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线面垂直40分钟


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?a ? ? ? 线面关系 ? ?a ? ? ?a ? ? ?a ? ? ? ?
a a a

a ??

?
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广州塔与地面

桥柱与水面

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线面垂直应该怎样定义?
回想线面平行的判定,有什么启示

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一起分享查阅的资料:日晷(日晷的构成、工作原理)

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日晷( rì guǐ ): 日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器,又称“日规”,它由晷 面和晷针组成,“晷针” 垂直地穿过圆盘中心。当太阳光照在日晷 上时,晷针的影子就会投向晷面。随着时间的推移,晷针的影子在 晷面上慢慢地移动,以此来显示时刻。这种利用太阳光的投影来计 时的方法是人类在天文计时领域的重大发明,这项发明被人类所用 达几千年之久。 08:39:32

观察日晷记时过程回答以下问题:

探究:晷针AB与在 晷面内的直线有几 种位置关系 探究:晷针 AB与它在晷面 内的影子是 否垂直?

A

B

观察日晷记时过程回答以下问题: 探究:晷针AB与晷 面上过点B的任意一 条直线是否垂直? A 探究:晷针AB与 晷面上不过点B 的任意一条 B 直线是否 垂直?

定义:如果直线 l与平面?内的任意一条直

线都垂直, 我们就说直线 l与平面?互相垂直

记作l ? ?
平面 ? 的垂线
l

直线 l的垂面 α
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P 垂足

深化概念 拓展思维

下列命题正确的是 3 4

1.如果直线l与平面 ? 内的无数条直线垂直, 则l⊥? ; ?; 2.如果直线l与平面内的一条直线垂直,则l⊥ 3.如果平面? 内有一条直线与l 不垂直,则直 线l不垂直于平面 ? ; 4.如果直线l 不垂直于 ? ,则 ? 内也可以有无 数条直线与l 垂直。
l
l

?

l
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? 怎样判定线面垂直?
一条

平行

? 难道要证明直线l与 面中所有的直线都 垂直吗? ? 猜猜看l 与面内的几 条、什么样的直线 垂直,就可以说明l 与面垂直?
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相交

? 怎样判定线面垂直?
一条

平行

相交

? 猜猜看l 与面内的几 条、什么样的直线 垂直,就可以说明l 与面垂直?

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一条直线? 不能
l

b

?

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两条平行直线? 不能

c

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猜想:是不是一条直线垂直于平面内的两条 相交直线,此直线就垂直于该平面呢?
A A
D

C

B

D

C

?

B

(1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面 所在平面 ? 垂直. (3)你能得到什么结论?
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A A
CC

A

A
D

?
B B
D D

B

C C

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判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线垂直,那么这条直线垂 直于这个平面 l
P α m n

定理的关键:线不在多 相交则行
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深化概念 拓展思维

如果一条直线 ①与三角形的两边垂直; ②与梯形两边垂直; 那么直线是否与上述图形所在平 面垂直?

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例1:如图A为△BCD所在平面外一
点,AC=AD,BC=BD,E为CD中 点求证:(1)CD⊥面ABE
A

(2) AB ? CD

D B E

线面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直的定义 线面垂直

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练习1.如图,点P 是平行四 边形ABCD 所在平面外一点, O 是对角线AC与BD的交点, 且PA =PC PB =PD .求证: P PO⊥平面ABCD

D
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C
O

例2:如图,AB是⊙O 的直径 , PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆 周上不同于A,B的任意一点。 求证:BC⊥平面PAC

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变式一:如图,AB是⊙O 的直径 , PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周 上不同于A,B的任意一点。求证: (1)BC⊥平面PAC.(2)在三棱锥
P-ABC有多少个直角三角形的面?

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变式二:如图,AB是⊙O 的直径 , PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周 上不同于A,B的任意一点。 求证:(1)BC⊥平面PAC(3)过A 作AE⊥PC于E ,求证:AE⊥PB

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这节课我们都 学习了什么?

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知识要点 1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定定理 线面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直的定义 线面垂直

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课本P66

探究

' ' ' ' A B C D ? A B C D (侧棱 如图,直四棱柱 与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四 ' ' ' A C ? B D ? 边形满足什么条件时,

A'
D' B' C' A B
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D C

三棱锥V-ABC,VA=VC,BA=BC, 求证:VB ? AC
证明: 取AC中点O,连VO, BO

? VA ? VC , BA ? BC ? ?VAC , ?BAC 是等腰三角形 ?VO ? AC , BO ? AC ? VO ? BO ? O ? AC ? 面VOB ? VB ? 面VOB ?VB ? AC
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O


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