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一道竞赛题的拓展与证明



2 0 1 1 年第 6期 

1 9  

1 ) , 即 m>  n 3 , 则 方程  )= 0仅有 的 一个 


道 竞赛题 的拓展 与证 明  
凌 云 志 
( 安徽 省 黄 山 市 黄 山 区教 育 局 教研 室 , 2 4 5 7 0 0 )   中 图 分类 号 :0

1 2 2 . 5   文献标识码 : A  

正 实根 z = 孝>n . 由图像 可 知 , 仅当z ≥ 时 ,  
z ) >0 i . 于是 ,  
I   I+ I YI+ l  I= I   +Yl+  


I   —zl+   =2 z—n≥2  —   >n .  

文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 1 ) o 6— 0 0 1 9— 0 1  




/t z )  

题目

已知实 数 x , y 、  满 足 
.  

号   /  
 
团 1   囝 2  

x y z= 3 2,   +, , +   =4.  

则  +l y I +   的最小 值 为一

( 2 o l o, 湖北省 高 中数学竞 赛 )  
答案: l 2 .  

拓展 题

已知实数 x , y 、 z 满足 

( 2 )  

号 ) = o ( 女 Ⅱ 图 2 ) , 即 m =  ,  

x y z :m,  + y+ z =n , 常数 m、 , l > 0 .  

则  z ) 有两个零点 z = 了 n、  . 故 

若 m>   I   i ' 1 " 3则 I  I +I ) , l +   的最 小值 


) ≥ 0 甘   = 弘。 ≥   (   ) .   当   = 子 时 ,  
I  l+ l yI+ I z l= l   n一  l+   =n:  

为2  一n , 其 中,   (  > / 7 , ) 是方 程 





2地  + n   2—4m :0  

仅 有 的一个正 实根.  

若 m≤  
为n .  

, 则J  f +J  J +I  J 的最 小 值 

当z  ̄r ( s r >n ) 时,  
I   l+ l YI+ I   I= l   n 一 I+   =2 z 一/ 1 . ≥2  一, l> n .  

证明

易 知 、 Y 、 z 不 可 能 全 负. 不 妨 假 

( 3)若 极 值 

设z > 0 . 则x , y同号 , 且是方 程 
t   一( n— z ) £ +旦 = 0   的两个 根.  

号 ) > 0 ( 女 Ⅱ 图 3 ) ,  
即 m <   n 3 , 则  ) 有z :   l 、 Z 2 、 z 3   三个 零点.  

故 △:( n— z )  一   ≥0 (  > 0 )  
§  z ) :  ( t , / 一   )  一 4 m≥0 .  
注意 到 

图3  

故  z ) 10§ z > 1 ≤z ≤z 2 或z ≥  3 .  
当 1 ≤   z 2 日 寸, 由 0< z l ≤  ≤   <n , 知 

f   (   )=( 3 z —n ) ( z —n ) ,  
且  0 )   n )=- 4 m,  

+ Y=n—  > 0 ( x , y>0 ) , 故 
l xI+ l Yl+ l zI= n:  

则  )= 2  一 2   十/ / ' , 2 z一4 m 的 图像 有 以下 
三种情形 .  

当z > - . z 3 ( z 3 >n ) 时,  
I   I+ I ) , l+ l   I= I   n —zI+z  
=2 z— n≥ 2   3一n >n.  

( 1 ) 若 极 值 , n 一 ) =   g   n 3 ~ 4 m < 0 ( 如 图  

综上 , 所证 结论 成立.  



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