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数学北师大版选修2-3计数原理原理课件 第一章 5.2


§5.2

5.2
学习要求
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二项式系数的性质

1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时 的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 学法指导 从联系的观点讨论二项式系数的性质,与杨辉三角结合, 同时,二项式系数组成的数列是一个函数,可以从函数的 角度,利用图像,数形结合进行思考.

填一填· 知识要点、记下疑难点

§5.2

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等距离 ” 在(a+b)n 展开式中,与首末两端“________ 对称性 n -m m C n 的两个二项式系数相等,即 Cn =_____. n+ 1 n+ 1 r 当 r< 时, 二项式系数 Cn逐渐增大; 当 r> 2 2 增减性 时,二项式系数 Cr 逐渐减小.当 n 是偶数时,
n

与最大 展开式中间一项 Tn 的二项式系数___ C 最大; 当n ?1 2 值 是奇数时, 展开式中间两项 Tn?1 与 Tn ?1 的二项式
C C 系数_____ ,_____ 相等且最大.
n ?1 2 n n ?1 2 n
2 2 ?1

n 2 n

填一填· 知识要点、记下疑难点

§5.2

各二项
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n 0 1 2 n 2 ①Cn+Cn+Cn+?+Cn=______.

2 4 1 3 5 式系数 ②C 0 + C + C +?= C + C + C n n n n n n +?=

的和

2n 1 ______.


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§5.2

探究点一
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“杨辉三角”的性质 (a+b)1?? (a+b)2?? (a+b)3?? (a+b)4?? (a+b)5?? (a+b)6?? 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 1 15 6 1

问题 1 观察(a+b)n 展开式的二项式系数

5 10 10 6 15 20

???????????? 找一些这些数的规律.

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§5.2


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(1)在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的


m n m 项的系数相等,即 C = C ; n n 本

(2)在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”
r 1 r 的两个数的和,即 Cr = C + C + n 1 n n.


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§5.2

问题 2 问题 1 中的表称为“杨辉三角”,杨辉三角有什么
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作用?
答 利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质,当二 项式的次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系 数.

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§5.2

例 1 如图所示,在杨辉三角中,斜线 AB 上 方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列: 1,2,3,3,6,4,10,?,记这个数列的前 n 项和
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为 Sn,求 S19.
1 解 由图知,数列中的首项是 C2 ,第 2 项是 C 2 2,第 3 项 1 2 1 是 C2 3,第 4 项是 C3,?,第 17 项是 C10,第 18 项是 C10,

第 19 项是 C2 11.
2 1 2 1 2 1 2 ∴S19=(C1 2+C2)+(C 3+C3)+(C4+C4)+?+(C10+C10)+ 1 1 1 1 2 2 2 C2 11=(C2+C3+C4+?+C10)+(C2+C3+?+C11)

?2+10?×9 3 = +C12 =274. 2

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§5.2

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小结 利用杨辉三角和二项式系数的关系,将问题转化,利 用组合数的性质求解问题.

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§5.2

跟踪训练 1

在“杨辉三角”中,每一个数都是它“肩上”

两个数的和,它开头几行如图所示.那么,在“杨辉三角” 中,第________行会出现三个相邻的数,其比为 3∶4∶5.
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第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1 5 1 4 1 3 1

1 1 2 3 6 10 4 10 1 1 1 5 1

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§5.2

解析 根据题意,设所求的行数为 n,则存在正整数 k,
k 1 k C 3 C 4 n n k-1 k k+1 使得连续三项 Cn ,Cn,Cn ,有 Ck =4且 k+1=5. Cn n k 3 k+1 4 化简得 = , = ,联立解得 k=27,n=62. n-k+1 4 n-k 5


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故第 62 行会出现满足条件的三个相邻的数.
答案 62

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§5.2

探究点二 问题 1


二项式系数的最值 Cr n 计算 r-1,并说明你得到的结论. Cn

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n-r+1 Cr n . r-1= r Cn

n+1 Cr n 当 r< 时, r-1>1,说明二项式系数逐渐增大; 2 Cn n+1 同理 r> ,二项式系数逐渐减小. 2

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§5.2

问题 2 二项式系数何时取得最大值?
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当 n 是偶数时,中间的一项取得最大值;
n ?1 2 n

当 n 是奇数时,中间的两项 C 大值.

,C

n ?1 2 n

相等,且同时取得最

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§5.2

例2

在(3x-2y)20 的展开式中,求:

(1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项.
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解 (1)二项式系数最大的项是第 11 项.
10 10 10 10 10 10 10 10 T11=C10 · 3 · ( - 2) x y = C 6 x y . 20 20·

(2)设系数绝对值最大的项是第 r+1 项,于是
- +1 r 19-r r+1 ? 320 r· 2r≥Cr · 3 · 2 ?C20· 20 ? r 20-r r r-1 21-r r-1 ? C · 3 · 2 ≥ C 3 · 2 ? 20 20 ·



? ?3?r+1?≥2?20-r? 化简得? ? ?2?21-r?≥3r



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§5.2

2 2 解之得 7 ≤r≤8 . 5 5
因为 r∈N,所以 r=8, 即 T9=C8 312· 28x12y8 是系数绝对值最大的项. 20·
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(3)由于系数为正的项为奇数项, 故可设第 2r-1 项系数最大(r∈N*),
2r-2 22-2r 2r-2 2r-4 24-2r 2r-4 ? C · 3 · 2 ≥ C 3 · 2 ? 20 20 · 于是? 2r-2 22-2r 2r-2 2r 20-2r 2r ? C · 3 · 2 ≥ C 3 · 2 ? 20 20· 2 ? 10 r +143r-1 077≤0 ? 化简得? 2 ? ?10r +163r-924≥0





解之得 r=5,即第 2×5-1=9 项系数最大.
12 8 12 8 T9=C8 · 3 · 2x y. 20

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小结 可根据已知条件确定 n 的值;展开式中二项式系数在 中间一项或中间两项取得最大值,要注意二项式系数和系数 的区别.

