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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第九章 概率与统计练习 理



第九章 第1讲

概率与统计

计数原理与排列组合

1.会议室第一排共有 8 个座位,现有 3 人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同 的坐法种数为( ) A.12 种 B.16 种 C.24 种 D.32 种 2.(2014 年大纲)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成 一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 3.(2014 年重庆)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节 目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 种 B.120 种 C.144 种 D.168 种 4.(2014 年四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲, 则不同的排法共有( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 5.(2013 年浙江)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则 不同的排法共有________种.(用数字作答) 6. (2013 年北京)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人, 每人至少 1 张, 如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________种. 7.(2014 年北京)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有____________种. 8.(2013 年重庆)从 3 名骨科,4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救 灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法有________种.(用数字 作答) 9.有编号分别为 1,2,3,4 的 4 个盒子和 4 个小球,把小球全部放入盒子.问: (1)共有多少种放法? (2)恰有 1 个空盒,有多少种放法? (3)恰有 2 个盒子内不放球,有多少种放法?

1

10.(1)有 5 个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种? (2)现有 10 个保送上大学的名额,分配给 7 所学校,每校至少有 1 个名额,问名额分配 的方法共有多少种?

第 2 讲 二项式定理

?1 ?5 2 3 1.(2014 年湖南)? x-2y? 的展开式中 x y 的系数是( ) ?2 ? A.-20 B.-5 C.5 D.20 ? 2 1?n 2. 已知?x + ? 的二项展开式的各项系数之和为 32, 则二项展开式中 x 的系数为( ?
x?

)

A.5 B.10 C.20 D.40 5 5 3.若(x+1) =a5(x-1) +?+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为( ) A.80 B.40 C.20 D.10 5 2 4.(2013 年新课标Ⅱ)已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 2m 5.(2013 年新课标 1)设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a, 2m+1 (x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8 4 2 2 6.(2013 年大纲)(1+x) (1+y) 的展开式中 x y 的系数是( ) A.56 B.84 C.112 D.168 10 7 7.(2014 年新课标Ⅱ)(x+a) 的展开式中,x 的系数为 15,则 a=________.(用数字 作答) ? x- 1 ? ?5 的展开式中常数项为 A,则 A=________. 8.(2013 年浙江)设二项式? 3

? ?

x?

?

9. 在(3

p x-2· x)11 的展开式中任取一项, 设所取项为有理项的概率为 p, 求 ? x dx.

3

1

0

2

10.已知(3x-1) =a0+a1x+a2x +?+a7x ,求|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|的值.

7

2

7

第 3 讲 随机事件的概率

1.从 6 个男生、2 个女生中任取 3 人,则下列事件中必然事件是( ) A.3 个都是男生 B.至少有 1 个男生 C.3 个都是女生 D.至少有 1 个女生 2.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测,数据如下: 抽取台数/台 50 100 200 300 500 1000 优等品数/台 47 92 192 285 478 954 则该厂生产的电视机是优等品的概率约为( ) A.0.92 B.0.94 C.0.95 D.0.96 3.抽查 10 件产品,设事件 A:至少有 2 件次品,则 A 的对立事件为( ) A.至多有 2 件次品 B.至多有 1 件次品 C.至多有 2 件正品 D.至多有 1 件正品 4.(2013 年安徽)若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人,这 5 人 被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )

3

2 2 B. 3 5 3 9 C. D. 5 10 5.(2014 年新课标Ⅰ)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为________. 6.(2014 年广东,由人教版必修 3P125?例 1 改编)从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同 的字母,则取到字母 a 的概率为________. 7.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的 7 个球,从中任意取出 2 个,则这 2 个球的编 号之积为奇数的概率是______(结果用最简分数表示). 8. (2013 年上海)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 个球, 从中任意取出 2 个, 则这 2 个球的编号之积为偶数的概率是__________(结果用最简分数表示). A. 9.由经验得知:在中华商场排队等候付款的人数及其概率如下表: 排队人数 0 1 2 3 4 5 人以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04 (1)求至少有 1 人排队的概率; (2)求至多 2 人排队的概率; (3)求至少 2 人排队的概率.

10.(2014 年陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车 辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4000 车辆数/辆 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中,车主 是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率.

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第 4 讲 古典概型与几何概型

1.(2014 年湖南)在区间[-2,3]上随机选取一个数 x,则 x≤1 的概率为( ) 4 2 3 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 2.(2013 年新课标Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值 为 2 的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 6 3.(2014 年陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的 距离不小于该正方形边长的概率为( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 4.(2013 年四川)节日前夕,小李在家门牌号前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第 一次闪亮相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯再以 4 秒为 间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ( ) 1 1 3 7 A. B. C. D. 4 2 4 8 5.(2014 年福建)如图 X9?4?1,在边长为 1 的正方形中,随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为__________.

图 X9?4?1

6.(2014 年广东)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取 7 个不同的数,则这 7 个数的中位数 是 6 的概率为________. 7.(2014 年江苏)从 1,2,3,6 这 4 个数中一次性随机取 2 个数,则所取的 2 个数的乘积 为 6 的概率为________. 8.如图 X9?4?2,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段 OB 上任取一点 C,则△AOC 为 钝角三角形的概率为________.

图 X9?4?2

9.(2014 年山东)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测, 从各地区进口此种商品的数量(单位: 件)如下表. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中 共抽取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量/件 50 150 100

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(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相 同地区的概率.

10. (2014 年广东潮州一模)设事件 A 表示“关于 x 的方程 x +2ax+b =0 有实数根”. (1)若 a,b∈{1,2,3},求事件 A 发生的概率 P(A); (2)若 a,b∈[1,3],求事件 A 发生的概率 P(A).

