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青海省西宁市2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析



青海省西宁市 2014-2015 学年高一上学期第二次月考数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1.满足 A∪{﹣1,1}={﹣1,0,1}的集合 A 共有() A.10 个 B. 8 个 C. 6 个 2.函数 A.(﹣∞,9] 的定义域为() B.(0,27] C.(0,9] D.(﹣∞,27]

D.4 个

r />
3.已知函数 f(x)=

,则

的值为()

A.
0.5 6

B.

C.﹣2

D.3

4.三个数 6 ,0.5 ,log0.56 的大小顺序为() 6 0.5 6 0.5 A.0.5 <log0.56<6 B. 0.5 <6 <log0.56 0.5 6 6 0.5 C. log0.56<6 <0.5 D.log0.56<0.5 <6 5.函数 f(x)=log2x+x﹣4 的零点所在的区间是() A. B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

6.已知 θ 是第三象限的角,且 cos A.第一象限的角 7.函数 A. B.

<0,那么

为() D.第四象限的角

B.第二象限的角

C.第三象限的角

的图象的一个对称轴方程是() C. D.

8.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R(其中 ω>0, ,则() A. B. C.

)的最小正周期是 π,且

D.

9.设函数 f(x)=sin(2x﹣ A.最小正周期为 π 的奇函数

) ,则 f(x)是() B. 最小正周期为 π 的偶函数

C. 最小正周期为

的奇函数

D.最小正周期为

的偶函数

10.已知 A. B.

,则 sinαcosα=() C. 或 D.

11.为了得到函数 A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度

的图象,只需把函数 B. 向右平移 D.向右平移
x

的图象() 个单位长度 个单位长度

12.二次函数 y=x +bx 与指数函数 y=b 的图象只可能是()

2

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 2 13.f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,则 f(3.5)=.

14.lg20﹣lg2﹣log23×log32+2
3

=.

15.已知函数 f(x)=ax +bsinx+1 且 f(1)=5,则 f(﹣1)=. 16.下列说法: ①平行向量一定相等; ②不相等的向量一定不平行; ③共线向量一定相等; ④相等向量一定共线; ⑤长度相等的向量是相等向量; ⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量. 其中,说法错误的是.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (1)已知 tanα=2,求 (2)已知 sin( +α)= ,求 cos( ﹣α)的值.

18. (1)已知 tanα= ,α 是第三象限角,求 sinα,cosα 的值 (2)求证:tan α﹣sin α=tan αsin α
2 2 2 2

19.若函数 y=f(x)= (1)求 a 的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域. 20.已知函数 f(x)=2sin(ω x﹣

为奇函数.

)+ (ω>0)的最小正周期 π

(1)求 ω 的值 (2)求函数 f(x)的对称中心和单调增区间 (3)求函数 f(x)在区间[0, ]上的值域.

21.已知函数 y=3sin(2x+

) ,x∈R

(1)用五点法作函数的图象 (2)求函数的最小正周期,频率,相位,初相及最值. 22.季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为 10 元,并且 每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售;10 周后当季节即将过去时, 平均每周削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (Ⅰ)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式; (Ⅱ) 若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=﹣0.125 (t﹣8) +12,t∈[0,16],t∈N, 试问该服装第几周每件销售利润最大?最大值是多少?(注:每件销售利润=售价﹣进价)
2

青海省西宁市 2014-2015 学年高一上学期第二次月考数 学试卷

一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1.满足 A∪{﹣1,1}={﹣1,0,1}的集合 A 共有() A.10 个 B. 8 个 C. 6 个

D.4 个

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据题意,分析可得,集合 A 中必须有元素 0,可能含有元素 1 或﹣1,由此列举 可得全部可能的集合 A,即可得答案. 解答: 解:根据题意,集合可能为{0}、{0,1}、{0,﹣1}、{0,1,﹣1}, 共有 4 个. 故选:D. 点评: 本题考查集合并集的性质,关键是由并集的定义,分析得到集合 A 中必须有的元 素和可能有的元素. 2.函数 A.(﹣∞,9] 的定义域为() B.(0,27] C.(0,9] D.(﹣∞,27]

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由二次根式的定义可知 3﹣log3x≥0,结合对数函数的性质可推导出函数的定义域. 解答: 解:由题设条件知 3﹣log3x≥0 解得 0<x≤27. ∴函数的定义域为{x|0<x≤27}. 故选 B. 点评: 本题考查对数函数的特点,解题时要注意等于 0 的情况,属于基础题.

3.已知函数 f(x)=

,则

的值为()

A.

B.

