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4.1.1 圆的标准方程 学案(人教A版必修2)


上篇 第四章 圆与方程

4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 【课标要求】 1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【核心扫描】 1.由已知条件求圆的标准方程.(重点) 2.圆的几何性质的应用.(难点) 3.准确判断点与圆的位置关系.(易混点)

新知导学 1.圆的定义及圆的标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 其中定点是圆的圆心;定长是圆的半径. (2)圆的标准方程

温馨提示:(1)在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 中,有三个参数 a、b、r,只要求出 a、b、r,这时圆的方程就确定了.因此确定圆的方程,需要三个独立条件,其中圆心是圆 的定位条件,半径是圆的定量条件. (2)求圆的标准方程常用的性质 ①圆的弦的垂直平分线过圆心; ②两条弦的垂直平分线的交点为圆心; ③圆心与切点的 连线垂直于切线;④圆心到切点的距离等于圆的半径;⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直 角三角形;⑥直径所对圆周角为直角等. 2.点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内,判断点与圆的位置关系有 两种方法: (1)几何法:将所给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较: 若|CM|=r,则点 M 在圆上; 若|CM| >r,则点 M 在圆外; 若|CM|<r,则点 M 在圆内. (2)代数法:可利用圆 C 的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 来确定: 点 M(m,n)在圆 C 上?(m-a)2+(n-b)2=r2; 点 M(m,n)在圆 C 外?(m-a)2+(n-b)2>r2; 点 M(m,n)在圆 C 内?(m-a)2+(n-b)2<r2. 温馨提示:(1)不共线三点确定一个圆.

(2)证四点共圆的方法: ①证其中一点在另外三点确定的圆上; ②证四边形一组对角互补. 互动探究 2 2 2 探究点 1 方程(x-a) +(y-b) =m 表示圆的条件是什么?当表示圆时,圆的半径是多 少? 提示 m≠0 |m| 探究点 2 (1)任意三个点能确定一个圆吗? (2)四个点一定共圆吗? 提示 (1)不一定.当三点不共线时能确定一个圆,否则不能确定一个圆. (2)不一定.当四个点到一个定点的距离都相等或四个点都满足同一个圆的方程或四个 点 构成的四边形对角互补时共圆,否则四点不共圆.

类型一 点与圆的位置关系 【例 1】 已知点 A(1,2)不在圆 C:(x-a)2+(y+a)2=2a2 的内部,求实数 a 的取值范围. [思路探索] 可用代数方法(即用圆的标准方程)求解,但要注意隐含条件 a≠0. 解 由题意,点 A 在圆 C 上或圆 C 的外部, ∴(1-a)2+(2+a)2≥2a2, 5 ∴2a+5≥0,∴a≥- ,又 a≠0, 2 5 ? ∴a 的取值范围是? ?-2,0?∪(0,+∞). [规律方法] (1)当圆的标准方程的右端含有字母时,不能忽略隐含条件. (2)判定点与圆的位置关系时,即用点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 作比较,也可用圆 的标准方程来判断. 【活学活用 1】 (1)(2012· 嘉兴高一检测)点(5 a+1, a)在圆(x-1)2+y2=26 的内部, 则 a 的取值范围是( ). A.(0,1) B.[0,1) C.(1,+∞) D.{1} (2)点 P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2 的位置关系是( ). A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.与 a 的值有关 解析 (1)由于点在圆的内部,所以(5 a+1-1)2+( a)2<26,即 26a<26,又 a≥0, 解得 0≤a<1. (2)把点 P(a,10)代入方程的左端, 得(a-1)2+(10-1)2=(a-1)2+92>2, ∴点 P 在圆外. 答案 (1)B (2)A 类型二 直接法求圆的标准方程 【例 2】 求过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程. [思路探索] 借助圆的几何性质先求出圆心坐标和半径后,直接代入圆的标准方程. 解 法一 设点 C 为圆心,∵点 C 在直线 x+y-2=0 上, ∴可设点 C 的坐标为(a,2-a). 又∵该圆经过 A,B 两点,∴|CA|=|CB|. ∴ ?a-1?2+?2-a+1?2= ?a+1?2+?2-a-1?2, 解得 a=1. ∴圆心坐标为 C(1,1),半径长 r=|CA|=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

