±1,x≠0. 幻灯片五(练习答案), 理解集合的 课堂练习:教材第5页练习A1、2、3. 反馈矫正. 有关概念、 例2 用∈ ? 填空. 、 性质. ①? ③ 3 ⑤ 0 Q;② 3 R;④ 0 N*;⑥ 0 Z; N; Z.

例4 试选择适当的方法表示下列 集合: 生:独立完成;题:点评 (1) 由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组 说明. 成的集合; 例4 解答:(1){3,–3}; (2)由小于8的所有素数组成的集 (2){2,3,5,7}; 合; (3){(1,4)}; (3)一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6 (4){x| x<2}. 的图象的交点组成的集合; (4)不等式4x – 5<3的解集. 引导学生学 ① 请同学们回顾总结,本节课学过的 会自己总结; 集合的概念等有关知识; 让学 ② 通过回顾本节课的探索学习过程, 师生共同总结——交流— 生进一步 (回 请同学们体会集合等有关知识是怎样形 —完善. 顾)体 成、发展和完善的. 会知识的形 ③通过回顾学习过程比较列举法和 成、发展、完 描述法. 归纳适用题型. 善的过程. 巩固深化; 预 习下一节内 容, 培养自学 能力.

归纳 总结

课后 作业

1.1 第一课时习案

由学生独立完成.

备选例题
例 1(1)利用列举法表法下列集合:①{15 的正约数};②不大于 10 的非负偶数集. (2)用描述法表示下列集合:①正偶数集; ②{1,–3,5,–7,?,–39,41}. 【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.

【解析】 (1)①{1,3,5,15} ②{0,2,4,6,8,10} (2)①{x | x = 2n,n∈N*} ②{x | x = (–1) n–1·(2n –1),n∈N*且 n≤21}. 【评析】 (1)题需把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合,多用于集合 中的元素有有限个的情况. (2)题是将元素的公共属性描述出来,多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元 素个数较多的有限集. 例 2 用列举法把下列集合表示出来: (1)A = {x∈N | (2)B = {
9 ∈N}; 9? x

9 ∈N | x∈N }; 9? x

(3)C = { y = y = – x2 + 6,x∈N ,y∈N }; (4)D = {(x,y) | y = –x2 +6,x∈N }; (5)E = {x |
p = x,p + q = 5,p∈N ,q∈N*}. q

【分析】先看五个集合各自的特点:集合 A 的元素是自然数 x,它必须满足条件 是自然数;集合 B 中的元素是自然数

9 也 9? x

9 ,它必须满足条件 x 也是自然数;集合 C 中的元 9? x

素是自然数 y,它实际上是二次函数 y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值;集合 D 中的元素是点, 这些点必须在二次函数 y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上; 集合 E 中的元素是 x, 它必须满足的条 件是 x =
p ,其中 p + q = 5,且 p∈N,q∈N*. q

【解析】 (1)当 x = 0,6,8 这三个自然数时,

9 =1,3,9 也是自然数. 9? x

∴ A = {0,6,9} (2)由(1)知,B = {1,3,9}. (3)由 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N 知 y≤6. ∴ x = 0,1,2 时,y = 6,5,2 符合题意. ∴ C = {2,5,6}. (4)点 {x,y}满足条件 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N,则有:
? x ? 0, ? x ? 1, ? x ? 2, ? ? ? ? y ? 6, ? y ? 5, ? y ? 2.

∴ D = {(0,6) (1,5) (2,2) } (5)依题意知 p + q = 5,p∈N,q∈N*,则
? p ? 2, ? p ? 3, ? ? ?q ? 3, ?q ? 2, P x 要满足条件 x = , q ? p ? 0, ? ?q ? 5, ? p ? 1, ? ?q ? 4, ? p ? 4, ? ?q ? 1.

1 3 2 ∴E = {0, , , ,4}. 4 2 3

【评析】用描述法表示的集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么

条件,从而准确理解集合的意义. 例 3 已知–3∈A = {a –3,2a – 1,a2 + 1},求 a 的值及对应的集合 A. –3∈A,可知–3 是集合的一个元素,则可能 a –3 = –3,或 2a – 1 = –3,求出 a,再代入 A,求出集合 A. 【解析】由–3∈A,可知,a –3 = –3 或 2a –1 = –3,当 a –3 = –3,即 a = 0 时,A = {–3, –1,1} 当 2a – 1 = –3,即 a = –1 时,A = {– 4,–3,2}. 【评析】元素与集合的关系是确定的,–3∈A,则必有一个式子的值为 –3,以此展开 讨论,便可求得 a.



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