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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 第3章 2.1 圆锥曲线与方程



§ 2 2.1

抛物线

抛物线及其标准方程

课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及 对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程.

1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离________的点的集合叫做抛物线,点 F

叫做抛物线的________,直线 l 叫做抛物线的________. 2.抛物线的标准方程 (1)方程 y2=± 2px,x2=± 2py(p>0)叫做抛物线的标准方程. 2 (2) 抛物线 y = 2px(p>0) 的焦点坐标是 ________ ,准线方程是 __________ ,开口方向 ________. (3) 抛物线 y2 =- 2px(p>0) 的焦点坐标是 ________ ,准线方程是 __________ ,开口方向 ________. (4) 抛物线 x2 = 2py(p>0) 的焦点坐标是 __________ ,准线方程是 __________ ,开口方向 ________. (5) 抛物线 x2 =- 2py(p>0) 的焦点坐标是 ________ ,准线方程是 __________ ,开口方向 ________.

一、选择题 1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( |a| A. 4 |a| B. 2 C.|a|

) a D.- 2 ) 1 D.(0, ) 16 )

1 2.与抛物线 y2= x 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是( 4 A.(1,0) 1 B.( ,0) 16 C.(0,0)

p 3.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a> ),则点 M 的横坐标是( 2 p A.a+ 2 p B.a- 2

C.a+p D.a-p 4.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在 x 轴上,其上点 P(-3,m)到焦点 F 的距离为 5,则抛物线方程为( ) 2 A.y =8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x 5.方程 2[?x+3?2+?y-1?2]=|x-y+3|表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 6. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为( )

-1-

A.

17 2

B .3

C. 5

9 D. 2 5 6

题 答

号 案

1

2

3

4

二、填空题 7.抛物线 x2+12y=0 的准线方程是__________. 8.若动点 P 在 y=2x2+1 上,则点 P 与点 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是__________. 9.已知抛物线 x2=y+1 上一定点 A(-1,0)和两动点 P,Q,当 PA⊥PQ 时,点 Q 的横坐 标的取值范围是______________. 三、解答题 10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离 等于 5,求抛物线的方程和 m 的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.

11.平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1,求动点 P 的轨迹方程.

-2-

能力提升 12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 B.1 C.2 D.4

)

13.AB 为抛物线 y=x2 上的动弦,且|AB|=a (a 为常数且 a≥1),求弦 AB 的中点 M 离 x 轴的最近距离.

1.理解抛物线定义,并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题. 2.四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的 符号确定.当系数为正时,开口方向为坐标轴的正方向;系数为负时,开口方向为坐标 轴的负方向. 3.焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x2=2py 通常又可以写成 y=ax2,这与以前学习的 二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意的是,由方程 y=ax2 来求其焦点和准线时, 必须先化成标准形式.

2. 1

§ 2 抛物线 抛物线及其标准方程
p p 向左 (4)(0, ) y=- 2 2 向上

知识梳理 1.相等 焦点 准线 p p p p 2.(2)( ,0) x=- 向右 (3)(- ,0) x= 2 2 2 2

-3-

p p (5)(0,- ) y= 向下 2 2 作业设计 |a| |a| 1.B [因为 y2=ax,所以 p= ,即该抛物线的焦点到其准线的距离为 .] 2 2 1 2 2.D [y = x 关于直线 x-y=0 对称的 4 1? 1 1 1 抛物线为 x2= y,∴2p= ,p= ,∴焦点为? ?0,16?.] 4 4 8 p 3.B [由抛物线的定义知:点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x=- 的距 2 p 离,所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a- .] 2 4.B [点 P(-3,m)在抛物线上,焦点在 x 轴上,所以抛物线的标准方程可设为 y2=- p 2px(p>0).由抛物线定义知|PF|=3+ =5. 2 所以 p=4,所以抛物线的标准方程是 y2=-8x.] 5.D [原方程变形为 |x-y+3| ?x+3?2+?y-1?2= , 它表示点 M(x, y)与点 F(-3,1)的距离等于点 M 到直线 x - 2 y+3=0 的距离.根据抛物线的定义,知此方程表示的曲线是抛物线.] 6.A [

1 如图所示,由抛物线的定义知,点 P 到准线 x=- 的距离 d 等于点 P 到焦点的距离|PF|. 2 因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 1 ? 到点 F 的距离之和,其最小值为点 M(0,2)到点 F? ?2,0?的距离,则距离之和的最小值为 1 17 4+ = .] 4 2 7.y=3 解析 抛物线 x2+12y=0,即 x2=-12y,故其准线方程是 y=3. 8.y=4x2 9.(-∞,-3]∪[1,+∞) 2 解析 由题意知,设 P(x1,x1 -1),Q(x2,x2 2-1), → → 又 A(-1,0),PA⊥PQ,∴PA· PQ=0, 2 2 即(-1-x1,1-x1)· (x2-x1,x2-x2 1)=0, 2 也就是(-1-x1)· (x2-x1)+(1-x2 (x2 1)· 2-x1)=0.∵x1≠x2,且 x1≠-1, 1 1 ∴上式化简得 x2= -x1= +(1-x1)-1,由基本不等式可得 x2≥1 或 x2≤-3. 1-x1 1-x1 10.解 设抛物线方程为 y2=-2px (p>0), p - ,0?, 则焦点 F? ? 2 ?

-4-

m =6p, ? ? 由题意,得? p 3- ?2=5, m2+? ? 2 ? ? ?

2

?p=4, ?p=4, 解得? 或? ?m=2 6, ?m=-2 6.
故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m=± 2 6. 抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2. 11.解 方法一 设 P 点的坐标为(x,y), 则有 ?x-1?2+y2=|x|+1, 两边平方并化简得 y2=2x+2|x|. ? ?4x, x≥0, ∴y2=? 即点 P 的轨迹方程为 y2=4x (x≥0)或 y=0 (x<0). ?0, x<0, ? 方法二 由题意,动点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1,由于点 F(1,0)到 y 轴 的距离为 1,故当 x<0 时,直线 y=0 上的点适合条件;当 x≥0 时,原命题等价于点 P 到 点 F(1,0)与到直线 x=-1 的距离相等, 故点 P 在以 F 为焦点, x=-1 为准线的抛物线上, 其轨迹方程为 y2=4x. 故所求动点 P 的轨迹方程为 y2=4x (x≥0)或 y=0 (x<0). p 12.C [方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为 x=- . 2 ∵准线与圆相切,圆的方程为(x-3)2+y2=16, p ∴3+ =4,∴p=2. 2 方法二 作图可知,抛物线 y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切于点(-1,0), p 所以- =-1,p=2.] 2 13.解

设 A、M、B 点的纵坐标分别为 y1、y2、y3.A、M、B 三点在抛物线准线上的射影分别为 A′、M′、B′,如图所示. 由抛物线的定义,知 1 |AF|=|AA′|=y1+ , 4 1 |BF|=|BB′|=y3+ , 4 1 1 ∴y1=|AF|- ,y3=|BF|- . 4 4 又 M 是线段 AB 的中点, 1 1 1 |AF|+|BF|- ? ∴y2= (y1+y3)= ? 2? 2 2? 1 1 1 |AB|- ?= (2a-1). ≥ ×? 2? 4 2 ? 等号在 AB 过焦点 F 时成立, 即当定长为 a 的弦 AB 过焦点 F 时, M 点与 x 轴的距离最近, 1 最近距离为 (2a-1). 4

-5-



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