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2016届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试数学(理)试题



哈尔滨市第六中学 2016 届高三上学期期中考试
理科数学试卷
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色的签字笔书写, 字迹清 楚; (3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的 1.若复数 z 满足 i ? z ? ?

A. ?

1 i 2

1 (1 ? i ) ,则 z 的共轭复数的虚部是( 2 1 1 B. i C. ? 2 2



D.

1 2

2. 已知全集为 R , 集合 M ? ? x | ( )

? ?

x ?1 ? 则集合 M ? (C R N ) ? ? 0? ,N ? x | (ln 2)1? x ? 1 , x?2 ?

?

?

A. ?? 1,1?

B. ?? 1,1?
2

C. ?1,2?
?m?2

D. ?1,2?


3.若幂函数 y ? (m2 ? 3m ? 3) ? x m

的图象不过原点,则 m 的取值是(

A. ? 1 ? m ? 2

B. m ? 1或m ? 2
2 2

C. m ? 2

D. m ? 1

4.设 x, y ? R ,则 " x ? 2且y ? 2" 是 " x ? y ? 4" 的( )

A. 充分不必要条件


B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条

5.已知向量 a ? (1,2) , a ?

A. ? 2

1 b ? (3,1) , c ? ( x,3) ,若 2a ? b // c ,则 x ? ( ) 2 B. ? 4 C. ? 3 D. ? 1

?

?

6 . 已 知 数 列 ?an ? 满 足 1 ? l o 3g an ? l o 3gan?1 (n ? N * ) , a2 ? a4 ? a6 ? 9 , 则

l o 1g(a5 ? a7 ? a9 ) ? (
3



A. ?

1 5

B.

1 5

C. ? 5

D. 5

?y2 ? x2 ? 0 P ( x , y ) 7. 已知 为区域 ? 内的任意一点, 当该区域的面积为 4 时,z ? 2 x ? y 的 0 ? x ? a ?
最大值是( )

A. 6

B. 0

C. 2

D. 2 2

第1页 共8页

8.设 ? ? ? 0,

1 ? sin ? ? ?? ? ?? ,则( ? , ? ? ? 0, ? , tan? ? cos ? ? 2? ? 2?



A. 3? ? ? ?

?
2

B. 2? ? ? ?

?
2

C. 3? ? ? ?
*

?
2

D. 2? ? ? ?

?
2

9 . 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 , 对 任 意 的 n ? N

都 有 an?1 ? a1 ? an ? n , 则

1 1 1 ? ??? ?( a1 a 2 a2016
A.

)

2015 2016

B.

4032 2017

C.

4034 2017


D.

2016 2017

10.一个四棱锥的三视图如图所示,则这个四棱锥的表面积是(

A.

9?2 3? 5 2 9?2 5 2

B.

9?2 3 2 11 ? 5 2

C.

D.

11.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 BC ? AC , ?A ?

?
3

, AC ? 4 , AA1 ? 4 , M 为

AA1 的中点, P 为 BM 的中点, Q 在线段 CA1 上, A1Q ? 3QC .则异面直线 PQ 与 AC 所
成角的正弦值为( )

A.

39 13 2 39 13

B.

2 13 13 13 13

C.

D.

12 .对于任意实数 a , b ,定义 min?a ,b? ? ?

? a, a ? b ,定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 ?b, b ? a

f ( x ? 4) ? f ( x) ,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? min 2 x ? 1,2 ? x ,若方程 f ( x) ? m x ? 0 恰
有两个根,则 m 的取值范围是( )

?

?

1? ?1 ? ? A. ?? 1,1?? ? ? ln 2,? ? ? ? , ln 2 ? 3? ? 3 ? ? 1? ?1 ? ? C. ?? 1,1? ? ? ? ln 2,? ? ? ? , ln 2 ? 2? ?2 ? ?

1? ?1 ? ? B. ?? 1,? ? ? ? ,1? 3? ? 3 ? ? ? 1 1? ?1 1? D. ? ? ,? ? ? ? , ? ? 2 3? ? 3 2?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
第2页 共8页

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案写在答题卡上相应的位置 13.

?