2

2

6

第 5 讲 离散型随机变量及其分布列

1.设随机变量 X 等可能地取 1,2,3,?,n,若 P(X≥4)=0.7,则 n=( A.3 B.4 C.10 D.9 2. 随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ =n)=

)

a (n=1,2,3,4), 其中 a 是常数, n?n+1?

5? ?3 则 P? <ξ < ?的值为( ) 2? ?2 2 3 4 5 A. B. C. D. 3 4 5 24 3.有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率是 p(0<p<1).假设每位 同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学能通过测试的概率为( ) n n A.(1-p) B.1-p n n C.p D.1-(1-p) 4.某一随机变量 ξ 的概率分布如下表所示,且 m+2n=1.2,则 m- 的值为( ) 2 ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.-0.2 B.0.2 C.0.1 D.-0.1 5.一袋中装有大小相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的 8 个球,从中有放回地每次 取 1 个球,共取 2 次,则取得 2 个球的编号之和不小于 15 的概率为( ) 1 1 3 3 A. B. C. D. 32 64 32 64 6.在一次考试的 5 道题中,有 3 道理科题和 2 道文科题,如果不放回的依次抽取 2 道 题,则在第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题的概率为________. 7.已知随机变量 ξ 的分布列为: ξ 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则 ξ 为奇数的概率为________. 8.某次知识竞赛的规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出 2 个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每 个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 ______. 9.(2013 年新课标Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件检验, 若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为 优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优 1 质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率为 ,且各件产品是否为优质品相互独立. 2 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.

n

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10.(2014 年陕西)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市 场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 市场价格(元 产量/kg /kg) 300 500 6 10 概率 0.5 0.5 0.4 0.6 (1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物, 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的 概率.

第 6 讲 离散型随机变量的均值与方差

1.已知 ξ 的分布列为: ξ

P

-1 0.5

0 0.3

1 0.2

则 E(ξ )=( ) A.0 B.0.2 C.-1 D.-0.3 2.已知 ξ 的分布列为: ξ -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则 D(ξ )=( ) A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0 3.设投掷 1 颗骰子的点数为 ξ ,则( ) 7 49 A.E(ξ )= ,D(ξ )= 2 4 7 35 B.E(ξ )= ,D(ξ )= 2 12 7 7 C.E(ξ )= ,D(ξ )= 2 2 7 35 D.E(ξ )= ,D(ξ )= 2 16 4.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400
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5.(2014 年上海闵行二模)已知随机变量 ξ 所有的取值为 1,2,3,对应的概率依次为 1 p1,p2,p1,若随机变量 ξ 的方差 D(ξ )= ,则 p1+p2 的值是________________. 2 6.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表,请小牛同学计算 ξ 的 数学期望.尽管“!”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?” 处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ )=__________________. ξ 1 2 3 P ? ! ? 7.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表,若 E(X)=0,D(X)=1,则 a=______,b= ______. X -1 0 1 2 1 P a b c 12 8.某学校要从演讲初赛胜出的 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加决赛. (1)设随机变量 ξ 表示所选的 3 个人中女生的人数,则 ξ 的数学期望为________; (2)所选出的 3 人中至少有 1 名女生的概率为________. 9.(2014 年辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分 布直方图,如图 X9?6?1. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.

图 X9?6?1

(1)求在未来连续 3 天中,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个,且另 1 天的日销售 量低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天中日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,数 学期望 E(X)及方差 D(X).

10.(2013 年新课标Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产 品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场 需求量的频率分布直方图,如图 X9?6?2 所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农 产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示 下一个销售季度内经销该农产品的利润.

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图 X9?6?2

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如: 若需求量 X∈[100,110), 则取 X=105, 且 X=105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率).求 T 的数学期望.

第 7 讲 正态分布

1. (2013 年广东惠州一模)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4), 若 P(ξ <2a-3)=P(ξ >a+2),则 a 的值为( ) 7 5 A. B. C.5 D.3 3 3 2.(2013 年山东潍坊一模)设随机变量 X~N(3,1),若 P(X>4)=p,则 P(2≤X≤4)= ( ) 1 A. +p B.1-p 2 1 C.1-2p D. -p 2 2 3.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ ),P(ξ >3)=0.023,则 P(-3≤ξ ≤3)= ( ) A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 2 4.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ),P(ξ ≤4)=0.84,则 P(ξ ≤0)=( ) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 2 5.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,a ),P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 6.(2015 年广东广州一模)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,1).若 P(1≤X≤3)= 0.6826,则 P(X>3)等于______________. 2 7.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0).若 ξ 在(0,1)内取值 的概率为 0.4,则 ξ 在(0,2)内取值的概率为______________. 8.某个部件由三个元件按图 X9?7?1 的方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元 件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率 为________.

图 X9?7?1
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9.某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ 服从正态分布 N(30,0.8 ).质检人员从该厂某 2 天生产的 1000 块砖中随机地抽查 1 块, 测得它的“抗断强度”为 27.5 公斤/厘米 , 你认为 该厂这天生产的这批砖是否合格?

2

10. 已知某年级的一次考试成绩近似服从正态分布 N(70,10 ), 如果规定低于 60 分为不 及格,求: (1)考试成绩不及格的学生占多少? (2)成绩在 80~90 分之间的学生占多少?

