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2008-2009学年第二学期高二第一次月考试卷(数学)



长乐一中 2008~2009 学年第二学期高二第一次月考试卷


第I卷
3 2

学(理科)
考试时间:2009-3-13 审核:陈永河

考试范围:选修 2-2 第 1 章

时限:120 分钟;满分:150 分;命题人:许尚雄

选择题 填空题

一、选择题(每小题只有 1 个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 f ( x) ? x ? x ? x 的单调减区间是(D) A. ? ?,? ) (

1 3

B. (1, ?)

C. ? ?,? ) , (1, ?) D. (? ,1) (

1 3

1 3

2.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图象可能是 (D) y
f(x)

y

f ?( x)

f ?( x)

y x

y O

f ?( x)

y O x
f ?( x )

O

x

O

x

O

x

A B C D 3.福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时,原油温 度(单位: C ) 为 f ( x) ?
0

1 3 x ? x 2 ? 8(0 ? x ? 5) ,那么,原油温度的瞬时变化率的最小值 3

是(C) A.8 4.函数 f ( x) ? ? B.

20 3

C. ? 1

D. ? 8

x ( a ? b ? 1) ,则(C) ex
B. f (a) ? f (b) D. f (a), f (b) 大小关系不能确定

A. f (a) ? f (b) C. f (a) ? f (b)

5. f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x ? 0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 当 且 f (?2) ? 0, 则不等式f ( x) g ( x) ? 0 的解集为 A. (-2,0)∪(2,+∞) C. (-∞,-2)∪(2,+∞)YCY 6.下列值等于 1 的是 (C) ( A )

B. (-2,0)∪(0,2) D. (-∞,-2)∪(0,2) ( )

高二下数学第一次月考第-1-页,共 7 页

A. xdx
0

?

1

B. ( x ? 1)dx
0
2

?

1

C. 1dx
0

?

1

D.

?

1

0

1 dx 2
( C )

7.直线 y ? 2 x ? 3 与抛物线 y ? x 所围成的图形面积是 A.20 B.

28 3

C.

32 3

D.

43 3


8.已知自由落体运动的速率 v ? gt ,则落体运动从 t ? 0 到 t ? t 0 所走的路程为( C

A.
1

gt0 3

2

B. gt 0

2

C.

gt0 2

2

D.

gt0 6

2

9. ?0 | x 2 ? 4 | dx =(C ) A.

21 3

B.

22 3

C.

23 3

D.

25 3


10.将和式的极限 lim
11 A. ?0 dx x

1 p ? 2 p ? 3 p ? ....... ? n p ( p ? 0) 表示成定积分(B n?? n P ?1 1 1 1 1 x B. ?0 x p dx C. ?0 ( ) p dx D. ?0 ( ) p dx x n

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11、已知 f ' ( x 0 )=-3, 则 lim
h ?0

f( x 0 - 2h ) - f(x 0 ) =__________6 h

12.函数 f ( x) ? x ? ax 在[1,+∞)上是单调递增函数,则 a 的最大值是____________.3
3

13.在半径为 6 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.9 14.用定积分的几何意义,则 ??3 9 ? x 2 dx =_________
3

9? 2

三、解答题(17 到 20 题每题 13 分,21、22 题 14 分,共 80 分) 15. 设函数 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1(a ? 0) .若曲线 y ? f ( x) 的斜率最小的切线与直线
3 2

12 x ? y ? 6 平行,求:
(Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f ( x) 的单调区间. 【解析】本小题主要考查导数的几何意义,及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式 的解法等基础知识。 【答案】 (Ⅰ)因 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1
2 2

高二下数学第一次月考第-2-页,共 7 页

所以 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 9 ? 3( x ? ) ? 9 ?
2

a 3

2

a2 . 3

a a2 ?( x)取得最小值 ? 9 ? . 即当 x ? ? 时,f 3 3
因斜率最小的切线与 12 x ? y ? 6 平行,即该切线的斜率为 ?12 , 所以 ?9 ?

a2 ? ?12, 即a 2 ? 9. 3

解得 a ? ?3,由题设a ? 0, 所以a ? ?3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ?3,因此f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 1,
3 2
2 f ?( x)? 3x ? 6 x? 9? 3 x ? 3x( ?,1 ) (

令f ?( x) ? 0, 解得:x1 ? ?1, x2 ? 3.

当x ? (??, ?1)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, 1 ? )上为增函数; 当x ? (?1,3)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(? 1, 3)上为减函数; 当x ?(3,+?)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(3, ?)上为增函数 . ? 由此可见,函数f ( x)的单调递增区间为(??, ?1 )和(3, ?); ?

单调递减区间为(? 1, . 3)
16.已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ? 10 x 的一个极值点。
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。 【解】 (Ⅰ)因为 f ' ? x ? ? 所以 f ' ? 3? ?

a ? 2 x ? 10 , 1? x

因此 a ? 16 .

a ? 6 ? 10 ? 0 . 4
高二下数学第一次月考第-3-页,共 7 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f

n ? x? ? 1 6 l ?
'

? x ? 2x ? 1 0 x? ? 1? ? 1 ? x ,? ?,

f

? x? ?

