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向量平行坐标表示


复习

平面向量的坐标表示
在直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底,对任意一 个向量a,有且只有一对实数x、y,使得 a=xi+yj ① 则将向量记作 a=(x,y) ②

向量的坐标运算法则

? ? a = ( x , y ) ,b = ( x , y ) 1 1 2 2 ? ? a ?+b ? = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

? ? a ? (? x1 , ? y1 )

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

注1.位置向量坐标=终点坐标!
自由向量坐标=终点坐标?起点坐标!

向量平行的坐标表示
设向量 a=(x1,y1),
b=(x2,y2)(a≠0), 如果 那么 那么 a∥b, x1y2-x2y1=0; a∥b.?

反过来,如果x1y2-x2y1=0, 请思考:条件 a≠0 能去掉吗?

证明 a=(x1, y1),b=(x2, y2), 因为a≠0,所以x1,y1不全为0. 不妨假设 x1 ≠0. (1) 如果a∥b, 则存在实数λ,使b=λa, 即: (x2, y2 )=λ (x1, y1)=(λx1,λy1 ),
所以 x2 = λx1 ① 因为x1≠0,由①得 y2=λy1 ② x2 ③ λ= x1 x2 将③代入②,得 y2 ? y1 ,



x1 y2- x2 y1=0.

x1

(2) 反之,如果x1 y2- x2y1=0 , 因为x1 ≠0,
x2 所以 y2 = y1 . x1

x2 (x2,y2)= (x2, y1 ) x1 x2 = (x1,y1), x1

x2 令 λ= ,则b=λa,所以a∥b. x1

练习

1. 已知向量a=(4,2),b=(6, y),且a∥b,
求实数y的值? 2. 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A,B,C三点之间的位置关系.?

3.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上
一点,且P1P=mPP2,求点P的坐标.

运用 例1 已知a=(1,0),b=(2,1),当实数k 为何值时,向量ka-b与a+3b平行?并确定 此时它们是同向还是反向.



ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1), a+3b=(1,0)+3(2,1)=(7,3). 由向量平行的条件可得 3· (k-2)-(-1)· 7= 0, 所以 k=-1/3. 此时, ka-b= (-7/3,-1)=-1/3(7,3) =-1/3 (a+3b) . 因此,它们是反向的.

运用
例2 已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0), (3,4), (-1,2), (1,1) ,是否存在常数t,使得OA+tOB=OC 成立?解释你所得结论的几何意义.? 解 设存在常数t,使得OA+tOB=OC , 则(3,4)+t(-1,2)=(1,1), 所以 t(-1,2)=(1,1)-(3,4)=(- 2,-3) ?-t = -2 所以 ? ? 2t = -3 此方程组无解, 故不存在这样的常数t. 上述结论表明向量AC与OB不平行.?

练习

4. 已知平行四边形ABCD的三个顶点 的坐标分别为A(2,1),B(-1,3),C(3,4),求 第四个顶点D的坐标.? (6,2) 5.设A,B,C,D坐标依次为(?1,0),(0,2), (4,3), (3,1) , 则四边形ABCD是 ( D ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 6.已知:A(1,-2),若AB与a=(2,3)同向, |AB|=2?13,求点B的坐标.?

练习

证明:BC=(1,2) BA=(-2, -4) 因为BA= -2 BC , 所以BA与BC共线, 而BA与BC有公共点B, 所以A,B,C三点共线.

小结

课堂小结: 1.知识—向量平行的坐标表示;

2.数学思想—数形结合.


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