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高中数学向量总结归纳



1.定义及运算律.
两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设 a 及 b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ 满足:0°≤θ ≤180°,我们把|a|?|b|?cosθ 叫做 a 与 b 的数量积, 记作 a?b 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a?b=

x1 x 2 ?

y1 y 2

.

其运算满足“交换律” “结合律”以及“分配律”,即:a?b=b?a,(λ ?a)?b=λ (a?b),(a±b)?c=a?c±b?c.

2.平面向量数量积的重要性质.
(a ? b) | a | ? | a | cos ? ? | a | 2 a ? a ①|a|= = ;cosθ = | a | ? | b | ;|a?b|≤|a|?|b|,当且仅当 a,b 共线时取等号.
( x1 x 2 ? y1 y 2 )
②设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:|a|=
2 x1

?

2 y1

;cosθ =

2 x1

2 2 2 ? y1 ? x2 ? y2

;|x1x2+y1y2|≤

2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2

3.两向量垂直的充要条件 若 a,b 均为非零向量,则:a⊥b ? a?b=0. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b ? x1x2+y1y2=0. 4.向量的模及三角不等式
a ? b ? 2 | a | ? | b | ? cos ? |a|2=a?a 或|a|= a ? a ;|a?b|≤|a|?|b|;|a|2-|b|2=(a+b)?(a-b);|a±b|=
(θ 为 a,b 夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2 2

5.三角不等式的推广形式
|a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|.

例题
【例 1】 计算下列各题:

(1)已知等边三角形 ABC 边长为 1,且 BC =a, CA =b, AB =c,求 a?b+b?c+c?a; (2)已知 a、b、c 是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的长度以及它和 a,b,c 的夹角; (3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求 a、b 的夹角;

2 (4)已知|a|=2,|b|=5,a,b 的夹角是 3 π ,p=3a-b,q=λ a+17b,问系数λ 取向值时,p⊥q.
【解前点津】 【规范解答】 (1)利用 x2=x?x,通过对(a+b+c)2 的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条 (1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a?b+b?c+c?a)=3-2(a?b+b?c+c?a)=0 件;(4)利用两向量垂直的充要条件,运算律以及内积定义.构造关于λ 的方程,解之即得.

3 ? a?b+b?c+c?a= 2 . r ?a 2 ? ? (2)cos r,a = | r | ? | a | ,∵|r|= r 且
r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a?b+b?c+c?a)=14-2(a?b+b?c+c?a)=14. ∴|r|= 14 ?

( a ? b ? c) ? a

? ? cos r,a = ? ? cos r,b = ? ?

14 ? | a | (a ? b ? c) ? b 14 ? | b | ( a ? b ? c) ? c

?

| a |2 14 | a | | b |2 14 | b | | c |2 14 | c |

?

14 14 14 7

;

?

?

;

cos r,c =

14 ? | c |

?

?

3 14 .

(3)由条件:(a+3b)?(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a?b=0,(a-4b)?(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a?b=0 ?

a ?b 1 ?? | a | ? | b | 2. ? ? |a|2=|b|2=2a?b (|a|?|b|)2=4(a?b)2 ? 1 ? ? ? ? 2 由 cos a,b = 得: a,b = 3 ;

? ? 由 cos a,b =- 2

1

得:

2 ? a,b ? = 3 ? .


(4)令 p?q=0 得:(3a-b)?(λ a+17b)=0 ? 3λ |a|2-17|b|2+(51-λ )a?b=0

2 ? 将|a|=2,|b|=5,a?b=|a|?|b|?cos 3 代入①得 3λ ?4-17?25+(51-λ )?(-5)=0 解之:λ =40.
【解后归纳】 【例 2】 综合利用内积的定义及运算律,内积运算形式与实数运算形式的相互转化,是计算的一项基本功.

在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值. 因谁是直角,尚未确定,故必须分类讨论. ①当∠A=90°时,因为 AB ? AC =0,

【解前点津】 【规范解答】

2 ∴2?1+3?k=0,∴k=- 3 .
②当∠B=90°时, BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1,k-3)

11 BC ? ∵ AB ? =0,∴2?(-1)+3?(k-3)=0 k= 3 .
③当∠C=90°时,∵ AC ? BC =0,∴-1+k?(k-3)=0,k2-3k-1=0 ? k=

3? 3 2 .

2 11 3 ? 3 2 . ∴k 的取值为:- 3 , 3 或
【例 4】 已知平行四边形以 a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边. (1)求它的边长和内角; (2)求它的两对角线的长和夹角. 【解前点津】 【解后归纳】 利用内积的有关运算性质. 本题综合运用了向量的有关运算性质,也可利用余弦定理求解.