2 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 1? x
'

当 x ? ? ?1,1? ? ? 3, ?? ? 时, f 当 x ? ?1,3 ? 时, f
'

? x? ? 0 ,

? x? ? 0 ,

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ? 3, ?? ? ,

f ? x ? 的单调减区间是 ?1, 3 ? .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1, 3 ? 内单调减少,在 ? 3, ?? ? 上单调增 加,且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f
'

? x? ? 0 .

所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16 ln 2 ? 9 ,极小值为 f ? 3? ? 32 ln 2 ? 21 . 因此 f ?16 ? ? 16 ? 10 ?16 ? 16 ln 2 ? 9 ? f ?1? ,
2

f ? e?2 ? 1? ? ? 2 ? 1 1 ? ?2 1 ? 3 f?

3 ?,

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ? 1, 3? ,? 3,?? ? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有一个 交点,当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? . 因此, b 的取值范围为 ? 32 ln 2 ? 21,16 ln 2 ? 9 ? . 17.设函数 f ( x) ? x e
2 x ?1

? ax3 ? bx 2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点.

(Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x) ? 【标准答案】 (Ⅰ)因为 f ?( x) ? e
x ?1

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3
(2 x ? x 2 ) ? 3ax 2 ? 2bx ? xe x ?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) ,

高二下数学第一次月考第-4-页,共 7 页

又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 , 因此 ?

??6a ? 2b ? 0, ?3 ? 3a ? 2b ? 0,

解方程组得 a ? ? , b ? ?1 .
x ?1

1 3

(Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 . 因为 当 x ? (??, 2) ?(0, 时, f ?( x) ? 0 ; ? 1) 当 x ? (?2, ? (1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 0) , 所以

1 3

? 1) ,

f ( x) 在 (?2, 和 (1, ?) 上是单调递增的;在 (??, 2) 和 (0, 上是单调递减的. 0) ? ? 1)

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x 2 e x ?1 ? 故 f ( x) ? g ( x) ? x e 令 h( x ) ? e
x ?1 2 x ?1

1 3 x ? x2 , 3

? x3 ? x 2 (e x ?1 ? x) ,

? x ,则 h?( x) ? e x ?1 ? 1 .

1? 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 x ? ? ??, 时, h?( x) ≤ 0 , 1? 1? 所以 h( x ) 在 x ? ? ??, 上单调递减.故 x ? ? ??, 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; ? ? 因为 x ? ?1, ? ? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x ) 在 x ? ?1, ? ? 上单调递增. ? 故 x ? ?1, ? ? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 .
所以对任意 x ? (??, ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x ? 故对任意 x ? (??, ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) . ? 18.设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4
2

2

≥ 0 ,因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,

? 3 1? ? ?

高二下数学第一次月考第-5-页,共 7 页

【解】 f ( x) 的定义域为 ? ? , ∞ ? . ?

? 3 ? 2

? ?

(Ⅰ) f ?( x) ? 当?

2 4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) . ? 2x ? ? 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2
? 3 ? 2 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1? ? 单调减少. 2?

从而, f ( x) 分别在区间 ? ? , 1? , ? ? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? ? ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4 又 f ??

? 3 1? ? ?

? 1? ? ?

1

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? 3? ?1? ? ? f ? ? ? ln ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ? 4? ?4?

? ln . 所以 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? 2 ? 4 ? 16 ? 4 4?
19.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2.

? 3 1?

?1?

1

7

(1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. (3)若直线 x=-t(0<t<1=把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. 解: (1)设 f(x)=ax2+bx+c,则 f′(x)=2ax+b, 又已知 f′(x)=2x+2 ∴a=1,b=2. ∴f(x)=x2+2x+c 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式 Δ=4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x2+2x+1. (2)依题意,有所求面积=

?

0 ?1

1 1 ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ( x 3 ? x 2 ? x) |01 ? . ? 3 3

(3)依题意,有

?

?t ?1

( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? 0 t ( x 2 ? 2 x ? 1)dx , ?

∴(

1 3 1 t x ? x 2 ? x) | ?1 ? ( x 3 ? x 2 ? x) |0 t , ? ? 3 3

高二下数学第一次月考第-6-页,共 7 页



1 3 2 1 1 t +t -t+ = t3-t2+t,2t3-6t2+6t-1=0, 3 3 3
1 . 3 2

∴2(t-1)3=-1,于是 t=1-

20.已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n ? N * , a 为常数. n ( ? x) 1

(I)当 n ? 2 时,求函数 f ( x) 的极值; (II)当 a ? 1 时,证明:对任意的正整数 n ,当 x ? 2 时,有 f ( x) ? x ? 1. 【标准答案】 (Ⅰ)解:由已知得函数 f ( x) 的定义域为 ? x | x ? 1? , 当 n ? 2 时, f ( x) ?

2 ? a (1 ? x) 2 1 . ? a ln( x ? 1) ,所以 f ?( x) ? (1 ? x)3 (1 ? x) 2 2 2 ? 1 , x2 ? 1 ? ? 1, a a

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1 ?