2

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第 8 讲 随机抽样

1.(2013 年湖南)某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱 好方面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查, 则宜采用的抽样方法 是( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 2.用系统抽样法(按等距离的规则),要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1~160 编号.按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号), 若第 16 组应抽出的号码为 125,则第一组中按此抽签方法确定的号码是( ) A.7 B.5 C.4 D.3 3.(2013 年湖南)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件, 80 件,60 件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量 为 n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( ) A.9 B.10 C.12 D.13 4. 为了解参加一次知识竞赛的 3204 名学生的成绩, 决定采用系统抽样的方法抽取一个 容量为 80 的样本,那么总体中应随机剔除的个体数目是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样 方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使 用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,?,270, 使用系统抽样时,将学生统一随机编号为 1,2,?,270,并将整个编号依次分为 10 段,如 果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样 6.(2014 年广东潮州一模)某学校有 4000 名学生,各年级男、女生人数如下表,已知 在全校学生中随机抽取 1 名奥运火炬手,抽到高一男生的概率是 0.2,现用分层抽样的方法 在全校抽取 100 名奥运志愿者,则在高二抽取的学生人数为________. 高一 高二 高三 女生人数/名 600 y 650 男生人数/名 x z 750 7.(2013 年上海)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中, 男、 女生平均分数分别为 75,80,则这次考试该年级学生平均分数为______. 8.(2014 年天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分 层抽样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该校 一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生
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中抽取________名学生. 9.(甘肃天水一中 2015 届高三下学期一模)某站针对 2014 年中国好声音歌手 A,B,C 三人进行上网投票,结果如下: 观众年龄 支持 A 支持 B 支持 C 20 岁以下 200 400 800 20 岁以上(含 20 岁) 100 100 400 (1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 6 人支持 A,求 n 的值; (2)在支持 C 的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体,从这 6 人中任意选取 2 人, 求恰有 1 人在 20 岁以下的概率.

10.调查某初中 1000 名学生的肥胖情况,得下表: 偏瘦 正常 肥胖 女生/人 100 173 y 男生/人 x 177 z 已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到偏瘦男生的概率为 0.15. (1)求 x 的值; (2)若用分层抽样的方法, 从这批学生中随机抽取 50 名, 问应在肥胖学生中抽多少名? (3)已知 y≥193,z≥193,求肥胖学生中男生不少于女生的概率.

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第 9 讲 用样本估计总体

1. 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分用如图 X9?9?1 所示的茎叶图表示, 则这 组数据的中位数和平均数分别是( )

图 X9?9?1

A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C.91 和 91.5 D.92 和 92 2.(2013 年陕西)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图 X9?9?2 所示的是 检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间 [20,25)上的为一等品,在区间 [15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计 概率,现从该批产品中随机抽取 1 件,则其为二等品的概率为( )

图 X9?9?2

A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 3.(2013 年辽宁)某学校组织学生参加英语测试,某班的成绩的频率分布直方图如图 X9?9?3,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是( )

图 X9?9?3

A.45 人 B.50 人 C.55 人 D.60 人 4.(2013 年陕西)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法,抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1,2,?,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为 ( )
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A.11 人 B.12 人 C.13 人 D.14 人 5.(2012 年广东佛山质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机 抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间,根据调查结果得出司机的年龄 情况残缺的频率分布直方图如图 X9?9?4,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车 司机年龄的中位数大约是( )

图 X9?9?4

A.31.6 岁 B.32.6 岁 C.33.6 岁 D.36.6 岁 6.(2014 年山东)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿 者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13), [13,14),[14,15),[15,16),[16,17], 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,?,第五组,如图 X9?9?5 是根据试验 数据制成的频率分布直方图, 已知第一组与第二组共有 20 人, 第三组中没有疗效的有 6 人, 则第三组中有疗效的人数为( )

图 X9?9?5

A.6 B.8 C.12 D.18 7 . (2013 年 湖 北 ) 某 学 员 在 一 次 射 击 测 试 中 射 靶 10 次 , 命 中 环 数 如 下 : 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4,则平均命中环数为________;命中环数的标准差为________. 8.(2013 年湖北)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频率分布直方图如图 X9?9?6. (1)直方图中 x 的值为__________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为____________户.

图 X9?9?6

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9.(2014 年新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质 量指标值,由测量表得如下频数分布表: 质量指标 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)在图 X9?9?7 基础上作出这些数据的频率分布直方图;

图 X9?9?7

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定? 10.(2014 年湖南)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机 抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下: - - - (a,b),(a, b ),(a,b),( a ,b),( a , b ),(a,b),(a,b),(a, b ),( a ,

b),(a, b ),( a , b ),(a,b),(a, b ),( a ,b),(a,b).
- 其中 a, a 分别表示甲组研发成功和失败;b, b 分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否则记 0 分,试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率.





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第 10 讲 回归分析与独立性检验

1.(2013 年广东六校一模)已知 x,y 取值如下表: x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 ^ 从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则 a=( ) A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80 2. (2014 年广东潮州一模)已知回归直线的斜率的估计值是 1.23, 样本中心点为(4,5), 若解释变量的值为 10,则预报变量的值约为( ) A.16.3 B.17.3 C.12.38 D.2.03 3.对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, yn),则不正确的说法是( ) ^ A.若求得的回归方程为y=0.9x-0.3,则变量 y 和 x 之间具有正的线性相关关系 B.若这组样本数据分别是(1,1),(2,1.5),(4,3),(5,4.5),则其回归方程 y=bx+a 必过点(3,2.5) C. 若同学甲根据这组数据得到的回归模型 1 的残差平方和为 E1=0.8, 同学乙根据这组 数据得到的回归模型 2 的残差平方和为 E2=2.1,则模型 1 的拟合效果更好

D.若用相关指数 来刻画回归效果,回归模型 3 的相关指数 R3= 2 0.32,回归模型 4 的相关指数 R4=0.91,则模拟 3 的拟合效果更好 4. 为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系, 某研究机构随机选取了 60 名高中 生,通过问卷调查,得到以下数据: 作文成绩优秀 作文成绩一般 合计 课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般 8 20 28 合计 30 30 60 2 由以上数据,计算得出 K =9.643.根据临界值表,以下说法正确的是( ) A.没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B.有 0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C.有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D.有 99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 5.(2014 年重庆)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x =3, y = 3.5,则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ^ ^ A.y=0.4x+2.3 B.y=2x-2.4 ^ ^ C.y=-2x+9.5 D.y=-0.3x+4.4 6.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查 显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: ^ y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加 ________万元.
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2