3 0

| x2 ? 1|dx ? _______
1 2 c ,则 4

2 2 14 . 在 ?A B C中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 a ? b ?

ac o B s ? _______________ c
15.已知 x, y ? R ,满足 x 2 ? 2 xy ? 4 y 2 ? 6 ,则 z ? x 2 ? 4 y 2 的取值范围________ 16.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体 积为 3 , AB ? 2 , AC ? 1, ?BAC ? 60? ,则此球的表面积等于_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 17.(本小题满分 10 分) 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单 位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos? ? sin ? ) . (1)求 C 的直角坐标方程;

1 ? x? t ? 2 ( 2 )直线 l : ? ( t 为参数)与曲线 C 交于 A, B 两点,与 y 轴交于 E ,求 ? 3 ?y ? 1? t ? 2 ?

EA ? EB .
18.(本小题满分 12 分) 在 △

ABC





A, B, C















a , b, c



tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a, c . 19.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2(an ? 1) ,数列 {bn } 满足:对任意 n ? N 有
?

a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2
(1)求数列 {an } 与数列 {bn } 的通项公式;

第3页 共8页

(2)记 c n ?

bn ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,证明:当 n ? 6 时, n 2 ? Tn ? 1 an

20.(本小题满分 12 分) 如图, PCBM 是直角梯形, ?PCB ? 90? , PM / / BC , PM ? 1, BC ? 2 , 又 AC ? 1, ?ACB ? 120? , AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ? (1)求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; (2)求三棱锥 P ? MAC 的体积.
C

P

M

A

B

21.(本小题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前五项和 S5 ? 20 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 {

1 } 的前 n 项和,若存在 n ? N * ,使得 Tn ? ? an ?1 ? 0 成立. an an ?1

求实数 ? 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ?

1 ? 2ax . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a ? (?3, ?2), x1 , x2 ??1,3? 恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求实数 m 的取值范围.

第4页 共8页

高三理科数学期中考试答案 选择:1-5 CDBAD,6-10 CABBA, 11-12 CA 填空:

22 5 , , [ 4,12 ],8? 3 8

解答题: 17 ( 1 )由

? ? 2 ? cos? ? sin? ?
2


2

? 2 ? 2? ? cos? ? sin ? ?

,得直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ;
(2)将 ? 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,化简得 t 2 ? t ? 1 ? 0 ,点 E 对应的参数

t ? 0 , 设 点 A , B 对 应 的 参 数 分 别 为 t1, t2 , 则 t1 ? t2 ? 1 , t1t2 ? ?1 , 所 以

| E A |? | E B? | 1| t ? |
18.(1)因为 tan C ?

2

|t ? |1 t|? 2 t ? ?|

1

t? ? 2 t ? 14t2 t?. 5
2

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B ,
得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) .所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立) . 即 2C ? A ? B , 得 C ?

?
3

,所以. B ? A ?

又因为 sin( B ? A) ? cos C ? (2) S?ABC ?

1 ? 5? ? 5? , 则B? A? , 或B? A? , (舍去)得 A ? , B ? . 2 6 6 4 12

2? . 3

a c 1 6? 2 ? , 即 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 ,又 sin A sin C 2 8

a c ? , 2 3 2 2

得 a ? 2 2, c ? 2 3. 19. ( 1 ) 当 n ? 1 时 , S1 ? a1 ? 2 ( a1 ?1, ) 所 以 a1 ? 2 , 当 n ?1 时 ,

an ? Sn ? Sn?1 ? 2(an ? an?1 ) , an ? 2an?1 , 又 a2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2a1 成立
所以数列 ?an ? 是以 a1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列,通项公式为 an ? 2n (n ? N ? ) .由题意有

a1b1 ? (1 ?1) ? 22 ? 2 ? 2 ,得 b1 ? 1 .
当 n ? 2 时, anbn ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ) ?(a1b1 ? a2b2 ? ?? an?1bn?1 )
n ?1 n n ?? 验证首项满足, 于是得 bn ? n 故数列 ?bn ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2 ? ?? ? ? ( n ? 2) ? 2 ? 2 ? ? ? n?2 ,

的通项公式为 bn ? n (n ? N ) .

