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2016届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试理数试题 (解析版)


2016 届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试理数试题 (解析版)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
1.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? i ,复数 z 所对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 【答案】A B.第二象限 D.第四象限
[]



考点:复数的代数表示及其几何意义. 2.已知 U ? x y ? log 2 x , M ? y y ? 2 , x ? 1 ,则 CU M ? (
x

?

?

?

?

) D. ? 0,1?

A. ?1, 2 ? 【答案】A 【解析】

B. ? 0, ?? ?

C. ? 2, ?? ?

x 试题分析:因为 U ? x y ? log2 x ? x x ? 1 , M ? y y ? 2 , x ? 1 ? y y ? 2 ,所以 CU M ? ? 1,2? ,故

?

?

?

?

?

? ?

?

选项为 A. 考点:集合的运算. 3. 执行如图所示程序框图,则输出的 n 为( )

1

A. 4 【答案】D

B. 6

C. 7

D. 8

考点:程序框图. 4.“ ?x ? 0 ,使 a ? x ? b ” 是“ a ? b ” 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】C 【解析】 试题分析:“ ?x ? 0 ,使 a ? x ? b ” ? “ a ? b ”,∴“ ?x ? 0 ,使 a ? x ? b ”是“ a ? b ”成立的充 要条件.故选:C. 考点:充要条件的判定. )

B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条 件

2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5.已知实数 x ?? ?1,1? , y ??0, 2? ,则点 P ? x, y ? 落在区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,内的概率为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.



3 4

B.

1 4

C.

1 8

D.

3 8

【答案】D 【解析】 试题分析:不等式组表示的区域如图所示,阴影部分的面积为 故选 D.

3 1 ? 1? 3 ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1? ? ,则所求的概率为 , 8 2 ? 2? 2

考点: (1)几何概型; (2)不等式组所表示的区域. 6.甲、乙、丙、丁和戊 5 名 同学进行数学应用知识比赛,决出第 1 名至第 5 名(没有重名次). 已知甲、 乙均未得到第 1 名,且乙不是最后一名,则 5 人的名次排列情况可能有( A. 27 种 【答案】C B. 48 种 C. 54 种 ) D. 72 种

考点:排列组合. 【思路点晴】本题主要考查排列、组合与简单的 计数问题,解决此类问题的关键是弄清完成一件事,是分 类完成还是分步完成,是有顺序还是没有顺序,像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑.甲、乙不是第 一名且乙不是最后一名.乙的限制最多,故先排乙,有 3 种情况;再排甲,也有 3 种情况;余下的问题是三 个元素在三个位置全排列,根据分步计数原理得到结果. 7.若函数 f ? x ? 同时满足以下三个性质;① f ? x ? 的最小正周期为 ? ;②对任意的 x ? R ,都有

3

?? ? ? 3? ? ? f ? x ? ? ? f ? ? x ? ;③ f ? x ? 在 ? , ? 上是减函数, 则 f ? x ? 的解析式可能是( 4? ? ? 8 2?
A. f ? x ? ? cos ? x ?



? ?

??
? 8?

B. f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x D. f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x

C. f ? x ? ? sin x cos x 【答案】D

考点:正弦与余弦函数的性质. 8.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 AA 1 , P 、 Q 分别是棱 CD 、 CC1 上的动点,如图, 当

BQ ? QD1 的长度取得最小值时,二面角 B1 ? PQ ? D1 的余弦值的取值范围为(
A. ? 0, ? 5



? 1? ? ?

B. ?0,

? ?

10 ? ? 10 ?

C. ? ,

?1

10 ? ? ? 5 10 ?

D. ?

? 10 ? ,1? 10 ? ?

【答案】B
4

1? ? 0 ? t ? 2 ,则 B1Q ? ? 0, 2 , ? , B1P ? ? 2, t ? 2,1 ,则平面 PDQ 1,0,0? ,设平面 1 的法向量为 m ? ? 2? ?
当 t ? 2 时, 二面角 B1 ? PQ ? D1 的为直二面角, 此时二面角 B1 ? PQ ? D1 B1PQ 的法向量为 n ? ?x, y, z ? ,

?

