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2007年台州市初中毕业生学业考试数学试卷及参考答案



台州市 2007 年初中毕业生学业考试数学试卷
小题, 每小题有且只有一个选项是正确的, 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题有且只有一个选项是正确的, 选择题( 不选、多选、错选均不给分) 不选、多选、错选均不给分) 1.抛掷一枚硬币,正面向上的概率为( ) A.1 B.

1 2

C.

/>
1 3


D.

1 4

2.下图几何体的主视图是(

(第 2 题)

A.

B.

C.

D.

3.数据 10,10,10,11,12,12,15,15 的众数是( A.10 B.11 C.12 D.15 4.不等式组 A. 1 ≤ x < 2



x 2 < 0, x ≥1

的解集为(



A

F

B. x ≥ 1

C. x < 2

D.无解

B

O

E

5.如图,若正六边形 ABCDEF 绕着中心 O 旋转角 α 得到的图形与原 来的图形重合,则 α 最小值为( ) A. 180° B. 120° C. 90° D. 60° 6.一个几何体的展开图如图所示,则该几何体的顶点有( ) A.10 个 B.8 个 C.6 个 D.4 个 7.据 2007 年 5 月 8 日《台州晚报》报导,今年“五一”黄金周我市各旅 游景点共接待游客约 334 万人,旅游总收入约 9 亿元.已知我市 2005 年 “五一”黄金周旅游总收入约 6.25 亿元,那么这两年同期旅游总收入的 年平均增长率约为( ) A. 12% B. 16% C. 20% D. 25%

C D (第 5 题)

(第 6 题)

8.在同一坐标平面内,图象不可能由函数 y = 2 x 2 + 1 的图象通过平移变换、轴对称变换得 ... 到的函数是( ) B. y = 2 x 2 + 3 D. y =

A. y = 2( x + 1) 2 1 C. y = 2 x 2 1

9.为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文 → 密文(加密) ,接收方由密文 → 明文(解密) .已知加密规则为:明文 a,b,c 对应的密文 a + 1,b + 4, + 9 .例如明文 1, 2 3c 2,3 对应的密文 2,8,18.如果接收方收到密文 7,18,15,则解密得到的明文为( ) A.4,5,6 B.6,7,2 C.2,6,7 D.7,2,6

1 2 x 1 2

10.一次数学活动中,小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度 CD .已知她的眼睛与地 面的距离为 1.6 米,小迪在 B 处测量时,测角器中的 ∠AOP = 60° (量角器零度线 AC 和 铅垂线 OP 的夹角, 如图) 然后她向小山走 50 米到达点 F 处 ; (点 B,F,D 在同一直线上) , 这时测角器中的 ∠EO′P′ = 45° ,那么小山的高度 CD 约为( ) A.68 米 B.70 米 C.121 米 D.123 米 (注:数据 3 ≈ 1.732 , 2 ≈ 1.414 供计算时选用)

(第 10 题) A 小题, 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题( 11.计算: (2a ) 2 = 12.反比例函数 y = . D F

6 图象上一个点的坐标是 . x B 13.如图,点 D,E,F 分别是 △ ABC 三边上的中点.若 △ ABC 的 面积为 12,则 △DEF 的面积为 .

E (第 13 题)

C

14.两个装有乒乓球的盒子,其中一个装有 2 个白球 1 个黄球,另一个装有 1 个白球 2 个黄 球.现从这两个盒中随机各取出一个球,则取出的两个球一个是白球一个是黄球的概率为 . 15. (1)学习和研究《反比例函数的图象与性质》 《一次函数的图象与性质》时,用到的数 学思想方法有 、 (填 2 个即可) . (2)学数学不仅仅是听课和解题,三年初中数学学习期间,教材中给你留下深刻印象的选 学内容、数学活动、课题学习有 、 、 (填 3 个即可) . 16. (1)善于思考的小迪发现:半径为 a ,圆心在原点的圆(如图 1) ,如果固定直径 AB , 把圆内的所有与 y 轴平行的弦都压缩到原来的

b 倍,就得到一种新的图形 —— 椭圆(如图 a

2) ,她受祖冲之“割圆术”的启发,采用“化整为零,积零为整” “化曲为直,以直代曲” 的方法.正确地求出了椭圆的面积,她求得的结果为 . y a y b B a x

a

A

O

a

A

O

B a x

a
(第 16 题图 1)

b
(第 16 题图 2)

(2) (本小题为选做题,做对另加 3 分,但全卷满分不超过 150 分)小迪把图 2 的椭圆绕 x 轴旋转一周得到一个“鸡蛋型”的椭球.已知半径为 a 的球的体积为

4 3 πa ,则此椭球的体 3

积为 . 解答题( 小题, 三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22、23 题每题 12 ~ 、 分,第 24 题 14 分,共 80 分) 17. (1)解不等式: x >

1 x +1; 2

(2)计算: (π + 1) 12 + 3 .
0

18.如图是建有平面直角坐标系的正方形网格,请按下列要求操作: (1)画 △ ABC ,使 A,B,C 三点的坐标分别为 (3,,, 1),, 2) ; 1) (4 (2 (2)画 △ A′B′C ′ ,使 △ A′B′C ′ 与 △ ABC 关于 y 轴对称,连结 y

AA′,BB′ .并指出四边形 AA′B′B 是何种特殊的四边形?

x3 x 1 1 ,其中 x = 2 1 . 19.先化简,再求值: 2 x 2x + 1 x
20.把正方形 ABCD 绕着点 A ,按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG ,边 FG 与 BC 交于点 H (如图) .试问线段 HG 与线段 D HB 相等吗? 请先观察猜想,然后再证明你的猜想.

