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2015年湖北省文科高考真题数学卷word版(附答案)



2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(文史类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.i 为虚数单位, i A.i B.-i
607

?(

) D.-1

C.1

2.我

国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内 夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 ) )

3.命题“ ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1 ”的否定是( A. ?x ? (0, ??),ln x ? x ? 1 C. ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1

B. ?x ? (0, ??),ln x ? x ? 1 D. ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1 )

4.已知变量 x 和 y 满足关系 y ? ?0.1x ? 1 ,变量 y 与 z 正相关,下列结论中正确的是( A.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 C.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 )

5. l1 , l2 表示空间中的两条直线,若 p: l1 , l2 是异面直线,q: l1 , l2 不相交,则( A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 6.函数 f ( x) ? A. (2,3)

4? | x | ? lg
B. (2, 4]

x2 ? 5x ? 6 的定义域为( x ?3
C. (2,3)



(3, 4]

D. (?1,3)

(3,6]

? 1, x ? 0 ? 7.设 x ? R ,定义符号函数 sgn x ? ? 0, x ? 0 ,则( ? ?1, x ? 0 ?
A. {x |? x | sgn x |} B. {x |? sgn | x |}



C. {x |? x | sgn x D. {x |? x sgn x

8.在区间 [0,1] 上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“ x ? y ? 率,则( )

1 1 ”的概率, P ”的概 2 为事件“ xy ? 2 2 1 ? p2 2

A. p1 ? p2 ?

1 2

B. p2 ?

1 ? p1 2

C.

1 ? p2 ? p1 2

D. p1 ?

9.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位长度,得 到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则( A.对任意的 a,b, e1 ? e2 C.对任意的 a,b, e1 ? e2 )

B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

10. 已 知 集 合 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1, x, y ? Z} , B ? {( x, y) || x |? 2,| y |? 2, x, y ? Z} , 定 义 集 合

A ? B ? {( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) | ( x1, y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B} ,则 A ? B 中元素的个数为( )
A.77 B.49 C.45 D.30 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答 错位置,书写不清、模棱两可均不得分。 11.已知向量 OA ? OB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? .

? x? y ?4 ? 12.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 3x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 0 ?
13.函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ?

.

?
2

) ? x 2 的零点个数为

.

14.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万 元)都在区间 [0.3, 0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a= . .

(2)在这些购物者中,消费金额在区间 [0.5, 0.9] 内的购物者的人数为

15.如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的 方向上,行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75 的方向上, 仰角为 30 ,则此山的高度 CD= m.
0 0

0

16.如图, 已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) , 与 y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在 A 的上方) , 且 | AB |? 2 . (1)圆 C 的标准方程为 . .

(2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为

17.a 为实数,函数 f ( x) ?| x 2 ? ax | 在区间 [0,1] 上的最大值记为 g (a ) . 当 a ? 最小.

时, g (a ) 的值

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18、 (本小题满分 12 分) 某同学将“五点法”画函数 f(x)=Asin(wx+φ ) (w>0,︱φ ︱< 入部分数据,如下表:

? )在某一个时期内的图像时,列表并填 2

0

0 (I) (II)

5

0

请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f(x)的解析式; ........... 将 y= f(x)图像上所有点向左平行移动

? 个单位长度,得到 y=g(x)图像,求 y=g(x) 6

的图像离原点 O 最近的对称中心。 19、 (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q,已知 b1 = a1 - b2 =2,q=d,

S100 =100.
(I) (II) 求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式 当 d>1 时,记 cn =

an ,求数列的前 n 项和 Tn。 bn

20、 (本小题满分 13 分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑。 在如图所示的阳马 P-ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、BD、BE。

(I) (II)

证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑。若是,写出其每个面的直角(只需 写出结论) ;若不是,请说明理由; 记阳马 P-ABCD 的体积为 V1 ,四面体 EBCD 的体积为 V2 ,求

V1 的值 V2

21(本小题满分 14 分)

设函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+ g(x)= e x ,其中 e 为自 然对数的底数。 (I) 求 f(x),g(x)的解析式,并证明:当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1;

(II)

设 a ? 0, b ? 1。证明:当 x>0 时, ag (x) ? (1 ? a) ?

f (x) ? bg (x) ? (1 ? b) x

22、 (本小题满分 14 分)

一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带 动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的 平面直角坐标系。 (I) (II) 求椭圆 C 的方程; 设动直线 l 与两定直线 l1 :x-2y=0 和 l2 :x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与椭 圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该 最小值;若不存在,说明理由。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(文史类)试题参考答案
一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C 1.A

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 11. 9 12. 10 13. 2 14. (Ⅰ)3; (Ⅱ)6000. 15. 100 6 17. 2 2 ? 2

2 2 16. (Ⅰ) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ; (Ⅱ) ?1 ? 2 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分) 18.(12 分)

π (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? .数据补全如下表: 6
?x ? ?
0

π 2
π 3
5

π
7π 12
0

3π 2
5π 6
?5



x
A sin(? x ? ? )

π 12
0

13 π 12
0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; 6 π π π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) .因为 y ? sin x 6 6 6 6
的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2 x ?

