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浅谈高中数学分类讨论思想



龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈高中数学分类讨论思想 作者:周绍妍 来源:《文化研究》2015 年第 03 期 摘要:分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策 略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。本文主要是对分类讨论思想的进 行分析,以及在高考试题中解题举例。希望能起到抛砖引玉的作用。 关键词:分类讨论 互斥 无漏 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决 分类讨 论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样,具有较高的 逻辑性及很强的综合性,树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做 到―确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 分类讨论思想就是依据一定的标准,对问题分类、求解,要特别注意分类必须满足互斥、 无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是 1 由概念内涵分类 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含 了分类 2 由公式条件分类 如等比数列的前 n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形 的分类等 3 由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见,但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略,有时利用转化策略,如反证法、补集法、变更多元法、数形 结合法等简化甚至避开讨论 例:已知{an}是首项为 2,公比为 的等比数列,Sn 为它的前 n 项和 (1)用 Sn 表示 Sn+1; (2)是否存在自然数 c 和 k,使得 成立 解 (1)由 Sn=4(1– ),得 ,(n∈N*) (2)要使 ,只要 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 因为 所以 ,(k∈N*) 故只要 Sk–2 因为 Sk+1>Sk,(k∈N*) ① 所以 Sk–2≥ S1–2=1 又 Sk 当 c=2 时,因为 S1=2,所以当 k=1 时,c 当 k≥2 时,因为 ,由 Sk Sk–2< Sk+1–2 故当 k≥2 时, Sk–2>c,从而①不成立 当 c=3 时,因为 S1=2,S2=3, 所以当 k=1,k=2 时,c 因为 ,又 Sk–2< Sk+1–2 所以当 k≥3 时, Sk–2>c,从而①成立 综上所述,不存在自然数 c,k,使 成立 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、 不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是―不漏不重‖。 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的 全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没 有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合 得出结论。 参考文献: [1]刘文武.中学数学中重要的数学思想—分类讨论思想[M],科学出版社,2003.11.4 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn [2]吕凤祥.中学数学解题方法[M],哈尔滨工业大学出版社,2003


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