1 0 1

1

1

x

(第 18 题) C G H F

A

B

E (第 20 题) 21.如图, △ ABC 内接于 ⊙O ,点 D 在半径 OB 的延长线上,

∠BCD = ∠A = 30° . (1)试判断直线 CD 与 ⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 ⊙O 的半径长为 1,求由弧 BC 、线段 CD 和 BD 所围成 A 的阴影部分面积(结果保留 π 和根号) .

O B C (第 21 题) D

22.台州某校七(1)班同学分三组进行数学活动,对七年级 400 名同学最喜欢喝的饮料情 况、 八年级 300 名同学零花钱的最主要用途情况、 九年级 300 名同学完成家庭作业时间情况 进行了全面调查,并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据.

七年级同学最喜欢喝的饮料种类情况统计图

八年级同学零花钱最主要用途情况统计图
人数

25%
可口可乐 冰红茶

25%
雪碧 其他

10%

125 100 75 50 25 零花钱用途
买 学 零 习 资 料 食 具 买 文 买 它 其

0

九年级同学完成家庭作业时间情况统计表 时间 人数 1 小时左右 50 1.5 小时左右 80 (
22 题)

2 小时左右 120

2.5 小时左右 50

根据以上信息,请回答下列问题: (1)七年级 400 名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少? (2)补全八年级 300 名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图; (3) 九年级 300 名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时 (结果保留一位小数) ?

23.善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪 有 20 分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间 x (单位:分钟)与学习收益量 y 的 关系如图 1 所示, 用于回顾反思的时间 x(单位: 分钟) 与学习收益 y 的关系如图 2 所示 (其 ,且用于回顾反思的时间不超过用于解题的 中 OA 是抛物线的一部分, A 为抛物线的顶点) 时间. (1)求小迪解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式; (2)求小迪回顾反思的学习收益量 y 与用于回顾反思的时间 x 的函数关系式; (3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这 20 分钟的学习收益总量最大? y
16 2

y

A

O (

1 23 题图 1)

x

O (

4

10 x

23 题图 2)

24.如图,四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,将边 BC 折叠,使点 B 落在边 OA 的点 D 处.已 知折叠 CE = 5 5 ,且 tan ∠EDA = y C B

3 . 4

E (1)判断 △OCD 与 △ ADE 是否相似?请说明理由; (2)求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标; (3)是否存在过点 D 的直线 l ,使直线 l 、直线 CE 与 x 轴所 围成的三角形和直线 l 、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相 似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由. O D A x (第 24 题)

台州市 2007 年初中毕业生学业考试数学试卷
参考答案
小题, 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 选择题( 2 3 4 5 6 7 题号 1 答案 B C A A D C C 小题, 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题( 11. 4a
2

8 D

9 B

10 B

12.满足条件 xy = 6 的任一点 ( x,y ) 均可

13.3

14.

5 9

15. (1)填数形结合、分类讨论、类比、从特殊到一般、化归、函数方程思想等中的 2 个即 可; (2)填教材中的选学内容(如阅读与思考、观察与猜想、实验与探究、信息技术应用等) 、 数学活动、课题学习等的标题,只要意思对即可. 16. (1) πab (2)

4 πab 2 3

小题, 三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22、23 题每题 12 解答题( ~ 、 分,第 24 题 14 分,共 80 分) 17.解: (1) x
0

1 1 x > 1 , x > 1 ,所以 x > 2 . 2 2 A′ B′

y

(2) ( π + 1) 12 + 3 = 1 2 3 + 3 = 1 3 . 18. (1)画图正确(如图) . (2)画图正确(如图) . ′,BB′ ,四边形 AA′B′B 是等腰梯形. 连结 AA

1 1 0

A
1

C′

1

B C

x

(第 18 题)

19.解:

x 3 x 1 x( x + 1)( x 1) x 1 = x +1 . 1 = x2 2 x + 1 x ( x 1) 2 x

D G

C H F

当x=

2 1 时,原式 = 2 1 + 1 = 2 .

20.解: HG = HB . 证法 1:连结 AH , ∵四边形 ABCD , AEFG 都是正方形. ∴ ∠B = ∠G = 90° . 由题意知 AG = AB ,又 AH = AH .

