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2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习 课件 第八章 立体几何 第2讲



第2讲

空间点、线、面的位置关系

基础诊断

考点突破

课堂总结

最新考纲

1.理解空间直线、平面位置关系的定义,

并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理; 2.能

运用公理、定理和已获得的结论证明一些空

间图形的
位置关系的简单命题.

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考点突破

课堂总结

知识梳理
1.平面的公理与定理 (1)公理1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直 线在此平面内. (2)公理2:过 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平面.

三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面; 推论2:经过两条 相交直线有且只有一个平面; 推论3:经过两条 平行 直线有且只有一个平面.
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2.空间中两直线的位置关系
(1)位置关系的分类
? ? 平行 ? ?共面直线? ? ? 相交 ? ? ? 异面直线:不同在 任何 一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作 直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 叫 做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ②范围:
? π ? ?0, 2 ? ? ? ? ?

.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 相交 、平行、 在平面内 三 种情况. (2)平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况.

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诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)圆心和圆上两点可以确定一个平面.( × ) (2)如果两个不重合的平面 α,β 有一条公共直线 a,就说平面 α,β 相交,并记作 α∩β=a.( √ ) (3)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于过 A 点 的任意一条直线.( × ) (4)已知 a,b,c,d 是四条直线,若 a∥b,b∥c,c∥d,则 a∥d.( √ ) (5)两条直线 a,b 没有公共点,则 a 与 b 是异面直线.( × )
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2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 解析 B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

)

由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交

直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a, b为异面直线相矛盾. 答案 C

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课堂总结

3.下列命题正确的个数为(

)

①经过三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果

两个平面有三个公共点,则这两个平面重合
A.0 解析 B.1 C.2 D.3

经过不共线的三点可以确定一个平面, ∴ ①不正

确;两条平行线可以确定一个平面, ∴ ②正确;两两相 交的三条直线可以确定一个或三个平面, ∴ ③正确;命 题④中没有说明三个交点是否共线,∴④不正确. 答案 C
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4.(2015· 广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在 平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是

(

)

A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

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解析

如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,

故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l

相交,故C不正确,选D.

答案 D

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课堂总结

5.(人教A必修2P52B1(2)改编)如图,在

正方体 ABCD - A′B′C′D′ 中, AB 的中
点为 M , DD ′ 的中点为 N ,则异面直 线B′M与CN所成的角是________.
解析 取 AA′的中点 Q,连接 QN,BQ,且 BQ 与 B′M 相交于 点 H, 则 QN 綉 AD 綉 BC, 从而有四边形 NQBC 为平行四边形,

所以 NC∥QB, 则有∠B′HB 为异面直线 B′M 与 CN 所成的角.

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又∵B′B=BA,∠B′BM=∠BAQ=90°, BM=AQ,∴△B′BM≌△BAQ, ∴∠MB′B=∠QBM. 而∠B′MB+∠MB′B=90°, 从而∠B′MB+∠QBM=90°, ∴∠MHB=90°.

答案 90°

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考点一 平面基本性质的应用 【例 1 】 如图所示,在正方体 ABCD -
A1B1C1D1 中, E , F 分别是 AB 和 AA1 的 中点.求证: (1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点. 证明 (1)连接EF,CD1,A1B.∵E,F

分别是 AB , AA1 的中点,∴ EF ∥ BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,

∴E,C,D1,F四点共面.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,
∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE?平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA.

∴CE,D1F,DA三线共点.

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规律方法

公理 1 是判断一条直线是否在某个平

面的依据;公理 2 及其推论是判断或证明点、线 共面的依据;公理 3 是证明三线共点或三点共线

的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形
语言来表示公理.

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考点突破

课堂总结

【训练1】 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分
别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体的过P,Q,R 的截面图形是( A.三角形 ) D.六边形 B.四边形 C.五边形

(2)如图所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是

所在棱的中点,则四个点共面的图形的序号是
________.

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课堂总结

解析

(1) 如 图 所 示 , 作 RG∥PQ 交

C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线 交于M,且QP反向延长线与CD延长线 交于N,连接MR交BB1于E,连接PE, 则PE,RE为截面与正方体的交线, 同理连接 NG 交 DD1 于 F ,连接 QF , FG ,则 QF , FG 为截面

与正方体的交线,∴截面为六边形PQFGRE.

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课堂总结

(2)可证①中的四边形PQRS为 梯形;②中,如图所示,取 A1A和BC的中点分别为M,N, 可证明 PMQNRS 为平面图形,

且PMQNRS为正六边形;
③中,可证四边形PQRS为平行四边形;④中,可证 Q 点所在棱与面 PRS 平行,因此, P , Q , R , S 四点 不共面.