7. 某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位: 万元)与年平均支出 y(单位: 万元) 的统计资料如下表所示: 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入 x/万元 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 y/万元 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料, 居民家庭平均收入的中位数是________, 家庭年平均收入与年平均支出 有________线性相关关系. 8.高三某班学生每周用于数学学习的时间(单位:时)与数学成绩(单位:分)之间有如 下数据: 时间/时 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 成绩/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 根据统计资料, 该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是________; 根据上表可得 回归方程的斜率为 3.53,截距为 13.5,若某同学每周用于数学学习的时间为 18 小时,则可 预测该生数学成绩是________分(结果保留整数). 9.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验, 得到的数据如下: 零件的个数 x/个 2 3 4 5 加工的时间 y/时 2.5 3 4 4.5

图 X9?10?1

(1)如图 X9?10?1,在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; ^ (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间? -- ? ? ?x y -n x y - -? ?注:b= ,a= y -b x - ? ? ?x -n x ? ?
n i i i=1 n
2 2

i

i=1

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10.(2014 年辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行 了抽样调查,调查结果如下表: 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 (1)根据表中数据,是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习 惯方面有差异”? (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. n?ad-bc?2 2 附:K = . ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 k0 2.706 3.841 6.635

第九章 概率与统计 第 1 讲 计数原理与排列组合 1.C 2 1 2.C 解析:选出 2 名男医生、1 名女医生,共有 C6C5=75(种)不同的选法. 3 2 3.B 解析:将所有的安排方法分成两类:①歌舞类节目中间不穿插相声节目,有 A3A2 1 3 1 1 1 A 2 =6×2×2= 24( 种 ) ;②歌舞类节目中间穿插相声节目,有 A 3 A 2 A 2 A 4 =6×2×2×4= 96(种).根据分类加法计数原理,共有 96+24=120(种)不同的排法. 5 4 4.B 解析:最左端排甲,有 A5=120(种)排法;最左端排乙,有 4A4=96(种)排法.所 以不同的排法共有 216 种. 5.480 解析:可以理解为有六个位置,先从中选出三个位置,则 C 在这三个位置的最
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左边位置或最右边位置,再安排 A,B,最后再安排其他字母的位置.故共有排法 C6C2A2A3= 480(种). 6.96 4 7.36 解析:先考虑产品 A 与 B 相邻,把 A,B 作为一个元素有 A4种方法,而 A,B 可 4 3 交换位置, 所以有 2A4=48(种)摆法, 又当 A,B 相邻又满足 A,C 相邻,有 2A3=12(种)摆法, 故满足条件的摆法有 48-12=36(种). 8.590 解析:设选 x 名骨科医生,y 名脑外科医生,则选(5-x-y)名内科医生.有 如下六种情况: 1 1 3 ①当 x=y=1 时,则有选法 C3·C4·C5=120(种); 1 2 2 ②当 x=1,y=2 时,则有选法 C3·C4·C5=180(种); 1 3 1 ③当 x=1,y=3 时,则有选法 C3·C4·C5=60(种); 2 1 2 ④当 x=2,y=1 时,则有选法 C3·C4·C5=120(种); 2 2 1 ⑤当 x=2,y=2 时,则有选法 C3·C4·C5=90(种); 3 1 1 ⑥当 x=3,y=1 时,则有选法 C3·C4·C5=20(种). 综上所述,共有选法 120+180+60+120+90+20=590(种). 9.解:(1)1 号小球可放入任意一个盒子内,有 4 种放法.同理,2,3,4 号小球也各有 4 4 种放法,故共有 4 =256(种)放法. (2)恰有 1 个空盒,则这 4 个盒子中只有 3 个盒子内有小球,且小球数只能是 1,1,2.先 2 从 4 个小球中任选 2 个放在一起,有 C4种放法,然后与其余 2 个小球看成三组,分别放入 4 3 2 3 个盒子中的 3 个盒子中,有 A4种放法.由分布计数原理知,共有 C4A4=144(种)不同的放法. (3)恰有 2 个盒子内不放球,也就是把 4 个小球只放入 2 个盒子内,有两类放法: ①一个盒子内放 1 个球,另一个盒子内放 3 个球.先把小球分为两组,一组 1 个,另一 1 2 1 2 组 3 个,有 C4种分法,再放到 2 个盒子内,有 A4种放法,共有 C4A4种放法; 2 ②2 个盒子内各放 2 个小球.先从 4 个盒子中选出 2 个盒子,有 C4种选法,然后把 4 个 2 2 2 小球平均分成 2 组,放入 2 个盒子内,也有 C4种选法,共有 C4C4种放法. 1 2 2 2 由分类计数原理知,共有 C4A4+C4C4=84(种)不同的放法. 5 10.解: (1)∵总的排法数为 A5=120(种), 1 5 ∴甲在乙的右边的排法数为 A5=60(种). 2 (2)方法一:每个学校至少有 1 个名额,则分去 7 个,剩余 3 个名额分到 7 所学校的方 法种数就是要求的分配方法种数. 分类:若 3 个名额分到 1 所学校有 7 种方法; 2 若分配到 2 所学校有 C7×2=42(种); 3 若分配到 3 所学校有 C7=35(种). ∴共有 7+42+35=84(种)方法. 方法二:10 个元素之间有 9 个间隔,要求分成 7 份,相当于用 6 块档板插在 9 个间隔 6 中,共有 C9=84(种)不同方法. ∴名额分配总数为 84 种. 第 2 讲 二项式定理 1 3?1 ?2 3 3 2 3 2 3 1.A 解析:根据二项式定理,得 C5? x? (-2y) =-10× ×2 x y =-20x y ,所以展 4 ?2 ? 2 3 开式中 x y 的系数是-20. 2.B 3.A 4.D m m+1 m m+1 5.B 解析:依题意,则 C2m=a,C2m+1=b,故 13C2m=7C2m+1, ?2m?! ?2m+1?! 则 13· =7· .解得 m=6. m!·m! ?m+1?!·m! 2 2 2 2 2 2 2 2 6.D 解析:第一个因式取 x ,第二个因式取 y ,得 C8x ·C4y =168x y . 1 1 3 7 3 7 3 3 3 7. 解析:T4=C10x a ,x 的系数为 C10a =120a =15,解得 a= . 2 2