1-?-1? =-1,所以弦 AB 的垂直 -1-1 平分线的斜率为 k=1,所以 AB 的垂直平分线的方程为 y-0=1· (x-0),即 y=x.则圆心是直 线 y=x 与 x+y-2=0 的交点, ? ? ?y=x, ?x=1, 由? 得? ?x+y-2=0, ?y=1, ? ? 法二 由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0),kAB= 即圆心为(1,1),圆的半径为 ?1-1?2+[1-?-1?]2=2, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. [规律方法] 常利用圆的几何性质先求出圆心坐标和半径,再代入标准方程. 【活学活用 2】 (1)已知圆的圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别落在 x 轴,y 轴 上,求此圆的方程. (2)求圆心在直线 2x+y=0 上,且与直线 y=-x+1 相切于点(2,-1)的圆的方程. 解 (1)设直径的两个端点为(a,0),(0,b),则 a+0 0+b =2, =-3, 2 2 ∴a=4,b=-6. ∴圆的半径长为 ?4-2?2+?0+3?2= 13, ∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13. (2)因为圆心在直线 2x+y=0 上,故设圆心为(a,-2a),又圆与 y=-x+1 相切点(2, |a-2a-1| -1),所以 = ?a-2?2+?-2a+1?2,解得 a=1. 2 所以圆心为 C(1,-2),半径 r= ?1-2?2+?-2+1?2= 2.故圆的方程为(x-1)2+(y+ 2) =2. 类型三 待定系数法求圆的方程 【例 3】 已知某圆圆心在 x 轴上,半径长为 5,且截 y 轴所得线段长为 8,求该圆的标 准方程. [思路探索] 利用弦心距直角三角形求圆心坐标用直接法求解或根据弦的性质推出圆 与 y 轴的交点,再用待定系数法解决.
2

解 法一 如图所示,由题设|AC|=r=5,|AB|=8, ∴|AO|=4.在 Rt△AOC 中, |OC|= |AC|2-|AO|2 = 52-42=3. 设点 C 坐标为(a,0), 则|OC|=|a|=3,∴a=± 3. ∴所求圆的方程为(x+3)2+y2=25, 或(x-3)2+y2=25. 法二 由题意设所求圆的方程为(x-a)2+y2=25. ∵圆截 y 轴线段长为 8,∴圆过点 A(0,4). 代入方程得 a2+16=25, ∴a=± 3. ∴所求圆的方程为(x+3)2+y2=25,或(x-3)2+y2=25. [规律方法] 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤: ①设:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列:由已知条件,建立关于 a,b,r 的方程组;

③解:解方程组,求出 a,b,r; ④代:将 a,b,r 代入所设方程,得所求圆方程. 【活学活用 3】 (2012· 临沂高一检测)一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2 上,求此圆的方程. 解 法一 ∵圆心在直线 y=x+2 上, ∴设圆心坐标为(a,a+2),则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2,∵点 O(0,0)和 P(1,3) 在圆上, 2 2 2 ? ??0-a? +?0-a-2? =r , ? ∴ 2 2 2 ??1-a? +?3-a-2? =r , ?

?a=-4, 解得? 25 ?r = 8 ,
2

1

1?2 ? 7?2 25 ∴所求的圆的方程为? ?x+4? +?y-4? = 8 . 1 3? 法二 由题意,圆的弦 OP 的斜率为 3,中点坐标为? ?2,2?,∴弦 OP 的垂直平分线方 1 3 1 x- ?,即 x+3y-5=0, 程为 y- =- ? 2 3? 2? ∵圆心在直线 y=x+2 上,且圆心在弦 OP 的垂直平分线上, 1 x=- , ?y=x+2, 4 ? ∴由? 解得 7 ?x+3y-5=0, ? y= . 4 1 7? 即圆心坐标为 C? ?-4,4?, 又圆的半径 r=|OC| ?-1?2+?7?2= 25, = ? 4? ?4? 8 1 7 25 x+ ?2+?y- ?2= . ∴所求的圆的方程为? ? 4? ? 4? 8 方法技巧 与圆有关的范围(或最值)问题 此类问题,根据我们现在所学的知识一般利用数形结合的方法解决:(1)看作圆上动点 到定点的距离或定直线的距离;(2)看作圆上动点与圆外一定点连线的斜率. y 【示例】 (1)如果实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3,求 的最大值和最小值. x 1 (2)已知实数 x,y 满足方程 x2+(y-1)2= ,求 ?x-2?2+?y-3?2的取值范围. 4 [思路分析] (1)看作(x,y)与(0,0)连线的斜率; (2)看作(x,y)与(2,3)两点间的距离.