C.﹣2

D.3

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f( )= =﹣2,由此能求出 =f(﹣2)=3 = .
﹣2

解答: 解:∵函数 f(x)=



∴f( )=

=﹣2,

=f(﹣2)=3 = . 故选:A. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,利用分段函数的性质求解. 4.三个数 6 ,0.5 ,log0.56 的大小顺序为() 6 0.5 6 0.5 A.0.5 <log0.56<6 B. 0.5 <6 <log0.56 0.5 6 6 0.5 C. log0.56<6 <0.5 D.log0.56<0.5 <6 考点: 不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数和对数函数的单调性即可选出答案. 解答: 解:∵log0.56<log0.51=0,0<0.5 <0.5 =1,1=6 <6 , 6 0.5 ∴log0.56<0.5 <6 , 故选 D. 点评: 熟练掌握对数函数和指数函数的单调性是解题的关键. 5.函数 f(x)=log2x+x﹣4 的零点所在的区间是() A. B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
6 0 0 0.5 0.5 6

﹣2

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 连续函数 f(x)=log2x+x﹣4 在(0,+∞)上单调递增且 f(2)=﹣1<0,f(3) =log23﹣1>0,根据函数的零点的判定定理可求 解答: 解:∵连续函数 f(x)=log2x+x﹣4 在(0,+∞)上单调递增 ∵f(2)=﹣1<0,f(3)=log23﹣1>0 ∴f(x)=log2x+x﹣4 的零点所在的区间为(2,3) 故选 C 点评: 本题主要考查了函数零点 定义及判定 的应用,属于基础试题

6.已知 θ 是第三象限的角,且 cos A.第一象限的角

<0,那么

为() D.第四象限的角

B.第二象限的角

C.第三象限的角

考点: 三角函数值的符号. 专题: 计算题. 分析: 根据角 θ 是第三象限的角先判断出 判断出 所在的象限. 是第二或第四象限角, 所在的象限,再由 的余弦值的符号进一步

解答: 解:因为 θ 是第三象限的角,所以

由因 cos

<0,所以

是第二象限的角,

故选 B. 点评: 本题的考点是三角函数值得符号判断, 需要利用题中三角函数的不等式、 角所在的 象限和“一全正二正弦三正切四余弦”对角的终边位置进行判断. 7.函数 A. B. 的图象的一个对称轴方程是() C. D.

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 应用题. 分析: 令 2x+ =kπ+ ,k∈z,解得 x= ,k∈z,此直线即为函数

的图象的一个对称轴. 解答: 解:令 2x+ =kπ+ ,k∈z,可得 x= ,k∈z,

故选 C. 点评: 本题考查正弦函数的对称性,是一道基础题. 8.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R(其中 ω>0, ,则() A. B. C. D.

)的最小正周期是 π,且

考点: 三角函数的周期性及其求法. 分析: 先根据最小正周期求出 ω 的值,再由 围可确定出答案. 解答: 解:由 ∵ . .由 求出 sinφ 的值,再根据 φ 的范 .

故选 D 点评: 本题主要考查三角函数解析式的确定.属基础题.

9.设函数 f(x)=sin(2x﹣ A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数

) ,则 f(x)是() B. 最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数

考点: 余弦函数的奇偶性;诱导公式的作用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 综合题. 分析: 先利用诱导公式将原函数变换为 f(x)=﹣cos2x,再利用 y=Acos(ωx+φ)的周期 公式和偶函数的定义证明函数的周期性和奇偶性即可 解答: 解:∵函数 =﹣cos2x =π

∴f(﹣x)=﹣cos(﹣2x)=﹣cos2x=f(x)且 T=

∴函数 f(x)是最小正周期为 π 的偶函数 故选 B 点评: 本题考察了三角函数的图象和性质,y=Acos(ωx+φ)型函数的周期性和奇偶性的 判断方法

10.已知 A. B.

,则 sinαcosα=() C. 或 D.

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式知 tanα=﹣2, 将所求关系式转化为: 从而可得答案. 解答: 解:∵sin(3π﹣α)=﹣2sin( ∴sinα=﹣2cosα, ∴tanα=﹣2, ∴sinαcosα= = = =﹣ , + α) , = ,

故选:A. 点评: 本题考查同角三角函数间的基本关系,着重考查诱导公式与二倍角的正弦,“弦” 化“切”是关键,考查转化思想,属于中档题. 11.为了得到函数 A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度 的图象,只需把函数 B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度 的图象()

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题.

分析: y=sin(2x+

)的图象

即可得 y=sin(2x+

)的图象.