3 1 2 3

21

15 ? 5 k ?- 1 ? 15-5k k k k 8.-10 解析:展开式的通项为 Tk+1=C5( x) ? 3 ? =C5(-1) x 6 ,当 = ? ? 6 x? ?
k
5-k

0 时,Tk+1 为常数项,即 k=3,则 A=T4=C5(-1) =-10. 9.解:(3 C11(3
r

3

3

x-2· x)11 的展开式共 12 项.其通项公式为
3
11 1 ? r 6

3

. 1 其中当 r=3,或 r=9 时的项为有理项,则 p= . 6 6 6 7 则? x dx= x 6 = . 7 7 ?0 0
1

11-r r x)11-r(-2· x)r=Cr (-2) x 2 113

1 6

1

10.解:∵ Tr+1=C7(3x) ·(-1) , ∴系数 a0,a2,a4,a6 均为负数,系数 a1,a3,a5,a7 均为正数. 故|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7| =-a0+a1-a2+a3-?-a6+a7. 14 当 x=-1 时,a0-a1+a2-a3+?+a6-a7=-2 . 14 ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=2 . 第 3 讲 随机事件的概率 1.B 2.C 3.B 3 C3 9 4.D 解析:甲或乙被录用的概率为 1- 3= . C5 10 2 3 5. 解析:根据题意显然这是一个古典概型,其基本事件有 A3=6 种,其中 2 本数学 3 2 2 书不相邻的有 2 种,则所求概率 p=1- 3= . A3 3 2 6. 解析:方法一:从 5 个字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同的字母,则取到任何 5 2 字母的概率都相等,均为 . 5 方法二:从 5 个字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同的字母,有(a,b),(a,c),(a, d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共 10 种, 取到字母 a 4 2 有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共 4 种,所以取到字母 a 的概率为 = . 10 5 2 2 2 7. 解析: 从 7 个球中任意取出 2 个共有取法 C7种, 2 个球的编号之积为奇数的有 C4种 7 2 C4 2 取法,则其概率为 2= . C7 7 2 1 1 13 C4+C4×C5 13 8. 解析: = . 2 18 C9 18 9.解:(1)至少有 1 人排队的概率为 p1=1-0.10=0.90. (2)至多 2 人排队的概率为 p2=0.10+0.16+0.30=0.56. (3)至少 2 人排队的概率为 p3=1-(0.10+0.16)=0.74. 10. 解: (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元”, B 表示事件“赔付金额为 4000 元”, 150 120 以频率估计概率得 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12. 1000 1000 由于投保金额为 2800 元,所以赔付金额大于投保金额的概率为 P(A)+P(B)=0.15+ 0.12=0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”, 由已知, 得样本车辆中车主为新
22

r

7-r

r

司机的有 0.1×1000=100(辆), 而赔付金额为 4000 元的车辆中, 车主为新司机的有 0.2×120 24 =24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为 =0.24.由频率估计 100 概率得 P(C)=0.24. 第 4 讲 古典概型与几何概型 1.C 解析:在区间[-2,3]上符合 x≤1 的区间为[-2,1],因为区间[-2,3]的长度为 3 5,区间[-2,1]的长度为 3,根据几何概型的概率计算公式可得 p= . 5 2 2.B 解析:从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数共有 C6=6(种)取法,取出的 2 个数之差 2 1 的绝对值为 2 的情况为 1,3 或 2,4,则概率为 = . 6 3

图 D108 3.C 解析:如图 D108,从正方形 4 个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 C5= 10(种)情形,2 个点的距离不小于该正方形边长的有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B, 6 3 D),(C,D),共 6 种情形,其概率为 p= = . 10 5 4.C 解析:这是考查几何概型的知识.设这两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为第 x, ?0≤x≤4, ? y 秒,则满足? 又第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒,即|x-y|≤2,该概率问 ? ?0≤y≤4. 1 2× ×2×2 2 3 题转化为图形面积之比.通过画图及计算知,p=1- = . 4×4 4 9 S 180 9 5. 解析:由随机数的概念及几何概型,得 = = . 50 1 1000 50 1 6. 解析:10 个数中比 6 小的数有 6 个,比 6 大的数有 3 个,要使得所选的 7 个数的 6 中位数为 6,则应该在比 6 小的数中选择 3 个,在比 6 大的数中也选择 3 个,因此所求事件 3 3 C6C3 1 的概率为 p= 7 = . C10 6 1 2 7. 解析:从 1,2,3,6 这 4 个数中一次性随机取 2 个数,共有 C4=6(种)取法,所取两 3 2 1 个数的乘积为 6 的有 2 种取法,因此所求概率为 p= = . 6 3
2