?

? ???? ?z ? 2 2x 1 ? ? n ? B1Q ? 0 ? ?? 2 x ? ? 0 ? 的余弦值为 0 ,当 0 ? t ? 2 时,由 ? ? ???? ,则 ? ,即 ? ,令 2 2 y ? x ? ?? 2 x ? t ? 2 y ? z ? 0 ? ?n ? B1 P ? 0 ? 2 ?t ?

?

?

x ? 2 ,则 y ?
m?n mn

2 2 ? ? , z ? 4 ,即 n ? ? 2 , ,4 ? ,设面角 B1 ? PQ ? D1 的余弦值 cos ? ,则 2 ?t 2 ?t ? ?

cos? ?

? 2 ? 16 ?

2

?

4 2 ?t

?

2 18 ?

?

2

?

4 2 ?t

, 因为 0 ? t ?

2, 所以 cos? ?
18 ?

2

?

2

?

4 2 ?t



?

2

减函数,则当 t ? 0 时,函数取得 最大值 cos? ?

2 10 ,故二面角 B1 ? PQ ? D1 的余弦值的取值 ? 18 ? 2 10

范围为 ?0,

? ?

10 ? ? ,故选 B. 10 ?

5

考点:二面角的平面角及求法. 【思路点晴】本题主要考查二面角的求解,综合性较强,难度较大.根据 BQ ? QD1 的长度取得最小值时, 利用求出 BQ ? QD1 的几何意义是 MN ? MK 的距离,其中 M ?x,0?, N 0,? 2 , K 1, 2 , 得到 Q 是 CC1 的 中点,建立坐标系求出平面的法向量,向量法求出二面角的取值范围是解决本题的关键,再结合函数的单调 性进行求解即可.
2 ON ? 0 ,过点 A ? 4,0 ? 作 MN 的 9.设 M 、 N 是拋物线 y ? 4 x 上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 OM ?

?

? ?

?

???? ? ????

垂线与拋物线交于 P 、 Q 两点,则四边形 MPNQ 的面积的最小值为 ( A. 80 【答案】A B. 100 C. 120

) D. 160

6

则 S ? 8 4u 2 ? 25u ? 34 是关于 u 的增函数,则当 u ? 2 时,有最小值 S ? 8 16 ? 50 ? 34 ? 80 ,故选项为 A. 考点:抛物线的简单性质.

ex 10.已知函数 f ? x ? ? ,关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? 2af ? x ? ? a ?1 ? 0 ? m ? R ? 有四个相异的实数根,则 a 的 x
取值范围是( ) B. ?1, ?? ?

? e2 ? 1 ? A. ? ?1, ? 2e ? 1 ? ?
【答案】D

? e2 ? 1 ? C. ? , 2? ? 2e ? 1 ?

? e2 ? 1 ? D. ? , ?? ? ? 2e ? 1 ?

7

考点:根的存在性及根的个数判断. 【思路点晴】本题主要考查函数与方程的应用,利用换元法转化为一元二次函数,利用数形结合以及根与 系数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.将函数 f ?x ? 表示为分段函数形式,判断 函数的单调性和极值,利用换元法将方程转化为一元二次方程,利用一元二次函数根与系数之间的关系进 行求解即可.

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,满分 25 分. ) ? ? 11.已知向量 a ? ? t ,1? 与 b ? ? 4, t ? 共线且方向相同,则 t ?
【答案】 2 .



考点:平面向量的坐标表示.

1 ? ? 12.若 ? 3 x ? ? 展开式各项系数之和为 64 ,则展开式的常数项为 x? ?
【答案】 ? 540 【解析】

n



1 ? ? n 试题分析:若 ? 3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 2 ? 64 ,解得 n ? 6 ,则展开式的常数项为 x? ?

n

8

? 1 ? C 3 x ??? ? ? ?540 ,故答案为 ? 540 . x? ?
3 6 3

? ?

3

考点:二次项系数的性质. 13.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均销 售量的关系如下表所示. 销售单价/元 日均销售量/桶

6

7

8

9

10

11

12

480

440

400

360

320

280

240

请根据以上数据分析,这个经营部定价在 【答案】 11.5 .

