高中数学向量总结归纳
1.定义及运算律.
两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设 a 及 b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ 满足:0°≤θ ≤180°,我们把|a|?|b|?cosθ 叫做 a 与 b 的数量积， 记作 a?b 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a?b=
x1 x 2 ? y1 y 2
.
其运算满足“交换律” “结合律”以及“分配律”,即:a?b=b?a，(λ ?a)?b=λ (a?b)，(a±b)?c=a?c±b?c.
2.平面向量数量积的重要性质.
(a ? b) | a | ? | a | cos ? ? | a | 2 a ? a ①|a|= = ;cosθ = | a | ? | b | ;|a?b|≤|a|?|b|,当且仅当 a,b 共线时取等号.
( x1 x 2 ? y1 y 2 )
②设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:|a|=
2 x1
?
2 y1
;cosθ =
2 x1
2 2 2 ? y1 ? x2 ? y2
;|x1x2+y1y2|≤
2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2
3.两向量垂直的充要条件 若 a,b 均为非零向量,则:a⊥b ? a?b=0. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b ? x1x2+y1y2=0. 4.向量的模及三角不等式
a ? b ? 2 | a | ? | b | ? cos ? |a|2=a?a 或|a|= a ? a ;|a?b|≤|a|?|b|;|a|2-|b|2=(a+b)?(a-b);|a±b|=
(θ 为 a,b 夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2 2
5.三角不等式的推广形式
|a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|.
例题
【例 1】 计算下列各题:
(1)已知等边三角形 ABC 边长为 1,且 BC =a, CA =b, AB =c,求 a?b+b?c+c?a; (2)已知 a、b、c 是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的长度以及它和 a,b,c 的夹角; (3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求 a、b 的夹角;
2 (4)已知|a|=2,|b|=5,a,b 的夹角是 3 π ,p=3a-b,q=λ a+17b,问系数λ 取向值时，p⊥q.
【解前点津】 【规范解答】 (1)利用 x2=x?x,通过对(a+b+c)2 的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条 (1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a?b+b?c+c?a)=3-2(a?b+b?c+c?a)=0 件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ 的方程，解之即得.
3 ? a?b+b?c+c?a= 2 . r ?a 2 ? ? (2)cos r,a = | r | ? | a | ,∵|r|= r 且
r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a?b+b?c+c?a)=14-2(a?b+b?c+c?a)=14. ∴|r|= 14 ?
( a ? b ? c) ? a
? ? cos r,a = ? ? cos r,b = ? ?
14 ? | a | (a ? b ? c) ? b 14 ? | b | ( a ? b ? c) ? c
?
| a |2 14 | a | | b |2 14 | b | | c |2 14 | c |
?
14 14 14 7
;
?
?
;
cos r,c =
14 ? | c |
?
?
3 14 .
(3)由条件:(a+3b)?(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a?b=0,(a-4b)?(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a?b=0 ?
a ?b 1 ?? | a | ? | b | 2. ? ? |a|2=|b|2=2a?b (|a|?|b|)2=4(a?b)2 ? 1 ? ? ? ? 2 由 cos a,b = 得: a,b = 3 ;
? ? 由 cos a,b =- 2
1
得:
2 ? a,b ? = 3 ? .
①
(4)令 p?q=0 得:(3a-b)?(λ a+17b)=0 ? 3λ |a|2-17|b|2+(51-λ )a?b=0
2 ? 将|a|=2,|b|=5,a?b=|a|?|b|?cos 3 代入①得 3λ ?4-17?25+(51-λ )?(-5)=0 解之:λ =40.
【解后归纳】 【例 2】 综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.
在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角，求 k 的值. 因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论. ①当∠A=90°时,因为 AB ? AC =0,
【解前点津】 【规范解答】
2 ∴2?1+3?k=0,∴k=- 3 .
②当∠B=90°时, BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1,k-3)
11 BC ? ∵ AB ? =0,∴2?(-1)+3?(k-3)=0 k= 3 .
③当∠C=90°时,∵ AC ? BC =0,∴-1+k?(k-3)=0,k2-3k-1=0 ? k=
3? 3 2 .
2 11 3 ? 3 2 . ∴k 的取值为:- 3 , 3 或
【例 4】 已知平行四边形以 a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边. (1)求它的边长和内角; (2)求它的两对角线的长和夹角. 【解前点津】 【解后归纳】 利用内积的有关运算性质. 本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.
1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是 A.60° B.30° C.135° D.45°
(
)
? 2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 3 ,则向量 m=a-4b 的模为
A.2 B.2 3 C.6 D.12 ( ) )
(
)
3.a,b 是两个非零向量,(a+b)2=a2+b2 是 a⊥b 的 A.充分不必要条件 A.23 B.57 B.必要不充分条件 ( C.63 D.83 4.若 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a|2-4a?b 等于
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.已知 a=(λ ,2),b=(-3,5)且 a 与 b 的夹角为钝角，则λ 的取值范围是
(
)
10 A.λ > 3
10 B.λ ≥ 3
10 C.λ < 3
10 D.λ ≤ 3
( )
6.已知 a=(4,3),向量 b 是垂直 a 的单位向量，则 b 等于
?3, 4? ?4 , 3? ? ? ? ? A. ? 5 5 ? 或 ? 5 5 ?
