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2015-2016学年福建省泉州市五校高二下学期期中考试数学(理)试题



秘密☆启用前

2015-2016 学年福建省泉州市五所重点学校下学期期中考试

高二数学(理科)试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若复数

2 ? ai ?a ? R ? 是纯虚数, i 是虚数单位,则 a 的值

是( 1? i



A.2 B.1 C.-1 D. -2 2.从一批产品中取出三件产品,设 A 表示事件“三件产品全不是次品”,B 表示事件“三件产 品全是次品”,C 表示事件“三件产品至少有一件是次品”,则下列结论正确的是( ) A.事件 A 与 C 互斥 B.任何两个事件均互斥 C.事件 B 与 C 互斥 D.任何两个事件均不互斥 3.某品牌空调在元旦期间举行促销活动,下面的茎叶图表示某专卖店记录的每 天销售量情况(单位:台),则销售量的中位数是( ) A.13 B.14 C.15 D.16 4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产 能耗 y (吨)的几组对应数据,根据下表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为

? 的是( y ? 0.7 x ? 0.35 ,则下列结论错误 ..

) 4 5
[

x y

3 2.5

6 4.5

t

4 B. t 的取值必定是 3.15

A.产品的生产能耗与产量呈正相关 C.回归直线一定过点 ?4.5,3.5?

D.A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 5.在平面直角坐标系 xOy 中,满足 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 的点 P( x, y ) 的集合对应的平面
2 2

图形的面积为

? 2 2 2 ;类似的,在空间直角坐标系 O ? xyz 中,满足 x ? y ? z ? 1 , 4
)

x ? 0, y ? 0, z ? 0 的点 P( x, y, z) 的集合对应的空间几何体的体积为(
A.

? 8

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

6.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然 是错误的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 7.下列说法: (1)一组数据不可能有两个纵数; (2)一组数据的方差必为正数,且方差越大, 数据的离散程度越大; (3)将一组数据中的每个数都加上同一个常数后,方差恒不变; (4) 在频率分布直方图中,每个长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的个数有( ) A.0 B.1 C.2 D.3

, ? ?? 上 8.将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n ,则函数 y ? mx ? nx ? 1 在 ?1
2

为增函数的概率是( A.

) B.

1 6

1 4

C.

3 4

D.

5 6

9.某节假日,一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表. 要求每人值 班一天,但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻,则不同的安排方法有( )种. A.336 B.408 C. 240 D.264 10. [ n ]表示不超过 n的最大整数,若 S1=[ 1 ]+[ 2 ]+[ 3 ]=3, S2=[ 4 ]+[ 5 ]+[ 6 ]+[ 7 ]+[ 8 ]=10, S3=[ 9 ]+[ 10 ]+[ 11 ]+[ 12 ]+[ 13 ]+[ 14 ]+[ 15 ]=21,…则 Sn=( ) A.n(n+2) B.n(n+3) C.(n+1)2-1 D.n(2n+1) 1 1 11.设 a,b∈(0,+∞),则 a+ ,b+ ( ) b a A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2 12. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点与各棱的中点共 20 个点中, 任取 2 点连成直线, 在这些直线中任取一条,它与对角线 BD1 垂直的概率为( A. ) . D.

27 190

B.

12 166

C.

15 166

27 166
.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若复数 z 满足
1

z ? i 2015 ? i 2016 ( i 为虚数单位) ,则 z = 2?i
.

5 2 14. ( x ? 2)( x ? 1) 展开式中x 项的系数为

15.已知 Q ? ( x, y ) 3 x ? y ? 4, x ? 0, y ? 0 , A ? ( x, y) x ? y 若向区域 Q 内随机投入一 点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 . 16. 彩票公司每天开奖一次, 从 1,2,3,4 四个号码中随机开出一个作为中奖号码, 开奖时如果 开出的号码与前一天相同,就要重开,直到开出与前一天不同的号码为止.如果第一天开 出的号码是 4,则第五天开出的号码也同样是 4 的概率为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(8 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统 计如下: API >300 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 空气 轻微 轻度 中度 中度 重度 优 良 质量 污染 污染 污染 重污染 污染 4 13 18 30 9 11 15 天数 (1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记为 w)的关 系式为: ?0,0≤w≤100, S=?4w-400,100<w≤300,

?

?

?

?

?

? ?2 000,w>300,

试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染.完成下面 2× 2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?

非重度污染 供暖季 非供暖季 总计 附: K 2 ?

重度污染

总计

100

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 1 0.25 5.02 4 0.01 0 6.63 5 0.00 5 7.879

P( K 2 ? k0 )
k0

18.(10 分)某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准,必须先了解全市居民日常用 电量的分布情况.现采用抽样调查的方式,获得了 n 位居民在 2012 年的月均用电量(单 位:度)数据,样本统计结果如下图表: 分 组 频 数 频 率 0.05 0.10 30 0.25 0.15 15 n 1 [0, 10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 合 计

(1)求月均用电量的中位数与平均数估计值; (2) 如果用分层抽样的方法从这 n 位居民中抽取 8 位居民, 再从这 8 位居民中选 2 位居民, 那么至少有 1 位居民月均用电量在 30 至 40 度的概率是多少? (3)用样本估计总体,把频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽 样) ,求月均用电量在 30 至 40 度的居民数 X 的分布列.