图 D109 2 解析:若△AOC 为钝角三角形,又∠AOB=60°,则分∠ACO 为钝角和∠OAC 为钝 5 角两种情况讨论.如图 D109,过 A 作 AD⊥OB 于 D,作 AE⊥OA,交 OB 于 E.△AOC 为钝角三 1 角形,则点 C 必须位于线段 OD 或 BE 上,OD= OA=1,OE=2OA=4,BE=1.则△AOC 为钝角 2 8.
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1+1 2 三角形的概率为 = . 5 5 6 1 = , 50+150+100 50 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是: 1 1 1 50× =1(件),150× =3(件),100× =2(件), 50 50 50 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2. 2 (2)从 6 件样品中随机抽取 2 件共有 C6种, 2 2 C3+C2 4 则这 2 件商品来自相同地区的概率为 p= 2 = . C6 15 2 2 10.解:(1)由关于 x 的方程 x +2ax+b =0 有实数根,得 Δ ≥0. 2 2 2 2 ∴4a -4b ≥0,故 a ≥b .当 a>0,b>0 时,得 a≥b. 若 a,b∈{1,2,3}, 则总的基本事件数(即有序实数对(a,b)的个数)为 3×3=9. 事件 A 包含的基本事件为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),共有 6 个. 6 2 ∴事件 A 发生的概率 P(A)= = . 9 3 (2)若 a,b∈[1,3],则总的基本事件所构成的区域为 Ω ={(a,b)|1≤a≤3,1≤b≤3}, 2 即如图 D110 所示的平面直角坐标系 aOb 中的正方形 BCDE,其面积 SΩ =(3-1) =4. 事件 A 构成的区域是 A={(a,b)|1≤a≤3,1≤b≤3,a≥b},是如图 D111 所示的等腰 1 2 直角三角形 BCD,其面积 SA= ×(3-1) =2. 2 SA 2 1 故事件 A 发生的概率 P(A)= = = . SΩ 4 2 9.解:(1)因为样本容量与总体的个数比是

图 D110 图 D111 第 5 讲 离散型随机变量及其分布列 1.C 2.D 3.D 4.B 5.D 解析:设取得 2 个球的编号之和为随机变量 X,则 1 1 1 1 1 1 P(X=15)= × ×2= ,P(X=16)= × = , 8 8 32 8 8 64 1 1 3 所以 P(X≥15)=P(X=15)+P(X=16)= + = . 32 64 64 1 6. 解析:设第一次抽到理科题为事件 A,第二次抽到理科题为事件 B,则两次都抽到 2 3 3 2 3 P?A∩B? 1 理科题为事件 A∩B,∴P(A)= ,P(A∩B)= × = .∴P(B|A)= = . 5 5 4 10 P?A? 2 7.0.6 解析:p=0.1+0.4+0.1=0.6. 8.0.128 解析:由题意知,该选手恰好回答 4 个问题就晋级下一轮,必有第二个问题 答错,第三、四个问题答对,第一个问题可对可错,则 1×0.2×0.8×0.8=0.128. 9.解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产 品全是优质品为事件 A2, 第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1, 第二次取出的 1 件产 品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,
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依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥, 4 1 1 1 3 所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= × + × = . 16 16 16 2 64 4 1 11 1 (2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 P(X=400)=1- - = ,P(X=500)= , 16 16 16 16 1 P(X=800)= , 4 所以 X 的分布列为 X 400 500 800 11 1 1 P 16 16 4 11 1 1 E(X)=400× +500× +800× =506.25. 16 16 4 10.解:(1)∵利润=产量×市场价格-成本, ∴X 所有可能的取值为 300×6-1000=800,P(X=800)=0.5×0.4=0.2; 300×10-1000=2000,500×6-1000=2000, P(X=2000)=0.5×0.6+0.5×0.4=0.5; 500×10-1000=4000,P(X=4000)=0.5×0.6=0.3. 所以 X 的分布列为: X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i=1,2,3), 由题意知,C1,C2,C3 相互独立, 由(1)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5 =0.8(i=1,2,3), 则 3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为

P( C 1C2C3)+P(C1 C 2C3)+P(C1C2 C 3)=3×0.82×0.2=0.384.
所以这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896. 第 6 讲 离散型随机变量的均值与方差 1.D 2.B 3.B 4.B 3 5. 解析:∵p1+p2+p1=2p1+p2=1,∴E(ξ )=p1+2p2+3p1=2(2p1+p2)=2,D(ξ ) 4 1 1 1 3 2 2 2 =(1-2) p1+(2-2) p2+(3-2) p1=2p1= ,则 p1= ,p2= ,p1+p2= . 2 4 2 4 6.2 解析:设“?”表示的数为 x,“!”表示的数为 y,由分布列的性质,得 2x+ y=1,E(ξ )=x+2y+3x=4x+2y=2.

7.

5 1 12 4

? ? 1 解析:?-a+c+ =0, 6 1 ? ?a+c+3=1,
a+b+c= ,
11 12

? ? 1 ∴?b= , 4 1 ? ?c=4.
5 12

a= ,

4 8.(1)1 (2) 解析:(1)ξ 可能取的值是 0,1,2, 5 ξ 的分布列为:
25

0 1 2 1 3 1 P 5 5 5 1 3 1 ξ 的数学期望为 E(ξ )=0× +1× +2× =1. 5 5 5 (2)所选 3 人中至少有一名女生的概率为 3 1 4 P(ξ ≥1)=P(ξ =1)+P(ξ =2)= + = . 5 5 5 9.解:(1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”,A2 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示事件“在未来连续 3 天中有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另 1 天销售量低 于 50 个”.则 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108. (2)X 可能的取值为 0,1,2,3,相应的概率分别为 3 P(X=0)=C0 3·(1-0.6) =0.064, 1 P(X=1)=C3·0.6·(1-0.6)2=0.288, 2 P(X=2)=C2 3·0.6 ·(1-0.6)=0.432, 3 P(X=3)=C3 3·0.6 =0.216. X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 X~B(3,0.6),所以期望 E(X)=3×0.6=1.8,方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)= 0.72. 10.解:(1)当 X∈[100,130)时, T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时, T=500×130=65 000.
? ?800X-39 000,100≤X<130, 所以 T=? ? ?65 000,130≤X≤150.

