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《新高考创新题型》之4:平面向量(含精析)



平面向量
1.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A 1A 3

? ? A1 A2 ? ? ? R ? ,

A1 A4 ? ? A1 A2 ? ? ? R? ,且 1 ? 1
?

?

? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1

, A2 .
)

已知平面上的点 C , D 调和分割点 A, B ,则下列说法正确的是( A. C 可能线段 AB 的中点 C. C , D 可能同时在线段 AB 上 B. D 可能线段 AB 的中点

D. C , D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a, b, a ? b ? 1, a ? b ? 0, 点 Q 满足 OQ ? 曲线 C ? {P OP ? a cos ? ? b sin ? , 0 ? ? ? 2? } ,区域 ? ? {P 若C

2(a ? b) .

0 ? r ? PQ ? R, r ? R} .

? 为两段分离的曲线,则(

) C. r ? 1 ? R ? 3 D. 1 ? r ? 3 ? R

A. 1 ? r ? R ? 3

B. 1 ? r ? 3 ? R

3 . 如 图 , 己 知 | OA |? 5, | OB |? 3 , ∠ AOB 为 锐 角 , OM 平 分 ∠ AOB , 点 N 为 线 段 AB 的 中 点 , 若点 P 在阴影部分(含边界)内, 则在下列给出的关于 x、 y 的式子中, ①x≥0, y≥0; OP ? xOA ? yOB , ②x-y≥0;③x-y≤0;④5x-3y≥0;⑤3x-5y≥0.满足题设条件的为( A.①②④ B.①③④ C.①③⑤ D.②⑤ )

4.对于向量 a,b,定义 a×b 为向量 a,b 的向量积,其运算结果为一个 向量,且规定 a×b 的模|a×b|=|a||b|sin θ (其中 θ 为向量 a 与 b 的 夹角),a×b 的方向与向量 a,b 的方向都垂直,且使得 a,b,a×b 依次构成右手系. 如图所示,在平行六面体 ABCD-EFGH 中,∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°,AB=AD=AE=2, 则( AB × AD )· AE =(
2

)A.4
2

B. 8

C.2 2

D.4 2

5.如图,已知圆 M : ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,E,F 分别为边 AB,AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范围是( )
1

y

C D F A M B E

o

x

A. [?8 2,8 2]

B. [?8,8]

C. [?4, 4]

D. [?4 2,4 2]

6 . 如 图 , 在 扇 形 OAB 中 , ?AOB ? 60? , C 为 弧 . AB 上 且 与 A, B 不 .重 .合 .的 一 个 动 点 , 且

OC ? xOA ? yOB ,若 u ? x ? ? y(? ? 0) 存在最大值,则 ? 的取值范围为(
A. (1,3) B. ( ,3)



1 3

C. ( ,1)

1 2

D. ( ,2) )

1 2

7.已知向量 a ? (1,0) , b ? (0,1) , c ? a ? ?b ( ? ? R) ,向量 d 如图所示.则( A.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 垂直
? B.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60
? C.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 30

D.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 共线 8.如图,设 ? ? (0, ? ) ,且 ? ?

?
2

.当 ?xoy ? ? 时,定义平面

坐标系 xoy

为 ? -仿射坐标系,在 ? -仿射坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义: 1 正向相同的单位向量,若 OP ? 有

e , e2 分别为与 x 轴、 y 轴

xe1 ? ye2 ,则记为 OP ? ( x, y) ,那么在以下的结论中,正确的

.(填上所有正确结论的序号)

①设 a ? (m, n) 、 b ? (s, t ) ,若 a ? b ,则 m ? s, n ? t ;②设 a ? (m, n) ,则 a ?

m2 ? n2 ;

③设 a ? (m, n) 、 b ? (s, t ) ,若 a // b ,则 mt ? ns ? 0 ;④设 a ? (m, n) 、 b ? (s, t ) ,若 a ? b ,则

ms ? nt ? 0 ;⑤设 a ? (1,2) 、 b ? (2,1) ,若 a 与 b 的夹角
9.定义两个平 面向量的一种运算 ① ④若 且 ② 则 ,③若

? 2? ,则 ? ? . 3 3
,则关于平面向量上述运算的以下结论中,

,则 .恒成立的有

, .(填序号 )