1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是 A.60° B.30° C.135° D.45°

(

)

? 2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 3 ,则向量 m=a-4b 的模为
A.2 B.2 3 C.6 D.12 ( ) )

(

)

3.a,b 是两个非零向量,(a+b)2=a2+b2 是 a⊥b 的 A.充分不必要条件 A.23 B.57 B.必要不充分条件 ( C.63 D.83 4.若 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a|2-4a?b 等于

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

5.已知 a=(λ ,2),b=(-3,5)且 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是

(

)

10 A.λ > 3

10 B.λ ≥ 3

10 C.λ < 3

10 D.λ ≤ 3
( )

6.已知 a=(4,3),向量 b 是垂直 a 的单位向量,则 b 等于

?3, 4? ?4 , 3? ? ? ? ? A. ? 5 5 ? 或 ? 5 5 ?

? 4 , 3 ? ? ? 3 ,? 4 ? ? ? ? ? 5? B? 5 5 ?或? 5

? 3 ,? 4 ? ? ? 4 , 3 ? ? ? ? ? 5 ?或? 5 5 ? C? 5

? 3 ,? 4 ? ? ? 3 , 4 ? ? ? ? ? 5 ?或? 5 5 ? D? 5
( )

7.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为

5 5 A.

?
B.

5 5

C.

65 5

13 13 D.
( )

1
8.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,- 2 )在线段 AB 中垂线上,则 x 为

7 A.- 4

7 B. 4

C.2

D.-2 ( ) ( )

3? 9.已知 a=(3,0),b=(k,5),且 a 与 b 的夹角为 4 ,则 k 的值为
A.-4 A.(2,3) 二、思维激活 B.4 B.(2,-3) C.5 D.-5 C.(-2,3) D.(-2,-3)

10.已知 a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件:x?a=9 与 x?b=-4 的向量 x 为

? 11.已知向量 a、b 的夹角为 3 ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|?|a-b|=
13.已知 a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若 c⊥a,则 c= .

. .

12.已知 a⊥b、c 与 a,b 的夹角均为 60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=

14.已知点 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a= BC ,b= CA ,则 a 与 b 的夹角为 三、能力提高

.

15.设 A、B、C、D 是平面内任意四点,求 AB ? CD + BC ? AD + CA ? BD 值.

16.设 OA =(3,1), OB =(-1,2), OC ⊥ OB , BC ∥ OA ,O 是原点,求满足 OD + OA = OC 时的 OD 坐标. 17.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120°,若 c=2a-b,d=3b-a,试求:c 与 d 的夹角.

?1 ? k ?t2 ? , 3 ? ?2 2 ? ? ,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t 2-3)?b, y=-ka+t?b,且 x⊥y,试求 t 的最小值. 18.已知 a=( 3 ,-1),b= ?
平面向量的数量积及平面向量的应用解答

DBCDA DCCDB 根号下 17 17 15.0 16. x=14,y=7.

? 2 ,? 1 ? ? ? ? 5 5?.
θ =45

OD = OC - OA =(11,6).

17.∵a、b 是两单位向量,∴|a|=|b|=1,且 a,b 夹角为 120°.

1 ∴a?b=|a|?|b|?cos120°=- 2 ,
∵|c|2=c?c=(2a-b)?(2a-b)=4a?a-4a?b+b?b=4|a|2-4a?b+|b|2=7, ∴|c|= 7 . ∵|d|2=d?d=(3b-a)?(3b-a)=9b?b-6a?b+a?a=13, ∴|d|= 13 .

17 ∵c?d=(2a-b)?(3b-a)=6a?b-3b?b-2a?a+a?b=- 2 ,
17 91 17 ?? 182 ∴cosθ =- 2 7 ? 13 (θ 为 c、d 夹角).

17 91 ∴θ =π -arccos 182 .
? 1 ? ?? ? 3 ? ? ? 2 ?2? ?2 ? ,|b|=
2

18.∵|a|=

3 ? (?1) 2
3?

? ? ? ?

2

?1
,

∵a?b=

3 1 ? 1? ?0 2 2 ,故 a⊥b,

t 3 ? 3t 4 . ∵x?y=0,∴[a+(t2-3)?b] ? [-ka+tb]=0 化简得:k=
7 k ?t2 1 1 7 ? (t 2 ? 4t ? 3) ? (t ? 2) 2 ? 4 4 4 ≥- 4 . ∴ 4

k ?t2 7 当且仅当 t=-2 时, t 有最小值- 4 .



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