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平行与垂直的证明



平行与垂直的证明
一、线线平行的证明 方法: ①平行于同一直线的两直线平行。 ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行。 ③如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 ④垂直于同一平面的两直线平行。 ⑤向量法 1、 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, PA⊥底面 ABCD, PA=2, ∠PDA

=45°, 点 E、F、G 分别为棱 AB、PD、PC 的中点. 求证:AF∥EG

二、线线垂直的证明 方法: ①在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条斜线垂直。 ②在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的

射影垂直。 ③若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 ④一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 ⑤向量法 1、如图,l1 、l2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段。点 A、B 在 l1 上, C 在 l2 上, AM ? MB ? MN 。证明 AB ⊥ NB

2、 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, PA⊥底面 ABCD, PA=2, ∠PDA=45°, 点 E、F、G 分别为棱 AB、PD、PC 的中点.AF∥EG 求证: (1)AF⊥PC (2)EF⊥FC (3)EG 的射影⊥CD

三、 线面平行的证明 方法: ①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平 行。 ②两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ③向量法
D1
E
C1

1、如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
AB ? 2a , E、 F 分别为 C1D1 、 AA1 ? AD ? a ,

F

A 1
D
A

B1
C
B

A1 D1 的中点.

求证: AF // 平面 BDE

四、 线面垂直的证明 方法: ①如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平 面。

1.如图,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,平面 A1 AB ? 平面 ABC ,平面 A1 AC ? 平面 ABC ,
?BAC ? 90

, AB ? AC ? 2, AA1 ? 3。求证: A1 A ? 平面 ABC
A1 B1 C1

A C B

2.如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, PA⊥底面 ABCD, PA=2, ∠PDA=45°, 点 E、F、分别为棱 AB、PD 的中点.AF∥EG 求证:EG⊥面 PCD

3、在正三棱锥 D-ABC 中,F、G、H 分别是三条楞的中点,E 是底面的中心, 求证,DE⊥面 FGH

五、 面面平行的证明 方法: ①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 ②垂直于同一条直线的两个平面平行。 1.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 CB、CD、CC1 的中点, (1)求证:平面 A B1D1∥平面 EFG; (2)求证:平面 AA1C⊥面 EFG.
A1 D1 C1 B1

G

F D A B E

C

六、 面面垂直的证明 方法: ①一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 ②向量法 1、在如图所示的四面体 ABCD 中, AB、BC 、CD 两两互相垂直,且 BC ? CD ? 1 .求 证:平面 ACD
? 平面 ABC



2.在三棱锥 S ? ABC 中,已知点 D 、E 、F 分别为棱 AC 、SA 、SC 的中点.
EF ∥平面 ABC .

①求证:

②若 SA ? SC , BA ? BC ,求证:平面 SBD ⊥平面 ABC .
E D A

S

F C

B



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