2

10.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1 , E 在 CD 延长线上,且 DE ? CD .动点 P 从点 A 出发,沿 正方形 ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB? ? AE ,则下列命题正确 的 .. 是 .(填上所有正确命题的序号)

uu u r

uu u r

uu u r

① ? ? 0, ? ? 0 ;②当点 P 为 AD 中点时, ? ? ? ? 1 ; ③若 ? ? ? ? 2 ,则点 P 有且只有一个;④ ? ? ? 的最大值为 3 ;⑤ AP ? AE 的最大值为 1 . 11. ?ABC 中,下列命题正确的是________(写出正确命题的编号).

uu u r uu u r

o s ?? ①若 ?ABC 最小内角为 ? , 则c

1 ; ②若 A sin B ? B sin A , 则B ? A; 2

③存在某钝角 ?ABC ,有 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ;④若 2a BC ? bCA ? c AB ? 0 ,则 ?ABC 的最小 角小于

? ;⑤若 a ? tb?0 ? t ? 1? ,则 A ? tB . 6

12.如图所示,在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中,动圆 Q 的半径为 1, 圆心在线段 CD (含端点)上运动, P 是圆 Q 上及内部的动点,设向量 ,则 m ? n 的最大值为____________. AP ? mAB ? nAF (m, n 为实数) 13. O 是面 ? 上一定点,A、B、C 是面 ? 上 ?ABC 的三个顶点,?B, ?C 分 别是边 AC, AB 对应的角.以下命题正确的序号是 .

①动点 P 满足 OP ? OA ? PB ? PC ,则 ?ABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中. ②动点 P 满足 OP ? OA ?

?(

AB AB
AB

?

AC AC
?

)(? ? 0) ,则 ?ABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中.
AC

③动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

AB sin B
AB AB cos B

AC sin C
AC AC cosC

)(? ? 0) ,则 ?ABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中.

④动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

?

)(? ? 0) ,则 ?ABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中.

14 . 在 ?ABC 中 , A, B, C 的 对 边 分 别 是 a , b, c , 已 知 a ? 1 , 平 面 向 量 m ? (sin(? ? C),cos C ) , (2)已知 O 为△ABC 的外心,由 n ? (sin(B ? ),sin B) ,且 m ? n ? sin 2 A .(1)求△ABC 外接圆的面积; 2 O 向边 BC、CA、AB 引垂线,垂足分别为 D、E、F,求

?

| OD | | OE | | OF | 的值. ? ? cos A cos B cos C
3

1.D 【解析】由已知不妨设 A(0,0)、B(1,0)、C(c,0)、D(d,0), 则(c,0)=λ (1,0),(d,0)=μ (1,0), ∴λ =c,μ =d;代入

1

?

?

1 1 ? 2, 得 ? ? 2 c d ?
1 1 1 代入 ? ? 2 ,d 不存在, 2 c d 1 1 ? ? 2 得,c=d=1, c d

1

若 C 是线段 AB 的中点,则 c ?

∴C 不可能是线段 AB 的中点,A 错误;同理 B 错误; 若 C,D 同时在线段 AB 上,则 0≤c≤1,0≤d≤1,代入 此时 C 和 D 点重合,与已知矛盾,∴C 错误.故选:D.

3.B 【 解 析 】 由 题 意 可 得 x≥ 0 , y≥0 显 然 成 立 即 ① 成 立 , 由 于 点 P 在 OM 上 的 点 使 得

x O A? y O ,B ?5 ? x 3 ..y 点 P 在 ON 上则满足
解为平行于 OA 的直线的横坐标夹在 [ 以①③④正确,故选 B. 4.D

5 ? ,? x ? y .所以阴影部分的点的表示可以理 y OB 3

x OA

3 3 y , y ] 即 y ? x ? y .所以③正确.所以②不成立,即⑤不正确.所 5 5

【解析】根据向量积定义知,向量 AB × AD 垂直平面 ABCD,且方向向上,设 AB × AD 与 AE 所成角 为 θ .因为∠EAB=∠EAD=∠BAD=6 0°,所以点 E 在底面 ABCD 上的射影在直线 AC 上. 作 EI⊥AC 于 I,则 EI⊥平面 ABCD,所以 θ +∠EAI=

? .过 I 作 IJ⊥AD 于 J,连接 EJ,由三垂线逆定 2

理可得 EJ⊥AD.因为 AE=2,∠EAD=60°, 所以 AJ=1,EJ= 3 .又∠CAD=30°,IJ⊥AD,所以 AI=

AI 2 3 3 .因为 AE=2,EI⊥AC,所以 cos EAI= = , AE 3 3

4

所以 sin θ =sin ?