ξ

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7, 所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400. 第 7 讲 正态分布 1.A 2.C 2 3.C 解析:由随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ )知,正态密度曲线关于 y 轴对称, 而 P(ξ >3)=0.023,则 P(ξ <-3)=0.023.故 P(-3≤ξ ≤3)=1-P(ξ >3)-P(ξ <-3)= 0.954. 4.A 5. C 解析: 因为此正态曲线的图象关于直线 x=2 对称, 而 P(ξ <4)=0.8, 则 P(ξ ≥4) =0.2,P(ξ ≤0)=0.2.所以 P(0<ξ <2)=0.5-0.2=0.3.故选 C. 6.0.158 7 2 7.0.8 解析: ∵ξ ~N(1,σ ), 因此正态分布曲线关于直线 x=1 对称, 则 P(0<ξ <2) =2P(0<ξ <1)=0.8. 3 2 8. 解析: 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000,50 ), 故有三个电子元件 8

26

1 的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p= . 2 3 2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 p1=1-(1-p) = . 4 3 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2=p1×p= . 8 2 9. 解: ∵ξ ~N(30,0.8 ), ∴ξ 在(30-3×0.8,30+3×0.8)之外取值的概率只有 0.003, 而 27.5 (27.6,32.4). ∴在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件.据此可认为这批砖不合格. 10.解:(1)设学生的考试成绩为随机变量 ξ , 2 则 ξ ~N(70,10 ),故 μ =70,σ =10. 因为 P(60<ξ ≤80)=P(70-10<ξ ≤70+10)=0.682 6, 1 故不及格的学生占 ×(1-0.682 6)×100%=15.87%. 2 1 1 (2)因为 P(80<ξ ≤90)= [P(70- 20<ξ ≤70+ 20) -P(60<ξ ≤80)]= ×(0.954 4- 2 2 0.682 6)=0.135 9, 所以考试成绩在 80~90 分之间的学生占 13.59%. 第 8 讲 随机抽样 1.D 2.B 60 3.D 解析:依题意,得 n× =3,即 n=13. 120+80+60 4.C 解析:因为 3204=80×40+4,所以应随机剔除 4 个个体,故选 C. 5.D 6.30 解析:依表知,x+y+z=4000-2000=2000, =0.2,于是 x=800,y+z 4000 100 =1200,高二抽取学生人数为 1200× =30. 4000 7.78 解析:这次考试该年级学生平均分数为 75×40%+80×60%=78. 4 8.60 解析:分层抽样实质为按比例抽样,所以应从一年级本科生中抽取 4+5+5+6 ×300=60 名学生. 9.(1)∵利用分层抽样的方法抽取 n 人时,从“支持 A”的人中抽取了 6 人, 6 n ∴ = . 100+200 200+400+800+100+100+400 解得 n=40. (2)从“支持 C”的人中, 用分层抽样的方法抽取的 6 人中, 年龄在 20 岁以下的有 4 人, 分别记为 1,2,3,4,年龄在 20 岁以上(含 20 岁)的有 2 人,记为 a,b 则这 6 人中任意选取 2 人,有(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4), (3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共 15 种,其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件 有:(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),共 8 种.故恰 8 有 1 人在 20 岁以下的概率 p= . 15 10.解:(1)由题意可知, =0.15,∴x=150(人). 1000 (2)由题意可知,肥胖学生人数为 y+z=400(人). m 50 设应在肥胖学生中抽取 m 人,则 = , 400 1000 ∴m=20(人).

x

x

27

(3)由题意可知, y+z=400,且 y≥193,z≥193,满足条件的(y,z)有(193,207), (194,206),?,(207,193),共有 15 组. 设事件 A:“肥胖学生中男生不少于女生”,即 y≤z,满足条件的(y,z)有(193,207), 8 (194,206),?,(200,200),共有 8 组,所以 P(A)= . 15 第 9 讲 用样本估计总体 1.A 2.D 解析:为二等品的概率为 1-(0.06+0.02+0.03)×5=0.45. 3.B 解析:由图知,低于 60 分的频率为(0.01+0.005)×20=0.3,则该班的学生人 15 数为 =50(人). 0.3 4.B 解析:从 840 中采用系统抽样抽取 42 人,每 20 人一组,每一组抽 1 人,共 42 720-481+1 组.看编号落入[481,720]的人数,即看这个区间含有多少组, =12(组),则落 20 入该区间的有 12 人. 5.C 20 6+x 6. C 解析: 由图知, 样本总数为 =50.设第三组中有疗效的人数为 x, 则 0.16+0.24 50 =0.36,x=12.故选 C. 7.7 2 解析:平均命中环数为 7+8+7+9+5+4+9+10+7+4 =7, 10 标准差为

=2. 8.(1)0.004 4 (2)70 解析:由题意,得 1-?0.006 0+0.003 6+0.002 4×2+0.001 2?×50 x= =0.004 4, 50 用电量落在区间 [100,250) 内的户 数为 (0.003 6 + 0.006 0 + 0.004 4)×50×100 = 70(户). 9.解:(1)频率分布直方图如图 D112:

图 D112 (2)质量指标值的样本平均数为
28

x =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68, 由于该估计值小于 0.8, 故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定. 10.解:(1)甲组研发新产品,成绩如下:1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数 10 2 - x 甲= = , 15 3 ?? 2?2 ? 2?2 ? 1 2 2 方差 s甲=??1- ? ×10+?0- ? ×5?× = ; 3 ?? ? ? 3? ? 15 9 9 3 - 乙组研发新产品,成绩如下:1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数 x 乙= = , 15 5 3 3 1 6 ?? ?2 ? ?2 ? 2 方差 s乙=??1- ? ×9+?0- ? ×6?× = . ?? 5? ? 5? ? 15 25 - - 2 2 因为 x 甲> x 乙,s甲<s乙,所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记恰有一组研发成功为事件 E,在所有 15 种情况中恰有一组研发成功的有
(a, b ),( a ,b),(a, b ),( a ,b),(a, b ),(a, b ),( a ,b),共 7 种, 7 根据古典概型的计算公式,得恰有一组研发成功的概率 P(E)= . 15 第 10 讲 回归分析与独立性检验 1.B ^ 2.C 解析:由样本中心点(4,5)在回归直线上,得回归方程y=1.23x+0.08.将 x=10 代入,可以得到预报变量的值约为 12.38. 3.D 4.C 5.A 解析:因为变量 x 与 y 正相关,所以排除选项 C,D.又因为回归直线必过样本中 心点(3,3.5),代入检验知,只有直线 y=0.4x+2.3 过点(3,3.5).故选 A. 6.0.254 7.13 正 解析:找中位数时,将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中 位数,而偶数个时须取中间两数的平均数.由统计资料可以看出,年平均收入增多时,年平 均支出也增多,因此两者正相关. 8.16.5 77 解析:将学习时间重新排列为:24,23,20,19,17,16,16,15,13,11,可得 中位数是 16.5. ^ 由已知得回归方程为y=3.53x+13.5. ^ 当 x=18 时,y=3.53×18+13.5=77.04≈77.故该同学预计可得 77 分左右. 9.解:



图 D113 (1)散点图如图 D113.

29

(2)由表中数据得 ?xiyi=52.5,
i=1

4



x =3.5, y =3.5, ?x2 i=54,
i=1



4

∴b=0.7.∴a=1.05. ^ ∴y=0.7x+1.05.回归直线如图 D113. (3)将 x=10 代入回归直线方程,得 y=0.7×10+1.05=8.05(小时), ∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时. 2 10 . 解 : (1) 将 2×2 列 联 表 中 的 数 据 代 入 公 式 计 算 , 得 K = 2 n?ad-bc?2 100×?60×10-20×10? 100 = = ≈4.762. 由 于 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 70×30×80×20 21 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有 差异”. (2)从 5 名数学系的学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件 Ω ={(a1,a2, b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2), (a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2.bj 表示不 喜欢甜品的学生,j=1,2,3. Ω 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件是等可能的.用事件 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2, 7 b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)},事件 A 是由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= . 10 专题六 概率与统计 1.B 2.D 5 3.50 解析:分层抽样实质为按比例抽样,所以应从一年级本科生中抽取 4+5+5+6 ×200=50 名学生. 4.-2 解析:展开式的通项为 Tk+1=C5(x )
-3

k

2 5-k

?a?k=Ckakx10-3k,当 k=1 时,T =C1a1x10 ?x? 5 1+1 5 ? ?

=5ax ,则 5a=-10,故 a=-2. 5.30d
2

7

1 1 解析:随机变量 ξ 取值为 x1,x2,x3,?,x19 的概率均为 ,则 E(ξ )= x1 19 19 1 1 1 ?x1+x19?×19 1 2 2 + x2+?+ x19= × =x10,D(ξ )= [(x1-x10) +(x2-x10) +?+(x19 19 19 19 2 19 2 1 2d 9×10×19 2 2 2 2 2 2 -x10) ]= ×2d (9 +8 +?+1 )= × =30d . 19 19 6 6.37 20 解析:由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,所 以第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37. 40 40 岁以下年龄段的职工数为 200×0.5=100,则应抽取的人数为 ×100=20(人). 200 7 . 9 解析:最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1= 0.22 ,总城市数为 11÷0.22=50,最右面矩形面积为 0.18×1=0.18,50×0.18=9. 1 x2 y2 8. 解析:∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n.它对应的平面区域如图 2 m n 1 ?1+3?×2 S阴影 2 1 D114 中的阴影部分,则焦点在 x 轴上的椭圆的概率为 p= = = . S矩形 2×4 2
30

图 D114 9.解:(1)由古典概型中的概率计算公式知,所求概率为 3 3 C4+C3 5 P= 3 = . C9 84 (2)X 的所有可能值为 1,2,3,且 2 1 3 C4C5+C4 17 P(X=1)= = , 3 C9 42 1 1 1 2 1 3 C3C4C2+C3C6+C3 43 P(X=2)= = , 3 C9 84 2 1 C2C7 1 P(X=3)= 3 = , C9 12 故 X 的分布列为 X 1 2 3 17 43 1 P 42 84 12 17 43 1 47 从而 E(X)=1× +2× +3× = . 42 84 12 28 10.解:记 A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2.B 表示 事件:甲需使用设备,C 表示事件:丁需使用设备,D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使 用设备. i 2 (1)因为 P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C2×0.5 ,i=0,1,2, 所以 P(D)=P(A1·B·C+A2·B· C +A2· B ·C+A2·B·C) =P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)P( C )+P(A2)P( B )P(C)+P(A2)P(B)P(C) =0.31. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,其分布列为

P(X=0)=P( B ·A0· C )=P( B )P(A0)P( C )=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06, P(X=1)=P(B·A0· C + B ·A0·C+ B ·A1· C )
=P(B)P(A0)P( C )+P( B )P(A0)P(C)+P( B )P(A1)P( C ) = 0.6×0.5 ×(1 - 0.4) + (1 - 0.6)×0.5 ×0.4 + (1 - 0.6)×2×0.5 ×(1 - 0.4) = 0.25, P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06= 0.38, 所以 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25 +2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.
2 2 2

31



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