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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数单元质检 文 北师大版


单元质检二

函数
单元质检卷第 3 页

(时间:100 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) x-1 1.设集合 M={x|2 <1,x∈R},N={x|lox<1,x∈R},则 M∩N 等于(

)

A. B.(0,1) C. D.(-∞,1) 答案:A 解析:M={x|x<1},N=, 则 M∩N=,故选 A. 2.(2015 山西大同高三调研)已知函数 f(x)=则 f(5)的值为( ) A. B. C.1 D. 答案:C 解析:f(5)=f(5-1)=f(4)=f(4-1)=f(3)=sin=1,故选 C. 3.(2015 北京延庆模拟)下列函数是奇函数,并且在定义域上是增函数的是( ) A.y=B.y=ln |x| C.y=sin x D.y= 答案:D 解析:∵y=ln|x|为偶函数,故排除 B;y=-,y=sin x 在其定义域上无单调性,故排除 A,C,选 D. 4.(2015 河北邯郸高三摸底)函数 f(x)=2x-tan x 在上的图像大致为( )

答案:D 解析:函数 f(x)=2x-tan x 是奇函数,其图像关于原点成中心对称, 又 f-tan-1>0,当 x→时,f(x)→-∞,故选 D. x 5.若方程 lo(a-2 )=2+x 有解,则 a 的最小值为( ) A.2 B.1 C. D.?导学号 32470564? 答案:B x 解析:若方程 lo(a-2 )=2+x 有解, x 则=a-2 有解, x 即+2 =a 有解, ∵+2x≥1, x 当且仅当=2 ,即 x=-1 时,等号成立,故 a 的最小值为 1,故选 B. 6.(2015 河北正定中学月考)已知函数 f(x)=-sin x,则 f(x)在[0,2π ]上的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4?导学号 32470565? 答案:B 解析:函数 f(x)=-sin x 在[0,2π ]上的零点个数为函数 y=的图像与函数 y=sin x 的图像在[0,2π ] 内的交点个数,在同一坐标系内画出两个函数的图像如图所示,由图像可知,两函数在区间[0,2π ] 内有两个不同的交点,故选 B.

7.(2015 北京昌平区高三质检)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经 历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这只股票的盈亏情况 (不考虑其他费用)是( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 1

答案:B 解析:设这只股票购进价格为 a,则这只股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停 n n n (每次下跌 10%)后的价格为 a(1+0.1) (1-0.1) =a(1-0.01) <a.所以该股民这只股票有亏损. 8.

如图,把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A(0,1),一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周, 记的长为 x,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0),则函数 t=f(x)的图像大致为( )

?导学号 32470566? 答案:D 解析:当 x 由 0→时,t 从-∞→0 是增加的;当 x 由→1 时,t 从 0→+∞是增加的,故排除 A,B,C,故选 D. 9.(2015 辽宁五校联考)设函数 f(x)=loga|x|在(-∞,0)上是增加的,则 f(a+1)与 f(2)的大小关系是 ( ) A.f(a+1)>f(2) B.f(a+1)<f(2) C.f(a+1)=f(2) D.不能确定?导学号 32470567? 答案:A 解析:由已知得 0<a<1,所以 1<a+1<2,又易知函数 f(x)为偶函数,故可以判断 f(x)在(0,+∞)上是减 少的,所以 f(a+1)>f(2). 10.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1,y2 分别是 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( ) A.5 千米处 B.4 千米处 C.3 千米处 D.2 千米处 答案:A 解析:设仓库到车站距离为 x 千米,由题意得,y1=,y2=k2x,其中 x>0,当 x=10 时,代入两项费用 y1,y2 分 别是 2 万元和 8 万元,可得 k1=20,k2=,y1+y2=x≥2=8,当且仅当 x,即 x=5 时取等号,故选 A. 11.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47),b=f(lo3),c=f(0.2-0.6),则 a,b,c 的大小关系是( ) A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<b<c 答案:A 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 又∵f(x)在(-∞,0]上递增,且关于 y 轴对称, ∴f(x)在(0,+∞)上递减. ∵log47=log2>1, 而 f(lo3)=f(-log23)=f(log23),且 log23>1, 又∵<3,∴1<log2<log23<2. 而 f(x)在(0,+∞)上递减, ∴f(log2)>f(log23),即 a>b. -0.6 又∵0.2 =>2, ∴1<log23<0.2-0.6. 2