2 ? 2 ? 2 ? 19.(10 分)已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?

3 3 2 ? 2 ? 2 ? ; sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 2 2

sin 2 20? ? sin 2 80? ? sin 2 140? ?

通过观察上述三个等式的规律,请你写出对任意角度 ? 都成立的一般性的命题,并给予 证明.

3 2

20. (10 分)为贯彻“激情工作,快乐生活”的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞 赛,比赛分初赛和决赛两部分,为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选—题答—题的 方式进行,每位选手最多有 5 次选答题的机会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其 初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰,已知选手甲答题的正确 率为

2 . 3

(1)求选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。

21.(10 分)某商场在五一节搞促销抽奖获积分活动,共设置了甲、乙两种抽奖方案,方案 甲的中奖率为

2 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 P 0 (0 ? P 0 ? 1) ,中奖可以获得 3

3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,活 动结束后凭分数兑换奖品. 7 (Ⅰ) 张三选择方案甲抽奖, 李四选择方案乙抽奖, 记他们的累计得分为 X, 若 X≤3 的概率为 , 9 求P 0; (Ⅱ)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽 奖,累计得分的数学期望较大?

高二数学(理科)答案

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分. 1-6、AACBBC 7-12、CDADCD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 13. 10 ; 14. ?10 ; 15.

7 3 ; 16. 27 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分. 17. (8 分)解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 39 元”为事件 A,由 200<S≤600,得 150<w≤250,频数为 39, 所以 P(A)=100 (2)根据题中数据得到如下列联表: 非重度污染 重度污染 22 8 供暖季 63 7 非供暖季 85 15 总计 2 100× ( 22× 7 - 63× 8 ) K2 的观测值 k= ≈4.575>3.841, 85× 15× 30× 70 所以有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关. 18. (10 分)
[

总计 30 70 100

………………8 分

解析:中位数的估计值为 30 ? 平均数的估计值为

0.5 ? 0.45 ? 32 ; 0.025

0.005*10*5 ? 0.010*10*15 ? 0.030*10*25 ? 0.025*10 *35 ? 0.015*10*45 ? 0.015*10*55 ? 33

19. (10 分)解:一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ?
2 2 ? 2 ?

3 2

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120? ) 1 ? cos(2? ? 240? ) ? ? 事实上,证明一:左边 = 2 2 2
=

3 1 ? [cos 2? ? cos( 2? ? 120 ? ) ? cos( 2? ? 240 ? )] 2 2

=

3 1 ? [cos 2? ? cos 2? cos 120 ? ? sin 2? sin 120 ? ? cos 2 cos 240 ? ? sin 2? sin 240? ] 2 2

=

3 3 1 1 3 1 3 ? 右边 ? [cos2? ? cos2? ? sin 2? ? cos2? ? sin 2? ] = 2 2 2 2 2 2 2
2

(将一般形式写成 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?
?
2 2

?

3 , 2

sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ?
20. (10 分)

3 等均正确.) 2

因此,有

?

3

4
10 27

5

P

1 3

9 27

1 10 8 107 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 3 27 27 27
21. (本小题满分 10)解: (1)由已知得,张三中奖的概率为

2 ,李四中奖的概率为 P 0, 3

且两人中奖与否互不影响.记“这两人累计得分 X ? 3 ”的事件为 A,则事件 A 的对立事件为 “ X ? 5 ”, 因为 P ( X ? 5) ?

2 2 7 ? P0 ,所以 P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? 1 ? ? P0 ? ,所以 3 3 9

1 P0 ? ……………4 分 3
(2)设张三,李四都选择甲中奖次数为 X 1 ,都选择方案已抽奖中奖次数为 X 2 ,则这两人选

择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2 X1 ) ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为

E(3X 2 ) ,由已知可得,
2 2 4 X 1 ? B (2, ), X 2 ? B(2, P0 ), 所以 E ( X 1 ) ? 2 ? ? , E( X 2 ) ? 2 ? P 0, 3 3 3 8 E (2 X 1 ) ? , E(3 X 2 ) ? 6P 0 3
…………6 分 若 E(2 X1 ) ? E(3X 2 ) ,即

8 4 ? 6 P0 ,所以 0 ? P0 ? ; 3 9

8 4 ? 6 P0 ,所以 ? P0 ? 1 ; 3 9 8 4 若 E(2 X1 ) ? E(3X 2 ) ,即 ? 6 P0 ,所以; P0 ? . 3 9 4 综上所述:当 0 ? P0 ? ,他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大; 9 4 当 ? P0 ? 1 ,他们都选择方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望较大; 9 4 当 P0 ? ,他们都选择方案甲或方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望相等. 9
若 E (2 X1 ) ? E (3 X 2 ) ,即 …………10 分



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