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立体几何证明题常见题型01



立体几何证明题常见题型
1、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ? 1 ,E 是 PC 的中 点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F. P (I) 证明: PA∥平面 EDB; (II) 证明:PB⊥平面 EFD; (III) 求三棱锥 P ? DEF 的体积. F
E

>
D A B

C

2、如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD ,垂足为 H , PH 是四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)若 AB ?
P

6 , ?APB ? ?ADB ? 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体积。
D A H B C

3、如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面ABE , AE ? EB ? BC ? 2 , F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面ACE . (Ⅰ)求证: AE ? 平面BCE ; (Ⅱ)求证; AE // 平面BFD ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? BGF 的体积. A F B D G C

E 4、如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1 (Ⅰ)求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDF;

E

F

C D A

B

5、在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面ABCD ,

PD ∥ MA , E、G、F 分 别 为
AD ? PD ? 2MA .
(Ⅰ) 求证:平面 EFG ? 平面PDC;

MB 、 PB 、PC 的 中 点 , 且

1

P ? ABCD的体积之比. (Ⅱ)求三棱锥 P ? MAB与四棱锥

6、如图所示,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE (1)求证:AE⊥平面 BCE; D (2)求证:AE∥平面 BFD; (3)求三棱锥 C-BGF 的体积。



G









7、在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且 AC=BC=5,SB=5 5 。(如图 所示) (Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求三棱锥的体积 VS-ABC。

8、如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,E 为 BC 边中点 (1)求三棱锥 D1-DBC 的体积 D1 (2)证明 BD1//平面 C1DE A1 D A

C1 B1 C E

B

9、如图 1 所示,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H、L、M、N 分别为 A1D1,A1B1,BC,CD, DA,DE,CL 的中点,求证:EF⊥GF。

2

10、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC,D、E 分别为 BB1、AC1 的中点, 证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线。 C1 A1 D E C O F B A
A D C B

B1

D1 A1 B1

C1

11,如图,ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,求证:BD⊥平面 ACC1A1。

12,如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的 交点,面 CDE 是等边三角形,棱 EF∥ BC 。 (I)证明 FO∥平面 CDE; ; (II)设 BC ? 3CD, 证明 EO ? 平面。 13、如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =
A

1 2

F

E

D O M C

B

90°, AA1 = 2 , D 是 A1B1 中点. (1) 求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2) 当点 F 在 BB1 上 什么位置时,会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论。

14,在正三棱柱 ABC—A1B1C1

中,E 是 AC 中点,求证: 平面BEC 1 ? 平面ACC 1A 1

15,如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD , M 是 EA 的中点, 求证: (1)DE =DA ; (2)平面 BDM ⊥平面 ECA ; (3)平面 DEA ⊥平面 ECA。

16、如图所示,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长为 2

2 ,侧棱长为 4.E,F 分别
3

为棱 AB,BC 的中点,EF∩BD=G。 (Ⅰ)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1;

17、 (1) 如图,SA ? 正方形 ABCD 所在平面, 过 A 作与 SC 垂直的平面分别交 SB 、 SC 、 SD 于 E 、K、 H ,求证: E 、 H 分别是点 A 在直线 SB 和 SD 上的射影. 18、如图 1 所示,已知 A1B1C1—ABC 是正三棱柱,D 是 AC 的中点。 (1)证明 AB1∥DBC1; (2)假设 AB1⊥BC1,BC=2。 求线段 AB1 在侧面 B1BCC1 上的射影长。

19、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1)C1O//平面 AB1D1; (2)A1C⊥平面 AB1D1.

D1 A1 D B1

C1

C O B

20、如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 1 , 点 E 在棱 AB 上移动。 求证: D1 E ⊥ A1 D ;

A D1

C1

A1

B1

D A E B

C

21、如图平面 ABCD⊥平面 ABEF, ABCD 是正方形,ABEF 是矩形, 且 AF ?

1 AD ? 2, G 是 EF 的中点, 2
A1

( 1 )求证平 22、如图,在
B1 C1

面 AGC⊥平面 BGC;

(2)求空间四边形 AGBC 的体积。

直 三 棱 柱 ( 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 三 棱 柱 ) ABC ? A1B1C1 中 , AB ? 8 ,
4

A

B

D

C

AC ? 6 , BC ? 10 , D 是 BC 边的中点.(Ⅰ)求证: AB ? A1 C ;
D

(Ⅱ )求证: A1C ∥ 面 AB1D ; C

F M A E 23,如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE. 24、在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? BC ? CA ? 3 , M 为 AB 的中点,四点 P 、 A 、 M 、 C 都在球 O 的球面上。 (1)证明:平面 PAB ? 平面 PCM ; B

P _

A _ M _ B _

C _

25、 如图, 已知 AB ? 平面 ACD ,DE ? 平面 ACD , 三角形 ACD 为等边三角形,AD ? DE ? 2 AB ,F 为 CD 的中点 (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; 26、如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点。 (I)求证:B1C//平面 A1BD; (II)求证:B1C1⊥平面 ABB1A (III)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置,使平面 A1BD⊥平面 BDE,并说明理由。

P

E A C B D

5

?ABC ? 60? ,PA ? AB ? BC , 27、 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD ,AB ? AD ,AC ? CD , E 是 PC 的中点. (1)求证: CD ? AE ; (2)求证: PD ? 面 ABE . 28、如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB,底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,
PA=BC=

1 AD. 2

(I)求证:平面 PAC⊥平面 PCD; (II)在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?若存在,请确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由. S

A E B
C

D

29、如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? AB ? 2 , SB ? SD ? 2 2 ,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 60? , E 为

CD 的中点. (1)证明: CD ? 平面 SAE ; (2)侧棱 SB 上是否存在点 F ,使得 CF / / 平面 SAE ?并证明你的结论.

30、P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E 为 PB 的中点,O 为 AC,BD 的交点. (1)求证: EO // 平面PCD ; (2)图中 EO 还与哪个平面平行?

31、在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E 是 AC 中点,

(1)求证:

AB1 // 平面BEC1 ;
(2)求证: 平面BEC 1 ? 平面ACC 1A 1 ; 31、如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的 中点 (1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)(2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

32、如图,正方形 ABCD 与 ABEF 不在同一平面内, M 、 N 分别在 AC 、 BF 上,且 AM ? FN 求证: MN // 平面 CBE C
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

T

M D B
H

E

ABCD ? A1B1C1D1 中, E , P 分别是 BC , A1D1 的中点, M , N 分 MN // 面 ADD1 A1 。 别是 AE, CD1 的中点, AD ? AA 1 ? a, AB ? 2a ,求证:
33 、如图,在长方体

N A F

6

34、如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a。证明:平面 ACD1 ∥平面 A1C1B 。 35、P 是△ABC 所在平面外一点,A′、B′、C′分别 是△PBC、△PCA、△PAB 的重心。 (1)求证:平面 A′B′C′∥平面 ABC; 36、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1;, 37、如图,在底面为平行四边表的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? AB , 点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ;

7



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