答案 (1)D (2)①②③

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考点二 空间两条直线的位置关系 【例2】 (1)在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面 为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直 线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确

答案的序号).

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考点突破

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(2)(2016· 余姚模拟 ) 如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, M , N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )

A.MN与CC1垂直
C.MN与BD平行

B.MN与AC垂直
D.MN与A1B1平行

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解析

(1)图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N

三点共面,但M?面GHN,N?GH,因此直线GH与MN

异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共
面;图④中, G , M , N 共面,但 H ? 面 GMN , G ? MN , 因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面. (2) 如图,连接 C1D , BD , AC , 在△C1DB 中, MN ∥ BD ,故 C 正 确;∵CC1⊥平面ABCD,BD?平 面ABCD,∴CC1⊥BD,

∴MN与CC1垂直,故A正确;
基础诊断 考点突破 课堂总结

∵AC⊥BD,MN∥BD, ∴MN与AC垂直,故B正确;

∵A1B1与BD异面,MN∥BD,
∴MN与A1B1不可能平行, 故D错误,选D.

答案 (1)②④ (2)D

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考点突破

课堂总结

规律方法

空间中两直线位置关系的判定,主要是

异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用 直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形

( 梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面
平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂 直的性质来解决.

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【训练 2 】 如图,已知不共面的三 条直线 a ,b ,c 相交于点 P ,A∈ a ,

B ∈ a , C ∈ b , D ∈ c ,求证: AD 与
BC是异面直线. 证明 法一 ( 反证法 ) 假设 AD 和 BC 共面,所确定

的平面为 α ,那么点 P , A , B , C , D 都在平面 α 内,

∴直线 a, b,c 都在平面 α 内,与已知条件 a, b,c
不共面矛盾,假设不成立, ∴AD和BC是异面直线.
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法二

( 直接证法 )∵a∩c = P ,∴它们确

定一个平面,设为α,由已知C?平面α, B ∈平面 α , BC ? 平面 α , AD? 平面 α , B?AD,∴AD和BC是异面直线.

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考点三 异面直线所成的角 【例3】 已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与

CD 所成的角为 60°,点 M , N 分别是 BC , AD 的中点,
则直线AB和MN所成的角为________.
解析 法一 如图,取 AC 的中点 P,连 1 接 PM, PN, 则 PM∥AB, 且 PM= AB, 2 1 PN∥CD,且 PN= CD,所以∠MPN(或 2 其补角)为 AB 与 CD 所成的角.

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则∠MPN=60°或∠MPN=120°, 若∠MPN=60°,因为 PM∥AB, 所以∠PMN(或其补角)是 AB 与 MN 所成的角. 又因为 AB=CD,所以 PM=PN, 则△PMN 是等边三角形,所以∠PMN=60°, 即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN=120°,则易知△PMN 是等腰三角形. 所以∠PMN=30°,即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上直线 AB 和 MN 所成的角为 60° 或 30°.
基础诊断 考点突破 课堂总结

法二 由 AB=CD, 可以把该三棱锥放在长 方体 AA1BB1-C1CD1D 中进行考虑,如图, 由 M,N 分别是 BC,AD 的中点, 所以 MN∥AA1,即∠BAA1(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角. 连接 A1B1 交 AB 于 O,

所以 A1B1∥CD,即∠AOA1(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角.所 以∠AOA1=60°或 120°,由矩形 AA1BB1 的性质可得∠BAA1 =60°或 30°.所以直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°.

答案 60°或30°
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

求异面直线所成的角常用方

法是平移法,平移的方法一般有三种类 型:利用图中已有的平行线平移;利用 特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移; 补形平移.

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【 训 练 3 】 若 例 3 中 的 条 件 “AB 与 CD 成 60° 的 角 ” 改 为 “AB⊥CD”,其余条件不变,则直线AB与MN所成的角

45° 为________.
解析 1 取 AC 的中点 P,连接 PM,PN,则 PM 綉 AB, 2

所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角, 由于 AB⊥CD,所以∠MPN=90°. 又 AB=CD,所以 PM=PN,从而∠PMN=45°, 即 AB 与 MN 所成的角为 45°.

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[思想方法] 1.主要题型的解题方法 (1) 要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或 点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内 (即“纳入法”).

(2) 要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只
要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可 知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线,然后证 明其他点都在这条直线上.
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1) 判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内 不经过该点B的直线是异面直线.

(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,
从而可得两线异面.

[易错防范]
1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义,不 要理解成“不在同一个平面内”.

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2. 不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不 共线”条件.
? π ? 3.两条异面直线所成角的范围是?0, 2 ? ? ? ?. ?

4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时, 容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所

成的角,也可能等于其补角.

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