? 4 , 3 ? ? ? 3 ,? 4 ? ? ? ? ? 5? B? 5 5 ?或? 5
? 3 ,? 4 ? ? ? 4 , 3 ? ? ? ? ? 5 ?或? 5 5 ? C? 5
? 3 ,? 4 ? ? ? 3 , 4 ? ? ? ? ? 5 ?或? 5 5 ? D? 5
( )
7.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为
5 5 A.
?
B.
5 5
C.
65 5
13 13 D.
( )
1
8.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,- 2 )在线段 AB 中垂线上,则 x 为
7 A.- 4
7 B. 4
C.2
D.-2 ( ) ( )
3? 9.已知 a=(3,0),b=(k,5),且 a 与 b 的夹角为 4 ,则 k 的值为
A.-4 A.(2,3) 二、思维激活 B.4 B.(2,-3) C.5 D.-5 C.(-2,3) D.(-2,-3)
10.已知 a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件:x?a=9 与 x?b=-4 的向量 x 为
? 11.已知向量 a、b 的夹角为 3 ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|?|a-b|=
13.已知 a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若 c⊥a,则 c= .
. .
12.已知 a⊥b、c 与 a,b 的夹角均为 60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=
14.已知点 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a= BC ,b= CA ,则 a 与 b 的夹角为 三、能力提高
.
15.设 A、B、C、D 是平面内任意四点,求 AB ? CD + BC ? AD + CA ? BD 值.
16.设 OA =(3,1), OB =(-1,2), OC ⊥ OB , BC ∥ OA ,O 是原点，求满足 OD + OA = OC 时的 OD 坐标. 17.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120°,若 c=2a-b,d=3b-a,试求:c 与 d 的夹角.
?1 ? k ?t2 ? , 3 ? ?2 2 ? ? ,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t 2-3)?b, y=-ka+t?b,且 x⊥y,试求 t 的最小值. 18.已知 a=( 3 ,-1),b= ?
平面向量的数量积及平面向量的应用解答
DBCDA DCCDB 根号下 17 17 15.0 16. x=14,y=7.
? 2 ,? 1 ? ? ? ? 5 5?.
θ =45
OD = OC - OA =(11,6).
17.∵a、b 是两单位向量,∴|a|=|b|=1,且 a,b 夹角为 120°.
1 ∴a?b=|a|?|b|?cos120°=- 2 ,
∵|c|2=c?c=(2a-b)?(2a-b)=4a?a-4a?b+b?b=4|a|2-4a?b+|b|2=7, ∴|c|= 7 . ∵|d|2=d?d=(3b-a)?(3b-a)=9b?b-6a?b+a?a=13, ∴|d|= 13 .
17 ∵c?d=(2a-b)?(3b-a)=6a?b-3b?b-2a?a+a?b=- 2 ,
17 91 17 ?? 182 ∴cosθ =- 2 7 ? 13 (θ 为 c、d 夹角).
17 91 ∴θ =π -arccos 182 .
? 1 ? ?? ? 3 ? ? ? 2 ?2? ?2 ? ,|b|=
2
18.∵|a|=
3 ? (?1) 2
3?
? ? ? ?
2
?1
,
∵a?b=
3 1 ? 1? ?0 2 2 ,故 a⊥b,
t 3 ? 3t 4 . ∵x?y=0,∴［a+(t2-3)?b］ ? ［-ka+tb］=0 化简得:k=
7 k ?t2 1 1 7 ? (t 2 ? 4t ? 3) ? (t ? 2) 2 ? 4 4 4 ≥- 4 . ∴ 4
k ?t2 7 当且仅当 t=-2 时, t 有最小值- 4 .
相关文档：
更多相关文章：
高中数学平面向量知识点总结及常见题型高中数学平面向量知识点总结及常见题型_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学平面向量知识点总结及常见题型_高二数学_数学_...高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结。不错的高中数学学习资料高中数学必修 4 之平面向量知识点归纳新新新 新新新 源源源源源源源源 源源th源/:w 源k.x源源.cm /w...高中数学必修4之平面向量知识点大总结(典藏版)
高中数学必修4之平面向量知识点大总结(典藏版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 4 之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念: ?...高中数学向量总结归纳
2012年高考文科数学平面向... 9页 免费 高中数学的向量知识 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...高中向量知识点归纳
高中向量知识点归纳_数学_高中教育_教育专区。向量 一、平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 ...平面向量知识点总结
平面向量知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。平面向量知识点总结 平面向量基础知识复习 平面向量知识点小结一、向量的基本概念 1.向量的概念: 既有大小又...高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)
高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)_数学_高中教育_教育专区。56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 ( 2 ...高中数学平面空间向量知识点总结
高中数学平面空间向量知识点总结_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学平面空间向量知识点总结_数学_高中教育_教育专区。...高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修 4 知识点总结 平面向量知识点归纳新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 新疆源头学子 小屋 http://...高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结定比分点 定比分点公式(向量 P1P=λ?向量 PP2) 设 P1、P2是直线上的两点,P 是 l 上不同于 P1、P2的任意一点。...
更多相关标签：