此时 f ?( x) ?

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x ? (1,x1 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;

? 当 x ? ( x1, ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.
(2)当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) 无极值. 综上所述, n ? 2 时, 当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 1 ? 当 a ≤ 0 时, f ( x) 无极值. (Ⅱ)证法一:因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ? 当 n 为偶数时,
高二下数学第一次月考第-7-页,共 7 页

? 2 2 ? a? 2? 处取得极小值,极小值为 f ? 1 ? ? ? ?1 ? ln ? . ? a ? 2? a? a ? ?

1 ? ln( x ? 1) . (1 ? x) n



1 g ( x)? x? 1 ? ?l n x ?,) ( 1 ( 1? x n ) n 1 x?2 n . ? ? ? ? 0 ( x≥2 ) n ?1 ( x ? 1) x ? 1 x ? 1 ( x ? 1) n ?1

则 g ?( x) ? 1 ?

? 所以 当 x ? ? 2, ? ? 时, g ( x) 单调递增,
又 g (2) ? 0 ,

因此

1 g ( x)? x? 1 ? ? l n x ?≥) g ( 2恒成立, ( 1 ?) 0 (x ? 1n )
f ( x)≤ x 1 ? 成立.

所以

当 n 为奇数时, 要证 f ( x) ≤ x ? 1 ,由于

1 ? 0 ,所以只需证 ln( x ? 1) ≤ x ? 1 , (1 ? x) n

令 则

h( x)? x? 1 ? l n x ? , ) ( 1

h?( x) ? 1 ?

1 x?2 , ? ≥0 ( x≥2 ) x ?1 x ?1

? 所以 当 x ? ? 2, ? ? 时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2) ? 1 ? 0 ,
所以当 x ≥ 2 时,恒有 h( x) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x ? 1 命题成立. 综上所述,结论成立. 证法二:当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) . (1 ? x) n

当 x ≥ 2 时,对任意的正整数 n ,恒有 故只需证明 1 ? ln( x ? 1) ≤ x ? 1 . 令 则

1 ≤1 , (1 ? x)n

h( x)? x? 1 ? ( 1? l n (? 1 ) ) ? x ?x

, ? xl n? x ?12, ? ? , 2 ( ?) ?

h?( x) ? 1 ?

1 x?2 , ? x ?1 x ?1
高二下数学第一次月考第-8-页,共 7 页

? 当 x ≥ 2 时, h?( x) ≥ 0 ,故 h( x ) 在 ? 2, ? ? 上单调递增,
因此 当 x ≥ 2 时, h( x) ≥ h(2) ? 0 ,即 1 ? ln( x ? 1) ≤ x ? 1 成立. 故 当 x ≥ 2 时,有

1 ? ln( x ? 1) ≤ x ? 1 . (1 ? x)n



f ( x)≤ x 1 ? .
3 2 2

21. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为 ?5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2mx ? m ? ( x ? m)(3x ? m) ? 0 ,则 x ? m 或 x ?
2 2

1 m, 3

当 x 变化时, f ?( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?m)
+

?m
0 极大值

1 (?m, m) ) 3


1 m 3
0 极小值

( m ,+∞) +

1 3

?

?

?

从而可知,当 x ? ?m 时,函数 f ( x) 取得极大值 9, 即 f (?m) ? ?m ? m ? m ? 1 ? 9 ,
3 3 3 3 2



m?2。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 1 , 依题意知 f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 4 ? 5 ,
2

∴ x ? ?1 或 x ? ? 。

1 3

又 f (?1) ? 6, f (? ) ?

1 3

68 , 27 68 1 ? ?5( x ? ) , 27 3

所以切线方程为 y ? 6 ? ?5( x ? 1) ,或 y ?

即 5x ? y ? 1 ? 0 ,或 135x ? 27 y ? 23 ? 0 。

高二下数学第一次月考第-9-页,共 7 页

.......... .......... ...........线............ ........... ............密...........封...........装...........订........... ........... ..........

长乐一中 2008~2009 学年第二学期高二第一次月考试卷


考试范围:选修 2-2 第 1 章


考试时间:2009-3-13 审核:陈永河

时限:120 分钟;满分:150 分;命题人:许尚雄

(答题卷)
一、选择题(每小题只有 1 个正确答案,每小题 5 分,共 50 分)
请将选择题答案填写在下表中: 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

准考证号:

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
请将填空题答案填写在下面横线上:

座号:

13、____________________ 15、____________________

14、____________________ 16、____________________

三、解答题(17 到 20 题每题 13 分,21、22 题 14 分,共 80 分)

长乐一中 2008~2009 学年第一学期高二第二次月考 数学(理科)
题号 答案 1 2 3 4 5

姓名:

参考答案
6 7 8 9 10

一、选择题(每小题只有 1 个正确答案,每小题 5 分,共 50 分)

班级:

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 三.解答题(17 到 20 题每题 13 分,21、22 题 14 分,共 80 分)

学校:

高二下数学第一次月考第-10-页,共 7 页



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