元/桶才能获得最大利润.

考点:二次函数的应用. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A? 0,1? , B ? 0, 4? 若直线 2 x ? y ? m ? 0 上存在点 P ,使得 PA ? 则实数 m 的取值范围是 【答案】 ? 2 5 ? m ? 2 5 【解析】 试题分析:设 P? .

1 PB , 2

1 ? y ? m? ? ? y ? 1?2 , 2 2 2 ? y?m ? , y ? ,∵ PA ? PB ,∴ 4 PA ? PB ,∴ PA ? 2 4 ? 2 ?
2

PB ?

2

? y ? m?2 ? ? y ? 4?2 ,化简可得 ? y ? m?2 ? 16 ? 4 y 2 ,故 m ? y ? 2
4

4 ? y 2 ,∴ 4 ? y 2 ? 0 ,解得

? ? ?? y ? ?? 2,2?,令 y ? 2 sin ? ,? ? ?? , ? ,则 m ? 2 sin? ? 4 cos? ? 2 5 sin?? ? ? ? ,其中 ?tan? ? 2? , ? 2 2?
故实数 m 的取值范围是 ? 2 5,2 5 . 考点:两点间距离公式的应用.

?

?

9

【方法点晴】本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.由于点 P 在直线上,故可设 P?
2 2

1 ? y?m ? , y ? ,因为点 A 的横坐标为 0 ,故设 y ,由 PA ? PB , 2 ? 2 ?
2

2 可得 4 PA ? PB ,利用两点之间的距离公式化为: ? y ? m? ? 16 ? 4 y 2 ,可得: m ? y ? 2 4 ? y ,

y ? ?? 2,2?,.通过三角函数代换即可得出.
15.已知函数 f ? x ? ? ?

? ?a x ? a , x ? 0 ,其中常数 a ? 0 ,给出下列结论: ? ? x ? a ? a, x ? 0

① f ? x ? 是 R 上的奇函数; ②当 a ? 4 时, f x ? a2 ? f ? x ? 对任意 x ? R 恒成立; ③ f ? x ? 的图象关于 x ? a 和 x ? ?a 对称; ④若对 ?x1 ? ? ??, ?2? , ?x2 ? ? ??, ?1? ,使得 f ? x1 ? f ? x2 ? ? 1 ,则 a ? ? ,1? . 其中正确的结论是 【答案】①② .(请填上你认为所有正确结论的序号)

?

?

?1 ? ?2 ?

10

考点:(1)分段函数的图象; (2)分段函数的性质. 【方法点晴】本题考查分段函数的图象,单调性,奇偶性等知识,综合性较强,考查利用所学知识解决问 题的能力,属于难题.作出 f ?x ? 的图象,由图象对各选项进行判断即可.当 x ? a 时, f ?x ? ? 2a ? x ,当

? a ? x ? a 时, f ?x ? ? x ,当 x ? ? a 时, f ?x? ? ?2a ? x ,由图易知①正确,③错误; y ? f ?x ? a 2 ? 的
图象是由 y ? f ?x ? 向右平移 a 个单位, 故可得②正确; 对于④主要需注意求 f ?x1 ?, f ?x2 ? 范围, 考虑在 0 附
2

近的值以及临界值的取舍 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 12 分)体育课上,李老师对初三(1)班 50 名学生进行跳绳测试,现测得他们的成绩(单 位:个)全部介于 20 与 70 之间,将这些成绩数据进行分组(第一组:? 20,30? ,第二组: ? 30, 40? ,??, 第五组: ? 60, 70? ) ,并绘制成如右图所示的频率分布直方图.

(1)求成绩在第四组的人数和这 50 名同学跳绳成绩的中位数; (2)从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出 3 名同学进行搭档训练,设取自第一组的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望. 【答案】 (1) 47.5; (2)分布列见解析, E? ? 1 .
11

(2)据题意,第一组有 0.004 ? 10 ? 50 ? 2 人,第五组有 0.008 ? 10 ? 50 ? 4 人,

1, 2, 于是 ? ? 0,
3 1 2 2 1 C4 1 C2 C4 3 C2 C4 1 ? P?? ? 0? ? 3 ? , P?? ? 1? ? ? , P?? ? 2? ? ? , 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

? ? 的分布列为

?

