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两个基本原理、排列组合与二项式定理



两个基本原理、排列 组合与二项式定理

一、两个计数原理 1. 分类加法计数原理: 完成一件事情,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法. 理解分类加法计数原理:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分 为若干类,各类的方法相互独立,各

类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的 任何一种方法都可以单独完成这件事.

2. 分步乘法计数原理: 完成一件事情,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 方法. 理解分步乘法计数原理:分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若 干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步 骤都完成后,才算完成这件事. 种不同的

例如:1、含 n 个元素的集合的子集的个数? 2、4 件物品放入 3 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法?

二、排列. 1. ? 对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列, ...... 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. ? 相同排列. 如果; 两个排列相同, 不仅这两个排列的元素必须完全相同, 而且排列的顺 序也必须完全相同.

? 排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,
m 用符号 An 表示.

? 排列数公式:
A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!
m m?1 An ? nAn ?1

规定 0! = 1

0 规定 C n ?C n n?1

三、组合. 1. ? 组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.

Am n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! m ? 组合数公式: C ? n ? C n? m m! m!(n ? m)! Am
m n

? 两个公式:① C n ?C

m

n?m n;

②C

m?1 m m ? C ? C n n n ?1

? 排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺 序关系.

?①几个常用组合数公式
0 1 2 Cn ? Cn ? Cn ? 0 2 4 Cn ? Cn ? Cn ? n ? Cn ? 2n 1 3 5 ? Cn ? Cn ? Cn ? m m?1 ? Cm ? C ?n n ?m?1

? 2n?1

m m m Cm ? Cm ? C ?1 m? 2 ? k k ?1 kCn ? nCn ?1

1 1 k k ?1 Cn ? Cn ?1 k ?1 n ?1

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: (利用
1 2 3 n 1 ? ? ?? ? 1? 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)!

n ?1 1 1 ? ? ) n! ( n ? 1)! n!
3 4 ? Cn ? Cn ?1 .

3 3 3 m ?1 m i i. 递推法(即用 C m 递推)如: ? C ? C C ? C ? C n n n ?1 3 4 5 ?

i i i. 构造二项式. 如: (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ?C 2n
0 2 1 2 n 2 n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x n 的系数,左边为
0 1 n ?1 2 n?2 n 0 0 2 1 2 n 2 Cn ?C n n ?C n ?C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ,

n ? C 而右边 2n

四、排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略; ②合理分类与准确分步策略; ③排列、组合混合问题先选后排的策略 (处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ; ④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略;

⑦定序问题除法处理策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; ⑩构造模型的策略.

0 n 0 1 n ?1 r n ?r r n 0 n 1. ?二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n a b .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n n;

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕 排列展开.

?二项展开式的通项.
(a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a
r n ?r r

b (0 ? r ? n, r ? Z ) .

?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数 最大. .....
n I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; 2 n ?1 n ?1 II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 项和第 ? 1 项,它们的二项 2 2
n ?1 n ?1 式系数 C 2 n ?C 2 n 最大. n

③系数和:
0 1 n Cn ?C n ? ? ?C n n ?2 0 2 4 1 3 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n ?1

附:一般来说 (ax ? by) n (a, b 为常数)在求系数最大的项或最小的项 时均可 ........... 直接根据性质二求解. 当 a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组
? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? ( A k 为T k ?1 的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ? ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

分类加法计数原理 例1 已知复数z=a+bi,其中a,b为非负整数且a2+b2≤52,这样

的复数共有多少个?

练习

(2013· 福建卷)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程 )

ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为( A. 14 B. 13 C. 12 D. 10

分步乘法计数原理 例2 已知集合M={-3,-2,-1,1,2},a,b∈M.

(1) P(a,b)可表示平面上多少个第四象限的点? (2) y=ax+b可表示平面上多少条不同的直线?
y? a x b 中a,b不相同,则可表示平面上多少条不同的直

(3) 若 线?

练习

(2013· 四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出

两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是 ( ) A. 9 B. 10 C. 18 D. 20

计数原理的综合应用 例3 有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英

语书,从中任取两本不同类的书,有多少种不同的取法? 练习 (2013· 北京卷改编)从1,3中选一个数字,从0,2,4中选 )

两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为( A. 24 B. 18 C. 20 D. 6

3. (2013·深圳一调)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六 合数”(如2013 是“六合数”),则首位为2 的“六合数”共有 ( ) B. 15个 D. 9 个

A. 18个 C. 12个

5. (2013·重庆卷改编)若In={1,2,3,?,n},Pn= ,则P7中一共含有 个元素.

