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微积分初步之导数与微分自测题解答


P63 导数与微分自测题解答 (一)单项选择题 1、设 y ? f (x) 是可微函数,则 df (cos 2 x) ? ( A、 2 f ?(cos 2 x)dx C、 2 f ?(cos 2 x) sin 2 xdx )

B、 f ?(cos 2 x) sin 2 xd 2 x D、 ? f ?(cos 2 x) sin 2 xd 2 x

解: df (cos 2 x) ? f ?(cos 2 x)d (cos 2 x) ? f ?(cos 2 x)(? sin 2 x)d 2 x
? ? f ?(cos 2 x) sin 2 xd 2 x

应选 D 2、若 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 4 ,则 f ?(x) ? ( A、 2x ? 2 B、 2 x ) D、 2

C、 x 2 ? 3

解: f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3
f ( x) ? x 2 ? 3 , f ?(x) ? 2 x

应选 B 3、曲线 y ? A、 y ? x 解: y ? ?
1 ( x ? sin x) 在 x ? 0 处的切线方程为( 2

) D、 y ? ? x ? 1

B、 y ? ?x

C、 y ? x ? 1

1 1 ? 1 , y(0) ? 0 (1 ? cos x) , k ? y ? x ?0 ? (1 ? cos x) 2 2 x ?0

切线方程为: y ? x 应选 A 4、曲线 y ? x ? e x 在点( A、 (1,1) B、 (?1,1) )处的切线平行于 x 轴 C、 (0,?1) D、 (0,1)

解: y ? ? 1 ? e x ? 0 , x ? 0 , y ? ?1 应选 C 5、设 f ( x) ? e x ,则 lim A、 2e
f (1 ? ?x) ? f (1) ?( ?x 1 B、 e C、 e 4
?x ?0


1 D、 e 2

解: f ?( x) ? e x , lim 应选 B (二)填空题

?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) ? f ?(1) ? e ?x

6、已知 f ( x) ? x 3 ? 3 x ,则 f ?(3) ? (



解: f ?( x) ? 3x 2 ? 3 x ln 3 , f ?(3) ? 27 ? 27 ln 3 ? 27(1 ? ln 3) 7、若函数 f (x) 在 x ? 0 的邻域内有定义,且 f (0) ? 0 , f ?(0) ? 1 ,则 lim
f ( x) f ( x) ? 0 f ( x) ? f (0) ? lim ? lim ? f ?(0) ? 1 x ?0 x ?0 x x?0 x?0
x ?0

f ( x) ? x

解: lim

x ?0

8、已知 f ( x) ? x x ? ln x ,则 f ??(x) ? ( 解: f ?( x) ?
3 1 3 1 ? 2 x ? , f ??(x) ? 2 x 4 x x



9、已知 f ( x) ? ln 2 x ,则 [ f (2)]? ? 解: [ f (2)]? ? 0 10、曲线 f ( x) ?
1 x
3

在 (1,1) 处切线斜率是
3

1 ? 1 ? 解: f ?( x) ? ? x 2 , k ? f ?( x) x ?1 ? ? x 2 2 2

??
x ?1

1 2

(三)判断题 11、 [sin( )]? ? 0 4 答:对

?





12、已知 f ( x) ? x ? tan x ,则 f ?( x) ? 答:对

1 2 x

?

1 cos2 x

13、函数 f ( x) ? x ,在点 x ? 1处的切线方程是 2 y ? x ? 1 解:对
f ?( x) ? 1 2 x

, k ? f ?( x) x ?1 ?

1 2 x
x ?1

?

1 , f (1) ? 1 2

切线方程: y ? 1 ?

1 ( x ? 1) , 2 y ? 2 ? x ? 1, 2 y ? x ? 1 2

14、若函数 f (x) 在点 x 0 处可导,则一定在点 x 0 处连续 答:对 15、若函数 f (x) 在点 x 0 处不可导,则一定在点 x 0 处不连续 答:错 (四)计算题 16、设 y ? (1 ? cos x ? 2 x 2 )10 ,求 y ? 解: y ? ? 10(1 ? cos x ? 2 x 2 ) 9 (? sin x ? 4 x) ? (40 x ? 10 sin x)(1 ? cos x ? 2 x 2 ) 9 17、设 y ? x x ? ln cos x ,求 dy 解: y ? ?
3 ? sin x 3 x? ? x ? tan x 2 cos x 2 3 dy ? y ?dx ? ( x ? tan x)dx 2

18、设 y ? y(x) 是由方程 x 2 ? 3xy ? y 2 ? 1 ? e xy 确定的隐函数,求 y ? 解:方程 x 2 ? 3xy ? y 2 ? 1 ? e xy 两边同时对 x 求导,得:
2 x ? 3( y ? xy ?) ? 2 yy ? ? e xy ( y ? xy ?) ( xe xy ? 3x ? 2 y) y ? ? 2 x ? 3 y ? ye xy
y? ? 2 x ? 3 y ? ye xy xe xy ? 3x ? 2 y


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