A

B

∴ Rt△ AGH ≌ Rt△ ABH ( HL) , ∴ HG = HB . 证法 2:连结 GB . ∵四边形 ABCD,AEFG 都是正方形, ∴ ∠ABC = ∠AGF = 90° . 由题意知 AB = AG . ∴ ∠AGB = ∠ABG . ∴ ∠HGB = ∠HBG . ∴ HG = HB . 21.解: (1)直线 CD 与 ⊙O 相切.
理由如下: 在 ⊙O 中, ∠COB = 2∠CAB = 2 × 30° 60° = . 又∵ OB = OC ,∴△OBC 是正三角形,∴ ∠OCB = 60° . , + = , 又∵ ∠BCD = 30° ∴ ∠OCD = 60° 30° 90° ∴ OC ⊥ CD . 又∵ OC 是半径,∴直线 CD 与 ⊙O 相切. (2)由(1)得 △COD 是 Rt△ , ∠COB = 60° . A

E (第 20 题) D G H F A B C

E (第 20 题)

O B C (第 21 题) D

∵ OC = 1 ,∴ CD = 3 .

1 3 ∴ S△COD = OC CD = . 2 2
又∵ S扇形OCB =

1 π, 6 3 1 3 3π π= . 2 6 6
年级同学零花钱最 人数 125 100 75 50 25
买 学 零 习 资 料 食 具 买 文 买 它 其

∴ S阴影 = S△COD S扇形OCB =

用途



22.解: (1) 1 25% 25% 10% = 40% , 400 × 40% = 160 (人) . 解:七年级同学最喜欢喝“冰红茶”的人数是 160 人. (2)补全频数分布直方图如右图所示.

1× 50 + 1.5 × 80 + 2 × 120 + 2.5 × 50 ≈ 1.8 (小时) . (3) 50 + 80 + 120 + 50

0

零花钱用途

答:九年级 300 名同学完成家庭作业的平均时间约为 1.8 小时. 23.解: (1)由图 1,设 y = kx .当 x = 1 时, y = 2 , y 解得 k = 2 ,∴ y = 2 x(0 ≤ x ≤ 20) . (2)由图 2,当 0 ≤ x < 4 时,设 y = a ( x 4) + 16 .
2

2

当 x = 0 时, y = 0 ,

∴ 0 = 16a + 16 . ∴ a = 1 . ∴ y = ( x 4) 2 + 16 ,即 y = x 2 + 8 x .
当 4 ≤ x ≤ 10 时, y = 16 .

O

1 (第 23 题图 1) y

x

16

A

x 2 + 8 x (0 ≤ x < 4), 因此 y = (4 ≤ x ≤ 10). 16
(3)设小迪用于回顾反思的时间为 x (0 ≤ x ≤ 10) 分钟, 学习收益总量为 y ,则她用于解题的时间为 (20 x ) 分钟. 当 0 ≤ x < 4 时, y = x 2 + 8 x + 2(20 x ) = x 2 + 6 x + 40 = ( x 30) 2 + 49 . 当 x = 3 时, y最大 = 49 . 当 4 ≤ x ≤10 时, y = 16 + 2(20 x ) = 56 2 x . O 4 10 x (第 23 题图 2)

y 随 x 的增大而减小,因此当 x = 4 时, y最大 = 48 .
综上,当 x = 3 时, y最大 = 49 ,此时 20 x = 17 . 答:小迪用于回顾反思的时间为 3 分钟,用于解题的时间为 17 分钟时,学习收益总量最大. 24.解: (1) △OCD 与 △ ADE 相似. y 理由如下: 由折叠知, ∠CDE = ∠B = 90° , B C

∴ ∠1 + ∠2 = 90° ∵ ∠1 + ∠3 = 90 , 2 = ∠3. , ∴∠
又∵ ∠COD = ∠DAE = 90° , ∴△OCD ∽△ ADE . (2)∵ tan ∠EDA =

3 E 1 O D 2 A x (第 24 题图 1)

则 AD = 4t . 由勾股定理得 DE = 5t .

AE 3 = ,∴设 AE = 3t , AD 4

∴ OC = AB = AE + EB = AE + DE = 3t + 5t = 8t . OC CD 由(1) △OCD ∽△ ADE ,得 = , y AD DE l 8t CD N ∴ = , 4t 5t C ∴ CD = 10t .
在 △DCE 中,∵ CD + DE = CE ,
2 2 2

M G

B

E P O D A x

∴ (10t ) 2 + (5t ) 2 = (5 5) 2 ,解得 t = 1 . ∴ OC = 8,AE = 3 ,点 C 的坐标为 (0, , 8)
点 E 的坐标为 (10, , 3) 设直线 CE 的解析式为 y = kx + b ,

1 10k + b = 3, k = , ∴ 解得 2 b = 8, b = 8, 1 ∴ y = x + 8 ,则点 P 的坐标为 (16, . 0) 2
(3)满足条件的直线 l 有 2 条: y = 2 x + 12 ,

F (第 24 题图 2)

y = 2 x 12 .
如图 2:准确画出两条直线.



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