? ? ?

y (1)法一 如图,当过原点的直线 l 与圆(x-2)2+y2=3 相切于上方时 最大,过圆心 x A(2,0)作切线 l 的垂线交于 B,在 Rt△ABO 中,OA=2,AB= 3. 解

y ∴切线 l 的倾斜角为 60° ,∴ 的最大值为 3. x y 类似地容易求得 的最小值为- 3. x y 法二 令 =n,则 y=nx 与(x-2)2+y2=3, x 联立消去 y 得(1+n2)x2-4x+1=0 Δ=(-4)2-4(1+n2)≥0, 即 n2≤3,∴- 3≤n≤ 3 y 即 的最大值、最小值分别为 3、- 3. x

(2) ?x-2?2+?y-3?2可以看成圆上的点 P(x,y)到 A(2,3)的距离.圆心 C(0,1)到 A(2,3)的 距离为 d= ?0-2?2+?1-3?2=2 2. 1 1? 由图可知,圆上的点 P(x,y)到 A(2,3)的距离的范围是? ?2 2-2,2 2+2?. 1 1? 所以 ?x-2?2+?y-3?2的取值范围是? ?2 2-2,2 2+2?. [题后反思] 与圆有关的范围(或最值)问题我们现在有两类基本方法 (1)数形结合:能化为完全平方式的多项式转化为圆上动点到圆外点的距离;求圆上动 点到定直线的距离最小值,利用圆心到直线的距离公式;分式的最值转化为切线的斜率. (2)利用函数思想:通过整体代入,最后化为关于 x 或 y 的函数求解.但要注意 x、y 的 取 值范围.

课堂达标 1.圆(x-2) +(y+3) =2 的圆心和半径分别是( ). A.(-2,3),1 B.(2,-3),3 C.(-2,3), 2 D.(2,-3), 2 解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径为 2. 答案 D 2.(2012· 济宁高一检测)圆(x+2)2+y2=5 关于原点 O(0,0)对称的圆的方程为( ). 2 2 2 2 A.(x+2) +(y+2) =5 B.x +(y-2) =5 C.(x-2)2+y2=5 D.x2+(y+2)2=5 解析 已知圆的圆心 (-2,0)关于原点的对称点为(2,0),故所求对称圆的方程为(x-2)2 +y2=5. 答案 C 3.已知点(2,0)和(x-2)2+(y+1)2=3,则点与圆的位置关系是________. 解析 把点(2,0)代入圆的方程的左端得 (2-2)2+(0+1)2=1<3,∴点(2,0)在圆(x-2)2 +(y+1)2=3 的内部. 答案 点在圆的内部 4.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为________. 解析 设圆心(0,b),设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=1,把(1,2)代入得 12+(2-b)2=1, ∴b=2. ∴圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 答案 x2+(y-2)2=1 5.求下列圆的标准方程
2 2

(1)与 x 轴相交于 A(1,0)和 B(5,0),半径为 5; (2)一条直径的两个端点为(2,0),(2,-2). 解 (1)法一 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=5. ∵点 A,B 在圆上, ∴A,B 坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=5. ??1-a?2+?0-b?2=5, ? 把 A,B 坐标代入该方程得? 2 2 ??5-a? +?0-b? =5, ?
? ?a=3, 解得? ∴圆的标准方程是(x-3)2+(y-1)2=5 或(x-3)2+(y+1)2=5. ?b=± 1. ? 法二 由 A,B 两点在圆上可知线段 AB 是圆的一条弦,∴该圆的圆心在线段 AB 的垂 直平分线 x=3 上,于是可设圆心为 C(3,b).又|AC|= 5,即 ?3-1?2+b2= 5,解得 b=1 或 b=-1,因此,所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5 或(x-3)2+(y+1)2=5. (2)圆心坐标为(2,-1),圆的半径为 ?2-2?2+?-1-0?2=1,所以圆的方程为(x-2)2 +(y+1)2=1. 课堂小结 1.点与圆的位置关系的判定:(1)利用点到圆心距离 d 与圆半径 r 比较.(2)利用圆的标 准方程直接判断,即(x0-a)2+(y0-b)2 与 r2 比较. 2.求圆的标准方程常用方法:(1)利用待定系数法确定 a,b,r,(2)利用几何条件确定 圆心坐标与半径. 3.与圆有关的范围(或最值)问题,首先要理清题意,弄清其几何意义,根据几何意义 解题;或对代数式进行转化后用代数法求解.



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