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高一数学人教版必修一函数定义域



1、设集合 M={ x |0≤ x ≤2},N={ y |0≤ y ≤2},从 M 到 N 有 4 种对应如下图所示:

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 2、求下列函数的定义域:



f ( x) = x ? 1 +

1 2? x

设函数 y=f(x)的定义域为[

0,1] ,求下列函数的定义域.? (1)y=f(3x); (3)y=f( x ? ) ? f ( x ? ) ;?
1 3 1 3

(2)y=f(

1 );? x

(4)y=f(x+a)+f(x-a).

3、已知函数 f ( x) =3 x 2-5 x +2,求 f (3) , f (? 2 ) , f (a ? 1) 。

4、下列函数中哪个与函数 y = x 是同一个函数?
2 (1) y ? ( x ) ;

3 (2) y ? x ; 3

(3) y ?

x2

5. 给 出 下 列 两 个 条 件 :( 1 ) f( f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出 f(x)的解析式.?

x +1)=x+2

x ;(2)f(x) 为 二 次 函 数 且

变式训练 1: (1)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x) ;? (2)已知 f(x)满足 2f(x)+f(
1 )=3x,求 f(x).? x

6 求下列函数的值域:? (1)y=
x2 ? x ; x2 ? x ? 1

(2)y=x- 1 ? 2 x ;?

(3)y=

ex ?1 .? ex ?1

变式训练 2:求下列函数的值域:? (1)y=
1? x ;? 2x ? 5

(2)y=|x| 1 ? x .?
2

7.若函数 f(x)= x -x+a 的定义域和值域均为[1,b] (b>1) ,求 a、b 的值.?

1 2

2

.8. 判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.?
2

1. ② ③ 2.解∵当 x +1≥0 且 2- x ≠0, 即 x ≥-1 且 x ≠2 时,根式 x ? 1 和分式

1 同时有意义 2? x

∴这个函数的定义域是{ x | x ≥-1 且 x ≠2} 解: (1)0≤3x≤1,故 0≤x≤ ,? y=f(3x)的定义域为[0, (2)仿(1)解得定义域为[1,+∞).? (3)由条件,y 的定义域是 f ( x ? ) 与 ( x ? ) 定义域的交集.?
1 2 ? ? 1 ?0 ? x ? 3 ? 1 ? ?? 3 ? x ? 3 1 2 ? ?? ? ?x? , 列出不等式组 ? 3 3 ?0 ? x ? 1 ? 1 ? 1 ? x ? 4 ? ? 3 3 ? ?3
1 3 1 3

].?

1 3

1 3

? 故 y=f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域为 ? ?3 , 3? . 3 3

1

1

1 2

?

?

(4)由条件得 ? ①当 ? ②当 ?

?0 ? x ? a ? 1 ??a ? x ? 1 ? a ?? , 讨论:? ?0 ? x ? a ? 1 ?a ? x ? 1 ? a

?a ? 1 ? a, 1 即 0≤a≤ 时,定义域为[a,1-a];? 2 1 ? a ? 1 ? a , ?

?a ? ?a, 1 即- ≤a≤0 时,定义域为[-a,1+a].? 2 ?? a ? 1 ? a,
1 2 1 2

综上所述:当 0≤a≤ 时,定义域为[a,1-a] ;当- ≤a≤0 时,定义域为[-a,1+a]

3.解: f (3)=3×32-5×3+2=14;

f (? 2 ) =3×(- 2 )2-5×(- 2 )+2=8+5 2 ; f (a ? 1) =3( a +1)2-5( a +1)+2=3 a 2+ a 。 4. 解: (1) y = x , x ≥0, y ≥0,定义域不同且值域不同,不是同一个函数; (2) y = x , x ∈ R , y ∈ R ,定义域值域都相同,是同一个函数; ? x ( x ? 0) (3) y =| x |= ? , y ≥0;值域不同,不是同一个函数。 ? ? x ( x ? 0)
5. 解: (1)令 t= x +1,∴t≥1,x=(t-1) .? 则 f(t)=(t-1) +2(t-1)=t -1,即 f(x)=x -1,x∈[1,+∞).? 2 (2)设 f(x)=ax +bx+c (a≠0),? 2 ∴f(x+2)=a(x+2) +b(x+2)+c,?则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.? ∴?
?a ? 1 ?4a ? 4 2 ,?∴ ? ,又 f(0)=3 ? c=3,∴f(x)=x -x+3. b ? ? 1 4 a ? 2 b ? 2 ? ?
2 2 2 2

变式训练 1:解: (1)设 f(x)=ax+b,则? 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,?

∴a=2,b=7,故 f(x)=2x+7.? (2)2f(x)+f(
1 )=3x, x

①? ②?

把①中的 x 换成

1 1 3 ,得 2f( )+f(x)= x x x 3 1 ,∴f(x)=2x- . x x

①×2-②得 3f(x)=6x6. 解: (判别式法) 由 y=

x2 ? x , 得(y-1) x2 ? (1 ? y) x ? y ? 0. x ? x ?1
2

∵y=1 时, x ? ?,? y ? 1.又∵ x ? R,∴必须 ? =(1-y) -4y(y-1)≥0.
? ∴ ? ? y ? 1. ∵ y ? 1, ∴函数的值域为 ? ?? ,1? .

2

1 3

1 ? 3 ?

(2) (换元法)?令 1 ? 2 x =t,则 t≥0,且 x= ∴y∈(-∞, ].? (3)由 y=
1 2

1 1 1? t2 2 . ?∴y=- (t+1) +1≤ (t≥0),? 2 2 2

1? y ex ? 1 x 1? y x 得,e = >0,解得-1<y<1.? . ?∵e >0,即 1? y 1? y ex ? 1

∴函数的值域为{y|-1<y<1}.? 变式训练 2 解: (1)(分离常数法)y=- ?
1 2

1 2

7 7 ,∵ ≠0, 2(2 x ? 5) 2(2 x ? 5)
1 2

∴y≠- .故函数的值域是{y|y∈R,且 y≠- }.?
1 1? 1 1 (2) y=|x|· 1 ? x ? ? x ? x ? ? ( x ? ) ? , ∴0≤y≤ , 即函数的值域为 ? ?0, ? .
2 4 2 2 2

2

4

2

? 2?

7. 解:∵f(x)= (x-1) +a- . ∴其对称轴为 x=1,即[1,b]为 f(x)的单调递增区间. ∴f(x)min=f(1)=a- =1 f(x)max=f(b)= b -b+a=b
3 ? ?a ? , 2 ?b ? 3. ?
1 2
2

1 2

2

1 2

1 2

① ②

由①②解得 ?

8. 解: 函数的定义域为{x|x≤-1 或 x≥1},?则 f(x)=
2

x 2 ? 1 ,?可分解成两个简单函数.?
2

f(x)= u ( x) , u ( x) =x -1 的形式.当 x≥1 时, u(x)为增函数, u ( x) 为增函数.?∴f (x) = x ?1 在 [1, +∞)上为增函数.当 x≤-1 时,u(x)为减函数, u ( x) 为减函数,?∴f(x)= x ? 1 在(-∞,-1]上
2

为减函数.?



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