解答: 解: ∵y=sin (2x+

) 的

y=sin[2 (x+

) +

]=sin (2x+

) ,

故选 C. 点评: 本题考查三角函数图象的平移,关键在于掌握平移方向与平移单位,属于中档题. 12.二次函数 y=x +bx 与指数函数 y=b 的图象只可能是()
2 x

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数开口方向和对称轴排除即可. 也可以分类讨论字母 b 的范围, 分别画 函数图象. 解答: 解;由 y=x +bx 可知,函数图象开口向上,x=﹣ 是对称轴,由 y=b 可知,b>0, 可见二次函数的对称轴在 y 轴左侧,故答案只有选 A. 故选:A 点评: 本题考查函数图象的可能性,属于基础题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,则 f(3.5)= .
2 2 x

考点: 专题: 分析: 解答:

函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 直接利用函数的周期性以及函数的奇偶性求解即可. 2 解:f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,则 f(3.5) = .

=f(﹣0.5)=f(0.5)= 故答案为: .

点评: 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性,考查计算能力.

14.lg20﹣lg2﹣log23×log32+2

= .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数运算性质计算即可 解答: 解:lg20﹣lg2﹣log23×log32+2 ﹣lg2﹣1+ = , 故答案为: 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题 15.已知函数 f(x)=ax +bsinx+1 且 f(1)=5,则 f(﹣1)=﹣3. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 3 分析: 利用 f(x)=ax +bsinx+1,构造方程组,求 f(﹣1) . 解答: 解:由 f(1)=5 得 a+bsin 1=4, ∴f(﹣1)=﹣a﹣bsin 1+1=﹣(a+bsin 1)+1=﹣4+1=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查函数奇偶函数的应用.构造方程组是解决本题的关键. 16.下列说法: ①平行向量一定相等; ②不相等的向量一定不平行; ③共线向量一定相等; ④相等向量一定共线; ⑤长度相等的向量是相等向量; ⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量. 其中,说法错误的是①②③⑤⑥. 考点: 平行向量与共线向量;相等向量与相反向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用相等向量、共线向量的意义即可判断出. 解答: 解:①平行向量不一定相等,因此①不正确; ②不相等的向量可能平行,因此②不正确; ③共线向量不一定相等,因此③不正确; ④相等向量一定共线,正确; ⑤长度相等的向量是不一定相等向量,因此⑤不正确;
3

=lg(10×2)﹣lg2﹣log23×

+ =1+lg2

⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量, 不一定正确. 例如: 给出不共线的非零向量 , ,它们都与 平行,当时 , 不共线. 综上可得:说法错误的是①②③⑤⑥. 故答案为:①②③⑤⑥. 点评: 本题考查了相等向量、共线向量的意义,属于基础题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (1)已知 tanα=2,求 (2)已知 sin( +α)= ,求 cos( ﹣α)的值.

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由已知,切化弦后代入即可求值; (2)由角的公式可知( +α)+( ﹣α)= ,从而可求 cos( ﹣α) .

解答: 解: (1)∵tanα=2,

∴原式=

=

= ,

(2)∵( ∴ ﹣α=

+α)+( ﹣(

﹣α)=



+ α) , ﹣( +α)]=sin( +α)= .

∴cos(

﹣α)=cos[

点评: 本题主要考察了三角函数的化简求值, 熟练应用公式是解题的关键, 属于基本知识 的考查.

18. (1)已知 tanα= ,α 是第三象限角,求 sinα,cosα 的值 (2)求证:tan α﹣sin α=tan αsin α 考点: 三角函数的化简求值;三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题;三角函数的求值. 分析: (1) 由同角三角函数关系式可得 cos α=
2 2 2 2 2

, α 是第三象限角, 从而可求 sinα, cosα

的值 (2)切化弦后,提取公因式,由同角三角函数关系式即可证明.

解答: 解: (1)tanα= ∵sin α+cos α=1 ∴ cos α+cos α=1
2 2 2 2 2

= ,∴sinα= cosα

故 cos α=

,α 是第三象限角, .
2

∴cosα=﹣ ,sin

(2)证明:左边= =sin α(
2

﹣sin α

﹣1)

=sin α =tan αsin α=右边. 点评: 本题主要考察了三角函数的化简求值, 三角函数恒等式的证明, 属于基本知识的考 查.
2 2

2

19.若函数 y=f(x)= (1)求 a 的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域.

为奇函数.