3 6 ?? ? ,cos θ = . ? ?EAI ? =cos EAI= 3 3 ?2 ? 3 6 × =4 2 ,故选 D. 2 3

故( AB × AD )· AE =| AB || AD |sin BAD| AE |. cos θ =8× 5.B

【解析】因为圆的半径为 2,所以正方形的边长为 2 2 .因为 ME ? FA .所以

ME ? OF = FA ? OF = ? FA ? (OA ? AF ) ? FA ? OA ? AF

2

? FA ? (OM ? MA) ? 2 ? FA ? OM ? FA ? MA ? 2 ? FA ? OM ? 2 ? 2 ?

2 ? 2 ? FA ? OM 2

? FA ? OM cos ? FA, OM ?? 8cos ? FA, OM ? .所以 ?8 ? ME ? OF ? 8 .故选 B.
6.D 【解析】设扇形所在的圆的半径为 1 ,以 OB 所在的直线为 x 轴, O 为原点建立平面直角坐标系,

? 1 3 ?COB ? ? (? ? (0, )) ,则 C (cos ? ,sin ? ), B(1, 0), A( , ) ,由题意可得 3 2 2
2 1 ? ? sin ? cos ? ? x ? y ? x ? ? 1 3 2 3 ? ? , (cos ? ,sin ? ) ? x(1, 0) ? y( , ) ? ? ?? 2 2 ?sin ? ? 3 y ? y ? cos ? ? sin ? ? ? 3 ? 2 ?
令 f (? ) ? u ? x ? ? y ?

? ? 2?? sin ? ? ? cos ? , ? ? (0, ) 则 f (? ) 在 ? ? (0, ) 不是单调函数,从而 3 3 3

f '(? ) ?

2?? ? ? 2?? cos ? ? ? sin ? ? 0 在 ? ? (0, ) 一定有解,即 tan? ? 在 ? ? (0, ) 时有解,可得 3 3 3? 3

2?? 1 ? (0, 3) ,即 ? ? ( , 2) ,经检验此时 f (? ) 此时正好有极大值点. 2 3?

5

8.①、③、⑤. 【解析】显然①正确; a ? me1 ? ne2 ?

m2 ? n2 ? 2mn cos ? ,∵ ? ?

?
2

,所以②错误;由 a / / b 得

b ? ? a(? ? R) , 所



s ? ? m, t ? ? n , 所 以

m ? t

?n 0 s, 故 ③ 正 确 ;

∵ a ? b ? (me1 ? ne2 ) ? (se1 ? te2 ) ? ms ? nt ? (mt ? ns)cos ? ? ms ? nt ,所以④错误;根据夹角公式

a ? b ? a b cos ? a, b ? ,又 a ? b ? 5 ? 4e1 ? e2 , a ? b ? 4 ? 5e1 ? e2
得 4 ? 5e1 ? e2 ? (5 ? 4e1 ? e2 ) cos 9.①③④ 【解析】 解: ①恒成立, ② 时, 则 不成立,③ , ,则 , 故 , , 故 10.①②④⑤ 【解析】由题意,不妨设正方形的边长为 1,建立如图所示的坐标系, 恒成立. , 当 恒成立,④

?
3

,故 e1 ? e2 ? ?

1 1 2? ,即 cos ? ? ? ?? ? ,⑤正确 2 2 3

6

(5) AP ? AE =? AB ? AE ? ? AE = ? | AB | ? | AE | ?? | AE |2 = ?? ? 2? , 当 P∈AB 时,有 0≤λ -μ ≤1,μ =0,可得 0≤-λ ≤1,故有-1≤ ?? ? 2? ≤0, 当 P∈BC 时,有 λ -μ =1,0≤μ ≤1,0≤2μ ≤2,所以 0≤λ -1≤1,故 1≤λ ≤2,-2≤-λ ≤-1 故-2≤-λ +2μ ≤1, 当 P∈CD 时, 有 0≤λ -μ ≤1, μ =1, 所以 0≤λ -1≤1, 故 1≤λ ≤2, -2≤-λ ≤-1, 故-1≤ ?? ? 2? ≤0, 当 P∈AD 时,有 λ -μ =0,0≤μ ≤1,所以 0≤λ ≤1,-1≤-λ ≤0,故 0≤-λ +2μ ≤1, 综上可得-2≤-λ +2μ ≤1,故⑤正确,

uu u r uuu r

uu u r uuu r

uuu r2

uu u r

uu u r

uu u r

? 1 故正确; 11. ①④⑤ 【解析】 对①, 因为 ?ABC 最小内角为 ? , 所以 0 ? ? ? , 对②, 构造函数 F ( x) ? sin x , cos ? ? , 3 x 2 求导得, F '( x) ? x cos x ? sin x ,当 x ? (0, ? ) 时, tan x ? x ,即 sin x ? x ,则 x cos x ? sin x ? 0 ,所以 2 cos x x2
F '( x) ?