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§5.2

跟踪训练 2

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(1+2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相

等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
5 6 6 T6=C5 n(2x) ,T7=Cn(2x) ,

5 6 6 依题意有 C5 2 = C n n2 ?n=8.

∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=C4 (2x)4=1 120x4. 8· 设第 r+1 项系数最大,则有
-1 r r r-1 ? 2 ≥Cr · 2 ?C8· 8 ? r r r+1 r+1 ? C · 2 ≥ C 2 ? 8 8 ·

?5≤r≤6.

∵r∈{0,1,2,?,8},∴r=5 或 r=6.

∴系数最大的项为 T6=1 792x5,T7=1 792x6.

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§5.2

探究点三 问题 1
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二项式系数的和
0 2 2 怎样利用二项展开式(1+x)n=Cn + C1 nx+Cn x +?

r n n +Cr nx +?+Cnx ,求二项式系数的和.
0 1 2 n 答 在原式中令 x=1 可得 2n=Cn +Cn +Cn +?+Cn ,

故(a+b)n 展开式中各个二项式系数的和等于 2n.

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§5.2

问题 2


在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等
n 1 n-1 2 n-2 2 在展开式(a+b)n=C0 a + C a b + C b +?+ n n na

于偶数项的二项式系数的和,为什么?
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n-r r n n * Cr a b +?+ C b ( n ∈ N )中,令 a=1,b=-1,则得 n n

1 2 3 n n (1-1)n=C0 n-Cn+Cn-Cn+?+(-1) Cn,
2 1 3 即 0=(C0 n+Cn+?)-(Cn+Cn+?),
2 1 3 所以 C0 n+Cn+?=Cn+Cn+?,

即在(a+b)n 的展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和.

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§5.2

例3

在二项式(2x-3y)9 的展开式中,求:

(1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和;
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(4)系数绝对值的和.
解 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+?+a9y9.
0 1 2 9 (1)二项式系数之和为 C9 +C9 +C9 +?+C9 =29.

(2)各项系数之和为 a0+a1+a2+?+a9, 令 x=1,y=1,∴a0+a1+a2+?+a9=(2-3)9=-1. (3)由(2)知 a0+a1+a2+?+a9=-1, 令 x=1,y=-1,可得 a0-a1+a2-?-a9=59,

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§5.2

59-1 将两式相加可得 a0+a2+a4+a6+a8= , 2
即为所有奇数项系数之和.
(4)方法一
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|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|

=a0-a1+a2-a3+?-a9, 令 x=1,y=-1,则|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9| =a0-a1+a2-a3+?-a9=59. 方法二 |a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|即为(2x+3y)9 展开式中各项 系数之和,令 x=1,y=1 得,

|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|=59.

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§5.2

小结
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赋值法是求展开式系数和的常用方法,有时还要求奇

次项、偶次项系数的和,令其中字母等于 0,1,-1 是常见的 赋值方法.

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跟踪训练 3 设(3x-1)8=a8x8+a7x7+?+a1x+a0.求: (1)a8+a7+?+a1; (2)a8+a6+a4+a2+a0.
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令 x=0,得 a0=1; ①

令 x=1 得 a8+a7+?+a1+a0=28. (1)a8+a7+?+a1=28-1. (2)再令 x=-1 得 48=a8-a7+a6-a5+?+a2-a1+a0 ①+②得 48+28=2(a8+a6+a4+a2+a0), ∴a8+a6+a4+a2+a0=2· 47+27.



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§5.2

1.(1+x)2n
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+1

的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数 ( C ) B.n-1,n D.n+2,n+3

是 A.n,n+1 C.n+1,n+2
解析

(1+x)2n+1 展开式有 2n+2 项.

系数最大的项是中间两项,是第 n+1 项与第 n+2 项,
n+1 它们的二项式系数为 Cn 与 C 2n+1 2n+1.

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§5.2

? 1?10 2.?x-x? 的展开式中,系数最大的项是 ? ?

( D )

A.第六项
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B.第三项 C.第三项和第六项 D.第五项和第七项
解析 展开式第六项系数为-C5 10,
6 4 6 第五项和第七项系数为 C4 10、C10且 C10=C10.

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3.在(x+y)n 的展开式中,第 4 项与第 8 项的系数相等,则 展开式中系数最大的项是 A.第 6 项
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( A )

B.第 5 项 D.第 6、7 项

C.第 5、6 项

解析 由题意,得第 4 项与第 8 项的系数相等,则其二项 式系数也相等,
7 ∴C3 n=Cn,由组合数的性质,得 n=10.

∴展开式中二项式系数最大的项为第 6 项,它也是系数最 大的项.

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§5.2

4.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+?+a11(x+ 2)11,则 a0+a1+a2+?+a11 的值为 A.-2
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( A ) D.2

B.-1

C.1

解析 令 x=-1,则原式化为 [(-1)2+1][2× (-1)+1] 9=-2
=a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+?+a11(2-1)11, ∴a0+a1+a2+?+a11=-2.

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§5.2

1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出. 2. 求展开式中的系数或展开式中的系数的和、 差的关键是给
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字母赋值, 赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征 来确定.一般地对字母赋的值为 1 或-1,但在解决具体 问题时要灵活掌握. 3.注意以下两点: (1)区分开二项式系数与项的系数. (2) 求 解 有 关 系 数 最 大 时 的 不 等 式 组 时 , 注 意 其 中 r∈{0,1,2,?,n}的范围.


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