0
1 5

1
3 5

2
1 5
???????????????????10 分

P

1 3 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 .????????????????????????????12 分 5 5 5
考点: (1)频率分布直方图; (2)离散型随机变量及其分布列. 17. (本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c 且满足 b ? a cos C ? c sin A . (1)求 A 的大小; (2)若 cos B ? 【答案】 (1) A ? 【解析】 试题分析: (1)首先利用正弦定理把化为角,即原式中的条件转化为 sin B ? sin A cos C ? sin C sin A ,再 根据 sin B ? sin ? A ? C ? ,可得 cos A ? sin A ,即求出 A 的值; (2)首先利用正弦定理解出 ?ABC ,可得
12

??? ? 1 ??? ? 2 , BC ? 5, BD ? BA ,求 CD 的长. 5 7

?

4

; (2) CD ? 2 5 .

AC ? 4 2 ,再利用余弦定理求出 AB ? 7 ,可得 BD ? 1,在 ?BCD 利用余弦定理求出 CD 即可.

考点: (1)正弦定理; (2)两角和与差公式; (3)余弦定理. 18.(本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项 S n 满足 Sn ? ? (1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)设 Tn 为数列 ?

? an ? 1 ? ? ? ?n ? N ? . ? 2 ?

2

? 1 ? ? ? 的前 n 项和,若 Tn ? ? an ?1 对 ?n ? N 恒成立,求实数 ? 的最小值. a a ? n n ?1 ?

13

【答案】 (1) an ? 2n ? 1; (2)

1 . 9

(2)

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an ? an?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

Tn ? ? ?

1 1 1 ? ?? ? a1a2 a2 a3 an an ?1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? .?????????????8 分 ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1? 1 ? n ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
n ? ? ?2n ? 1? 对 ?n ? N ? 恒成立, 2n ? 1

由题意知 即? ?

n ? 对 ?n ? N 恒成立, 2 ?2n ? 1?

14

考点: (1)数列的通项公式; (2)数列求和. 【方法点晴】本题考察数列的通项公式和裂项相消法求数列的前 n 项和,同时考查不等式恒成立的问题, 主要利用参数分离和数列的单调性求最值,属于中档题.在(1)中利用 an ? Sn ? Sn?1 时需注意分为 n ? 1 和

n ? 2 两种情况, 在 (2) 问中根据通项公式的特征, 利用裂项相消求其前 n 项和 Tn , 代入
运用参数分离得 ? ?

n ? ? ?2n ? 1? , 2n ? 1

n ,结合数列单调性可得解. ?2n ? 1?2

19.(本小题满分 12 分)如图,图②为图①空间图形的主视图和侧视图,其中侧视图为正方形,在图①中, 设平面 BEF 与平面 ABCD 相关交于直线 l .

(1)求证: l ? 面 CDE ; (2)在图①中,线段 DE 上是石存在点 M ,使得直线 MC 与平面 BEF 所成角的正弦值等于 在,求出点 M 的位置;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见解析; (2)存在, M 的位置在线段 DE 的 【解析】 试题分析: (1)由图易得 AD // 面 BEF ,利用线面平行性质定理,得 AD //l ,利用线面垂直判定定理易得 (2)建立空间直角坐标系,求出面 BEF 的空间法向量,由此利用向量法可求 AD ? 面 CDE ,故可得证; 得点 M 的位置.
15

5 ?若存 5

2 处. 3

设面 BEF 的一个法向量 n ? ?x, y, z ? ,则由 EF ? n ? 0 , BF ? n ? 0 ,可得

?x ? 0 ,令 y ? 1 ,则 z ? 1,?n ? ?0,1,1? ???????????????????????9 分 ? ? y ? z ? 0 ?
设 M ?0,0, m? ,则 MC ? ?0,2,?m? ,

? cos ? MC ? n ??
解得 m ?

2?m 2? 4?m
2

?