考点: 函数的值域;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)运用奇函数的定义,即可求出 a; x (2)由 3 ﹣1≠0,即 x≠0,即可得到定义域; (3)由指数函数的值域,以及不等式的性质,即可得到值域. 解答: 解∵函数 (1)由奇函数的定义,可得 f(﹣x)+f(x)=0, 即 , ,

∴a=﹣ ; (2)∵ ,∴3 ﹣1≠0,即 x≠0.
x

∴函数 y=﹣ ﹣
x

的定义域为{x|x≠0};

(3)∵x≠0,∴3 ﹣1>﹣1. x x x ∵3 ﹣1≠0,∴0>3 ﹣1>﹣1 或 3 ﹣1>0. ∴﹣ ﹣ > 或﹣ ﹣ <﹣ .

即函数的值域为{y|y> 或 y<﹣ }. 点评: 本题考查函数的定义域和值域的求法,考查函数的奇偶性和运用,考查运算能力, 属于基础题.

20.已知函数 f(x)=2sin(ω x﹣

)+ (ω>0)的最小正周期 π

(1)求 ω 的值 (2)求函数 f(x)的对称中心和单调增区间 (3)求函数 f(x)在区间[0, ]上的值域.

考点: 三角函数的最值;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由 =π,解 ω 即可; )+ ,整体法可得对称中心和单调区间;

(2)由(1)知 f(x)=2sin(2x﹣

(3)由的范围,结合三角函数的性质逐步计算易得值域. 解答: 解: (1)由题意可得 =π,解得 ω=2; )+ ,

(2)由(1)知 f(x)=2sin(2x﹣ 由 2x﹣ =kπ 可得 x= + + ,

∴对称中心为( 由 2kπ﹣ ≤2x﹣

, ) ,k∈Z 可得 kπ﹣ ,kπ+ ∈[ ≤x≤kπ+ ,

≤2kπ+

∴单调增区间为:[kπ﹣ (3)∵x∈[0, ∴sin(2x﹣

],k∈Z , ],

],∴2x﹣

)∈[﹣ ,1],

∴2sin(2x﹣

)+ ∈[

, ], ]上的值域为[ , ]

∴函数 f(x)在区间[0,

点评: 本题考查三角函数的周期性和单调性,以及最值,属基础题. ) ,x∈R

21.已知函数 y=3sin(2x+

(1)用五点法作函数的图象 (2)求函数的最小正周期,频率,相位,初相及最值. 考点: 三角函数的周期性及其求法;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据五点法作图的方法先取值,然后描点即可得到图象. (2)直接求出函数的最小正周期,频率,相位,初相及最值即可. 解答: 解: (1)列表: x 2x+ 3sin(2x+ ﹣ 0 )0 3 π 0 ﹣3 2π 0

描点、连线如图所示.

(2)函数的周期是:

,频率为: f= =

,相位 2x+

,初相:

,最大值为 3,

最小值为﹣3. 点评: 本题主要考查三角函数的图象的作法,利用五点法是解决三角函数图象的基本方 法. 22.季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为 10 元,并且 每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售;10 周后当季节即将过去时, 平均每周削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (Ⅰ)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式;

(Ⅱ) 若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=﹣0.125 (t﹣8) +12,t∈[0,16],t∈N, 试问该服装第几周每件销售利润最大?最大值是多少?(注:每件销售利润=售价﹣进价) 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (Ⅰ)周次为 t,对 t 进行分类研究,根据题意即可列出价格 P 与 t 之间的函数关 系式; (Ⅱ)分段由 P﹣Q 得到销售此服装的利润 L 与周次 t 的关系式,然后利用二次函数的单调 性分段求最大值,最后取三段中最大值的最大者即可得到答案. 解答: 解: (Ⅰ)根据题意可得, P={10+2t,t∈[0,5] 20,t∈(5,10] 40﹣2t,t∈(10,16]; (Ⅱ)设销售此服装每件的利润为 L(元) ,

2

则 L=P﹣Q=

=
2



①当 0≤t≤5 时且 t∈N,函数 L=0.125t +6 在区间[0,5]上单调递增, 故当 t=5 时,Lmax=9.125; 2 ②当 5<t≤10 时且 t∈N,函数 L=0.125t ﹣2t+16 在区间(5,8)上单调递减,在(8,10) 上单调递增, 故当 t=6 或 10 时,Lmax=8.5; 2 ③当 10<t≤16 且 t∈N,函数 L=0.125t ﹣4t+36 在区间(10,16]上单调递减, 故当 t=11 时,Lmax=7.125. 综合①②③可得,当 t=5 时,Lmax=9.125, 答:第 5 周时,每件销售利润最大为 9.125 元. 点评: 本题考查了函数模型的选择与应用. 建立的数学模型为分段函数, 求解分段函数的 最值问题.解决实际问题通常有四个步骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号, 建立数学模型; (3)利用数学的方法,得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中 关键是建立数学模型.属于中档题.



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