π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? , k ? Z .即 y ? g ( x) 图象的对称中心为 6 2 12

kπ π π , k ? Z ,其中离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . ( ? , 0 ) 2 12 12
19.(12 分)
?10a ? 45d ? 100, ?2a ? 9d ? 20, (Ⅰ)由题意有, ? 1 即? 1 , ?a1d ? 2, ?a1d ? 2,

1 ? an ? (2n ? 79), ? a1 ? 9, ? a ? 2 n ? 1, ? ? a1 ? 1, ? ? n ? 9 解得 ? 或? 或? . 2 故? n ?1 d ? 2, b ? 2 . d ? . ? ? ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . ? n ? 9 ? ? n 9 ?

(Ⅱ)由 d ? 1 ,知 an ? 2n ? 1 , bn ? 2n?1 ,故 cn ?

2n ? 1 ,于是 2n?1


Tn ? 1 ?

3 5 7 9 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ?1 , 2 2 2 2 2

1 1 3 5 7 9 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? L ? n . 2 2 2 2 2 2 2
① -②可 得



1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 Tn ? 2 ? ? 2 ? L ? n ? 2 ? n ? 3 ? , 2 2 2 2 2 2n

故 Tn ? 6 ?

2n ? 3 . 2n ?1

20.(13 分) (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形,有 BC ? CD ,而 PD
CD ? D ,

所以 BC ? 平面 PCD . DE ? 平面 PCD ,所以 BC ? DE . 又因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC
BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC .

由 BC ? 平面 PCD , DE ? 平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,
DEC , ? DEB . 即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是 ?BCD , ?BCE , ?

1 1 (Ⅱ)由已知, PD 是阳马 P ? ABCD 的高,所以 V1 ? S ABCD ? PD ? BC ? CD ? PD ; 3 3
由(Ⅰ)知, DE 是鳖臑 D ? BCE 的高, BC ? CE ,

1 1 所以 V2 ? S?BCE ? DE ? BC ? CE ? DE . 3 6
在 Rt △ PDC 中,因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? CE ?
2 CD , 2

1 BC ? CD ? PD V1 3 2CD ? PD 于是 ? ? ? 4. V2 1 BC ? CE ? DE CE ? DE 6

21.(14 分) (Ⅰ)由 f ( x) , g ( x) 的奇偶性及
f ( x) ? g ( x) ? e x ,①

得:

? f ( x) ? g ( x ) ? e ? x .



1 1 联立①②解得 f ( x) ? (e x ? e ? x ) , g ( x) ? (ex ? e? x ) . 2 2
当 x ? 0 时, e x ? 1 , 0 ? e ? x ? 1 ,故 f ( x) ? 0. ③ ④ ⑤

1 又由基本不等式,有 g ( x) ? (e x ? e? x ) ? ex e? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1. 2

1 1 1 ex 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? g ( x) , 2 e 2 e 2

1 1 1 ex 1 g ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? f ( x) , 2 e 2 e 2
当 x ? 0 时,

⑥ ⑦ ⑧

f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a) x , x f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) 等价于 f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x. x

设函数 h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x , 由⑤⑥,有 h?( x) ? g ( x) ? cg ( x) ? cxf ( x) ? (1 ? c) ? (1 ? c)[ g ( x) ? 1] ? cxf ( x). 当 x ? 0 时, (1) 若 c ? 0 ,由③④,得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为增函数,从而
h( x) ? h(0) ? 0 ,

(2) 即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑦成立. (2 3)若 ) c ? 1 ,由③④,得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为减函数,从而
h( x) ? h(0) ? 0 ,

即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑧成立. 综合⑦⑧,得 ag ( x) ? (1 ? a) ?

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

22.(16 分) (Ⅰ)因为 | OM | ? | MN | ? | NO |? 3 ? 1 ? 4 ,当 M , N 在 x 轴上时,等号成立; 同理 | OM | ? | MN | ? | NO |? 3 ? 1 ? 2 ,当 D, O 重合,即 MN ? x 轴时,等号成立. 所以椭圆 C 的中心为原点 O ,长半轴长为 4 ,短半轴长为 2 ,其方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

1 (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ? ? 4 ? 4 ? 8 . 2 1 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 2

? y ? kx ? m, 由? 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 16 ? 0 .

因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 16) ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 .
? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ). 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ? x ? 2 y ? 0,



由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?

|m| 1? k2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得 ②

S?OPQ ?

1 1 1 2m 2m 2m 2 . | PQ | ?d ? | m || xP ? xQ |? ? | m | ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 4k 2
4k 2 ? 1 2m 2 ? ?8 2 . 1 ? 4k 2 4k ? 1

将①代入②得, S ?OPQ

当 k2 ?

4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( 2 ) ? 8(1 ? 2 ) ? 8 ; 4 4k ? 1 4k ? 1 4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( ) ? 8(?1 ? ). 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2
1 2 2 ,则 0 ? 1 ? 4k 2 ? 1 , ? 2 ,所以 S?OPQ ? 8(?1 ? )?8, 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2

当 0 ? k2 ? 因 0 ? k2 ?

当且仅当 k ? 0 时取等号. 所以当 k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8. 综合(1) (2)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, ?OPQ 的面积取得最小 值 8.



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