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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】2.2.2椭圆的几何性质(二)


2.2.2
一、基础过关

椭圆的几何性质(二)
( )

1.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 等于 1 A. 2 1 B.2 C.4 D. 4

x2 → → 2.已知椭圆 +y2=1 的焦点为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且MF1· 2=0,则点 M 到 y 轴 MF 4 的距离为 2 3 A. 3 2 6 B. 3 D. 3 3 D. 3 ( ) ( )

3.已知点(m,n)在椭圆 8x2+3y2=24 上,则 2m+4 的取值范围是 A.[4-2 3,4+2 3] C.[4-2 2,4+2 2] B.[4- 3,4+ 3] D.[4- 2,4+ 2]

4.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 P 变轨进 入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二 次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行, 最终卫星在 P 点第 三次变轨以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用 2c1 和 2c2 分别表示椭 圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长, 给出下列式子: c1 c2 ①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④ < . a1 a2 A.①③ C.①④ B.②③ D.②④ ) ( )

5.设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于( A.4 C.8 B.4 2 D.8 2

6.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面 p 千米,远地点距地 面 q 千米,若地球半径为 r 千米,则运行轨迹的短轴长为______________. 7.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长 2 轴长是 6,且 cos∠OFA= ,求椭圆的方程. 3 二、能力提升 x2 y2 8.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 2+ 2=1 上的点,F1、F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦 a b 距为 c,则|PF1|· 2|的最大值与最小值之差一定是 |PF A.1 B.a
2

(

)

C.b

2

D.c

2

→ → 9.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足MF1· 2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率 MF 的取值范围是 A.(0,1) C.?0, 1 B.?0,2? ? ? D.? 2 ? ? 2 ,1? ( )

?

2? 2?

10. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2 (a>1)的点的轨迹, 给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点;②曲线 C 关于坐标原点对称;③若点 P 在双曲线 C 上,则△F1PF2 1 的面积不大于 a2. 2 其中,所有正确结论的序号是__________. x2 11. 如图, 在直线 l: x-y+9=0 上任意取一点 M, 经过 M 点且以椭圆 12 y2 + =1 的焦点作为焦点作椭圆,问当 M 在何处时,所作椭圆的长 3 轴最短,并求出最短长轴为多少? x2 y2 12.点 A 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)短轴上位于 x 轴下方的顶点,过 A 作斜率为 1 的直线交椭 a b → → 圆于 P 点,B 点在 y 轴上且 BP∥x 轴,AB· =9. AP (1)若 B(0,1),求椭圆方程; (2)若 B(0,t),求 t 的取值范围. 三、探究与拓展 x2 13.已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (1)求椭圆 C2 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB=2OA,求直线 AB 的方程.

答案
1.C 2.B 3.A 4.B 6.2 ?p+r??q+r? 2 7.解 ∵椭圆的长轴长是 6,cos∠OFA= , 3 ∴点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点). c 2 ∴|OF|=c,|AF|=a=3.∴ = . 3 3 ∴c=2,b2=32-22=5. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程是 + =1 或 + =1. 9 5 5 9 8.D 9.C 5.C

10.②③ 11.解 椭圆的两焦点分别为 F1(-3,0)、F2(3,0),作 F1 关于直线 l 的对称点 F′1,则直线 F1F′1 的方程为 x+y=-3,
?x+y=-3 ? 由方程组? ,得 P 的坐标(-6,3), ? ?x-y=-9

由中点坐标公式得 F′1 坐标(-9,6), 所以直线 F2F′1 的方程为 x+2y=3.
?x+2y=3 ? 解方程组? ,得 M 点坐标(-5,4). ?x-y=-9 ?

由于|F′1F2|= 180=2a=6 5. 所以 M 点的坐标为(-5,4)时,所作椭圆的长轴最短,最短长轴为 6 5. 12.解 (1)由题意知 B(0,1),A(0,-b),∠PAB=45° . → → → → AB· =|AB|· |cos 45° AP |AP =(b+1)2=9, 9 1 得 b=2.∴P(3,1),代入椭圆方程,得 2+ =1, a 4 x2 y2 ∴a2=12,故所求椭圆的方程为 + =1. 12 4 → (2)若 B(0,t),由 A(0,-b)得|AB|=|t+b|=t+b(B 在 A 点上方).将 P(3,t)代入椭圆方 9 t2 程,得 2+ 2=1, a b 9b2 9b2 ∴a2= 2 2.∵a2>b2,∴ 2 2>b2.① b -t b -t → 又|AB|=t+b=3,∴b=3-t.

代入①式得

92 3 >1,解得 0<t< . 2 ?3-t?2-t2

y2 x2 13.解 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 其离心率为 a2-4 3 3 ,故 = ,解得 a=4. 2 a 2

y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程 为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 所以 x2 = . A 1+4k2 y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16, 16 4 16 所以 x2 = . B 4+k2 16 16 → → 2 又由OB=2OA,得 xB=4x2 ,即 = , A 4+k2 1+4k2 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.


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