6. 如图,用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,规定每 个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,共有 涂色方法. 种不同的

(第6题)

7. 值域为{-1,7,14,23},其对应关系为y=x2-2的函数有多少个?

8. 如图所示,将四棱锥S ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使 同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染 色方法的种数.

(第8题)

排列与组合

排列的应用问题 例1 方法总数: (1) 全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置; (2) 全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3) 全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4) 全体排成一行,男生不能排在一起; (5) 全体排成一行,男生与男生、女生与女生各不相邻; (6) 全体排成一行,其中甲、乙两人从左至右的顺序不变; (7) 全体排成一行,甲、乙两人中间必须有2人. 有2名男生,3名女生,在下列不同要求下,求不同的排列

练习 (2013· 浙江卷)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且 A,B均在C的同侧,则不同的排法共有 种.

组合的应用问题 例2 现在有翻译8人,其中3人只会英语,2人只会日语,

还有3人英语、日语都会,现从这8人中选取3名英语、2名日语翻 译,有多少种不同的选法?

练习

某重大事故中,某医院从8名医疗专家中抽调4

名前往事故现场抢救伤员,其中这8名医疗专家中有3名是外科专 家. (1) 某外科专家甲和某内科医生乙必须参加,共有多少种抽调 方法? (2) 恰好有2名外科医生参加,共有多少种抽调方法? (3) 至多有2名外科专家参加,共有多少种抽调方法? (4) 至少有1名外科专家和1名内科医生参加,共有多少种抽调 方法?

排列、组合的综合应用问题 例3 有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.

(1) 共有几种放法? (2) 恰有1个空盒,有几种放法? (3) 恰有2个盒子不放球,有几种放法? 练习 暑假期间,打算将5名大学生分配到3个不同的地区 种不同的分配方法.

去实习,每个地区至少1人,则一共有

14. (10 江西)将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有_________ 1080 种 (用数字作答) .

(8) (14 安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成 的角为 60° 的共有 (A)24 对 (B)30 对 (C)48 对 (D)60 对

48

9.(14 重庆)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相 声类节目的演出顺序,则 类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 B.120 C.144 D.3

120

14. (14 年浙江)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖。 60 将这 8 张奖券分配给 4 个人, 每人 2 张, 不同的获奖情况有________ 种 (用 数字作答) 。

13、 (13 年重庆)从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成 一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方 法种数是___________(用数字作答)
【答案】 : 590

8.(13 年汕头市一模)给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、 绿、蓝) ,要求相邻两个面涂不同的颜色,则共有涂色方法(涂色后,任意 翻转正方体,能使正方体各面颜色一致,我们认为是同一种涂色方法) ( ) A.6 种 B。12 种 C。24 种 D。48 种

6

二项式定理

求二项展开式中的特定项或特定项的系数 例1 已知 的二项式系数之和为512.

(1) 求展开式中的第5项系数; (2) 求展开式中的中间项; (3) 求展开式中所有的有理项.

练习 常数项为 .

(1) (2013· 天津卷)

的二项展开式中的

(2) (2013· 四川卷)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数 是 .

有关二项展开式各项系数和的问题 例2 已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6.

(1) 求a1+a2+a3+a4+a5+a6; (2) 求a0+a2+a4+a6; (3) 求|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|.

练习

二项式(2x-1)7的展开式中.

(1) 求展开式各二项式系数之和; (2) 求展开式中除常数外各项系数之和; (3) 求展开式中所有偶数项系数之和.

展开式的二项式系数或系数的最值问题 例3 在 的展开式中.

(1) 求二项式系数最大的项; (2) 求系数绝对值最大的项; (3) 求系数最大的项. 练习 数最大,则n的值为 在(1-x)n(n∈N*)的二项展开式中,若只有x6的系 .

7.在 (1 ? x ? x 2 ) 6 的展开式中 x 的系数为 (
5



A.4

B.5

C.6

D.7

8.(11 年课标 1) ( x ?

a 1 )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展 x x

开式中常数项为( ). (A) ?40 (B) ?20 (C)20 (D)40

14.(12 年浙江)若将函数 f(x)=x5 表示为

f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+……+a5(1+x)5, 其中 a0,a1,a2,…a5 为实数,则 a3=______________。

5. (14 年浙江)在 ?1 ? x ? ?1 ? y ? 的展开式中,记 x m y n 项的系数为
6 4

f ? m, n ? ,则 f ?3,0? ? f ? 2,1? ? f ?1, 2? ? f ? 0,3? ? (
(A)45 (B)60 (C)120 (D)210



(5) (13 年课标二)已知(1+ɑx)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 ɑ= ( ) (B)-3 (D)-1

(A)-4 (C)-2



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