sin B sin A ,即 ? x cos x ? sin x sin x 在 ? x ? (0, ) 上单减,由② A sin B ? B sin A 得 ? 0 ,即 F ( x) ? 2 B A 2 x x

所以 B ? A , 故②不正确; 对③, 因为 tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C , 则在钝角 ?ABC 中, F ( B) ? F ( A) , 不妨设

tan B tan ? Ctan ? tan A tanB 0 C ? A 为钝角,有 tan A ? 0, tan B ? 0, tan C ? 0 ,故 tan A ?

,③

不正确;对④,由 2aBC ? bCA ? cAB ? 2aBC ? bCA ? c( AC ? CB) ? (2a ? c) BC ? (b ? c)CA

? 0 ,即

(2a ? c)BC ? (c ? b)CA ,而 BC, CA 不共线,则 2a ? c ? 0, b ? c ? 0 ,解得 c ? 2a, b ? 2a ,则 a 是最小的边,


A 是最小的角,根据余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 4a 2 ? 4a 2 ? a 2 7 3 ,知 A ? ? ,故④正确;对⑤, ? ? ? 2bc 2 ? 2a ? 2a 8 2 6
B A

由 a ? tb(0 ? t

n i A, sin B sin A , 所以 A ? B , 由②知, 即A?s 又根据正弦定理知 sin A ? t sin B , ? 1) 得 a ? tb ? b , ? B s n i B



sin A A ? t ,所以 ? t ,即 A ? tB .故①④⑤正确. sin B B

12.5【解析】我们知道当点 P ' 在直线 BF 上时,若 AP ' ? mAB ? nAF ,则 m ? n ? 1 ,因此我们把直线 BF 向
上平移,则 m ? n 在增大(只要点 P ' 在与 BF 平行的同一条直线上, m ? n 就不变,也即 m ? n 的值随直线到点

A的
7

距离的变化而变化) , 当 Q 与 D 重合, 这时圆 Q 上有一点到 最大值为 5.

而点 A 到直线 BF 的距离为 1, 故 m? n A 的距离最大为 5,

13.②③④【解析】①设 BC 的中点为 D ,连结 PD ,则 PB ? PC ? 2 PD .又由 OP ? OA ? PB ? PC ,得

OP ? OA ? PB ? PC ,则 AP ? 2PD ,所以 A, P, D 共线,且 P 为 ?ABC 的重心,故①不正确.②∵

AB AB

?

AC 的 AC

方向与 ?BAC 的角平分线一致.又∵ OP ? OA ?

?(

AB AB

?

AC AC

,∴ OP ? OA ? AP =
)

?(

AB AB

?

AC AC

,∴向量
)

AP 的方向与

?BAC 的角平分线一致,∴一定通过 ?ABC 的内心,故②正确;③∵ OP ? OA +

?(

AB AB sin B

?

AC AC sin C

)

, ∴ OP ?OA



?(

AB AB sin B

?

AC AC sin C

)

,∴

AP = ? (

AB AB sin B

?

AC AC sin C
,∴

) ,∴ AP 与 ? (

AB AB sin B

?

AC AC sin C

) 共线,根据

正弦定理 | AB | ? | AC | ,∴ | sin C sin B 点

AB | sin B ? | AC | sin C

AP 与 AB ? AC 共线.∵ AB ? AC 经过线段 BC 的中
AB AB cos B ? AC AC cos C )=

D ,∴点 P 的轨迹也过中点 D ,∴点 P 过 ?ABC 重心,故③正确;∵④ BC (

? | BC | ? | BC |? 0 ,∴ BC 与 ? (

AB AB cos B

?

AC AC cos C

)

垂直.∵ OP ? OA ?

?(

AB AB cos B

?

AC AC cos C

) ,∴点 P 在

BC 的高线上,即 P 的轨迹过 ?ABC 的垂心,故④正确.综上可知,②③④正确.
14. (1)

? ; (2) 3 3

8



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