?

第5页 共8页

(2) 证明: Tn = 错位相减得 Tn = 下 证 : 当

n 1 1 2 n b 1 2 b1 b2 ? ? ? ? n = ? 2 ? ? ? n ,所以 Tn = 2 ? 3 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 a1 a2 an 2 2

1 2

1 1 1 1 n n?2 n?2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,所以 Tn ? 2 ? n ,即 2 ? Tn ? n , 2 2 2 2 2 2 2

n?6





n(n ? 2n

2 ) ?1 ,



f ( n)

=

n(n ? 2) 2n



f (n ? 1) ? f (n) =

(n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n2 = n?1 ? 2n?1 2n 2

当 n ? 2 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 ,即当 n ? 2 时, f (n) 单调减,又 f (6) ? 1 , 所以当 n ? 6 时, f (n) ? 1 ,即 20.
n(n ? 2) ? 1 ,即当 n ? 6 时, n 2 ? Tn ? 1 2n

? ? (1) PC ? AB ? ? PC ? 面ABC , PC ? 面PAC ? 面ABC ? 面ABC AB ? BC ? B ? ?
(2) VP ? MAC ? V A? PMC ?

PC ? BC

1 1 3 3 ? ?1?1? ? 3 2 2 12

5? 4 ? d ? 20 ?5a1 ? 21.(1)设 {an } 的公差为 d ,由已知得 ? 2 ?( a ? 2 d ) 2 ? a ( a ? 6 d ) 1 1 ? 1

? ?d ? 1 ?a1 ? 2d ? 4 即? 2 ,? d ? 0,? ? ,故 an ? n ? 1(n ? N * ) ? ?a1 ? 2 ?2d ? a1d
(2)?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?Tn ? ? ? ? ? ? ? ? an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 2 3 3 4 n ?1 n ? 2

?

1 1 n ? ? ∵存在 n ? N * ,使得 Tn ? ? an ?1 ? 0 成立 2 n ? 2 2(n ? 2) n n ? ? (n ? 2) ? 0 成立,即 ? ? 有解 2(n ? 2) 2( n ? 2) 2
1 1 ? , n ? 2 时取等号 4 2(n ? ? 4) 16 n

∴存在 n ? N * ,使得

?? ? {

n n } 而 ? 2 max 2(n ? 2) 2(n ? 2)2

?? ?

1 . 16

22.试题解析:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .
第6页 共8页

1 1 ? 4 ,令 f ?( x) ? ? 2 ? 4 =0 , 2 x x 1 1 得 x1 ? ; x2 ? ? (舍去) . 2分 2 2 f ?( x) ? ?
当 x 变化时, f ? ? x ? , f ( x) 的取值情况如下:

x
f ? ? x?
f ( x)

1 (0, ) 2
— 减

1 2
0 极小值

1 ( , ??) 2

?


1 4分 2 2?a 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2 ? 2a ? (Ⅱ) f ?( x) ? , x x x2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? ? , 5分 2 a
所以,函数 f ( x ) 的极小值为 f ( ) ? 4 ,无极大值. 当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的在定义域 (0, ??) 单调递增; 6 分 当 ?2 ? a ? 0 时,在区间 (0, ) , (?

1 2

1 , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, a
7分

在区间 ( , ? ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;

1 2

1 a

当 a ? ?2 时,在区间 (0, ? ) , ( , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 在区间 ( ?

1 a

1 2

1 1 , ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. a 2

8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? (?3, ?2) 时,函数 f ( x) 在区间 ?1.3? 单调递减; 所以,当 x ??1.3? 时, f ( x)max ? f (1) ? 1 ? 2a ,

1 f ( x) min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3
问题等价于:

1 ? 6a 成立, 1 3 2 2 ? 13 1 ? 4a 1 ?4 , 所 以 m ? ? ? 4 , am ? ? 4a, m ? 即 am ? 1 ? 4a, m ? a a 3 3a 3
对任意的 a ? (?3, ?2) ,恒有 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 1? 2a ? (2 ? a ) ln 3? 12 分

第7页 共8页

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