5 , 5

2 或 m ? 6 (舍) , 3 2 处(靠近 E 点). ????????????12 分 3

即存在满足点 M ,此时 M 的位置在线段 DE 的

考点: ( 1)线面垂直的判定; (2)直线与平面所成的角.

16

20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 E : 被椭圆 E 截得的线段长为 2 . (1)求椭圆 E 的方程;

2 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? c ? 的离心率为 ,过焦点且垂直于 x 轴的直线 2 2 a b

(2) 直线 y ? kx ? 1 与椭圆 E 交于 A, B 两点, 以 AB 为直径的圆与 y 轴正半轴交于点 C . 是否存在实数 k , 使得 ?ABC 的内切圆的圆心在 y 轴上?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

【答案】 (1)

x2 y2 1 ? ?1; (2) k ? ? 或 k ? 0 . 4 2 2

? (2)依题意可知 BC ? AC ,且 ?BCO ? ?ACO ? 45 ,

于是直线 BC 的斜率为 k BC ? 1 ,直线 AC 的斜率为 k AC ? ?1,?????????????6 分 则 k AC ?

y1 ? y0 y ? y0 ? ?1 , k AC ? 1 ? ?1 , x1 x1

? x1 ? y0 ? y1 ? ?k ?x1 ?1? ? y0 , x2 ? y2 ? y0 ? k ?x2 ? 1? ? y0 ,
相加得 x1 ? x2 ? k ?x2 ? x1 ?.??????????????????????????????8 分
17

考点:椭圆的简单性质. 【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的直线的斜率的求法,是中档题,解题时要认真审
[来源:

题,在第一问中利用离心率以及过焦点且与 x 轴垂直的弦长求出椭圆的方程,也是在高考中常见的表达形 式;在第二问中利用设而不求的思想设出 A, B, C 三点的坐标,先利用内切圆的圆心在 y 轴上,即等价于直 角 ABC 的角平分线 y 轴上,得 ?BCO ? ?ACO ? 45 ,转化为斜率,联立直线的方程与椭圆的方程结合
?

维达定理,代入求解. 21.(本小题满分 14 分)设 g ? x ? ? ln x, f ? x ? ? g ? ?? x ? ?1 ? ? ? a ? ? ? ? g ? x ? ,其中 a , ? 是正常数,且

0 ? ? ? 1.
(1)求函数 f ? x ? 的最值; (2)对任意的正数 m ,是否存在正数 x0 ,使不等式

g ? x0 ? 1? ? 1 ? m 成立?并说明理由; x0

? ? (3)设 ?1 ? 0, ?2 ? 0, 且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a2 都有 a1 a2 ? ?1a1 ? ?2a2 .

【答案】 (1) f ?x ? 有最小值 f ?a ? ? ?1 ? ? ?ln a ,没有最大值; (2)存在,理由见解析; (3)证明见解析.

18

(2)对 ?m ? 0, ?x0 ? 0 ,使得

g ?x0 ? 1? ? 1 ? m 成立. 其理由如下:?????????????5 分 x
x x ?1

令 h?x ? ? ln?x ? 1? ? x ,则 h?? x ? ? ?

? ? ? 上单调递减, 显然当 x ? 0 时, h??x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?0,

? h?x ? ? h?0? ? 0 ,即 ln?x ? 1? ? x ? 0 ,
于是可以得当 x ? 0 时, ln?x ? 1? ? x ,则

ln? x ? 1? ?1 ? 0 , x



g ?x ? 1? ? 1 ? m 等价于 ln?x ? 1? ? ?m ? 1?x ? 0 .????????????????7 分 x

设 ? ?x ? ? ln?x ? 1? ? ?m ? 1?x, m ? 0, x ? 0 则 ? ?? x ? ?

?m ? 1?x ? m 1 ? m ?1 ? x ?1 x ?1

? ? ? 上单调递增, 当 m ? 1 时, ? ??x ? ? 0 , ? ?x ? 在 ?0,
? 对 ?x0 ? 0 均有 ? ?x ? ? ? ?0? ? 0 恒成立,
19

考点: (1)利用导数研究函数的最值; (2)函数与导数的综合应用.

20

21


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