∴f(log23)>f(0.2-0.6),故 b>c.∴a>b>c. 12.(2015 山西忻州一中月考)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,对于任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立;当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有>0.给出下列四个命题:①f(3)=0;②直线 x=-6 是函数 y=f(x)图像的一条对称轴;③函数 y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数 y=f(x)在[0,2 014]上有 335 个零点.其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4?导学号 32470571?
答案:B 解析:令 x=-3,得 f(3)=f(-3)+f(3),又 y=f(x)是偶函数,故 f(3)=0,①正确; 因为 f(x+6)=f(x),所以 y=f(x)是周期为 6 的周期函数,因为 x=0 是一条对称轴,故 x=-6 是函 数 y=f(x)图像的一条对称轴,②正确; 函数 y=f(x)在[-9,-6]上的单调性与[-3,0]的单调性相同,因为函数在[0,3]上递增,故在[-3,0] 上递减,③错误;y=f(x)在每个周期内有一个零点,区间[0,6),[6,12),…,[2 004,2 010)分别有一 个零点,共有 335 个周期,在区间[2 010,2 014)内有一个零点为 2 013,故零点共有 336 个,④错误. 综上所述,正确的命题为①②. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) -3 13.(2015 北京,文 10)2 ,,log25 三个数中最大的数是 . 答案:log25 -3 解析:2 =<1,>1,log25>log24>2>, 所以 log25 最大. 2 x 14.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)=16,当 x∈(-1,4]时,f(x)=x -2 ,则函数 f(x)在[0,2 013]上的零点个数是 .?导学号 32470568? 答案:604 解析:由 f(x)+f(x+5)=16,可知 f(x-5)+f(x)=16, 则 f(x+5)-f(x-5)=0,所以 f(x)是以 10 为周期的周期函数.在一个周期(-1,9]上,函数 f(x)=x2-2x 在 x∈(-1,4]区间内有 3 个零点,在 x∈(4,9]区间内无零点,故 f(x)在一个周期上仅有 3 个零点,由于区间(3,2 013]中包含 201 个周期, 又 x∈[0,3]时也存在一个零点 x=2,故 f(x)在[0,2 013]上的零点个数为 3×201+1=604. x 15.(2015 甘肃天水一中模拟)函数 f(x)=的图像关于原点对称,g(x)=lg(10 +1)+bx 是偶函数,则 a+b= .?导学号 32470569? 答案: 解析:∵f(x)=的图像关于原点对称, ∴函数 f(x)是奇函数, ∴f(0)=0,a=1. ∵g(x)=lg(10x+1)+bx 是偶函数, ∴g(-x)=g(x)对任意的 x 都成立, ∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx, ∴lg=lg(10x+1)+2bx, ∴-x=2bx 对一切 x 恒成立,∴b=-,

∴a+b=.
16.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,任意 x∈R,f(x-1)=f(x+1)成立,当 x∈(0,1)且 x1≠x2 时,有<0.给出下列命题: (1)f(1)=0; (2)f(x)在[-2,2]上有 5 个零点; (3)点(2 014,0)是函数 y=f(x)图像的一个对称中心; (4)直线 x=2 014 是函数 y=f(x)图像的一条对称轴. 则正确命题的序号是 .?导学号 32470570? 答案:(1)(2)(3) 解析:令 f(x-1)=f(x+1)中 x=0,得 f(-1)=f(1), ∵f(-1)=-f(1),∴2f(1)=0, ∴f(1)=0,故(1)正确; 由 f(x-1)=f(x+1)得 f(x)=f(x+2), 3

∴f(x)是周期为 2 的周期函数, ∴f(2)=f(0)=0, 又当 x∈(0,1)且 x1≠x2 时,有<0,∴函数在区间(0,1)上递减,可作函数的简图如图:

由图知(2)(3)也正确,(4)不正确,所以命题正确的序号为(1)(2)(3). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)函数 f(x)=m+logax(a>0,且 a≠1)的图像过点(8,2)和(1,-1). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=2f(x)-f(x-1),求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值. 解:(1)由 解得 m=-1,a=2, 故函数解析式为 f(x)=-1+log2x. (2)g(x)=2f(x)-f(x-1) =2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)] =log2-1(x>1). ∵=(x-1)++2 ≥2+2=4, 当且仅当 x-1=,即 x=2 时,等号成立. 而函数 y=log2x 在(0,+∞)上递增, 则 log2-1≥log24-1=1, 故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1.?导学号 32470572? 2 18.(12 分)已知关于 x 的二次函数 f(x)=x +(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意 t∈R,方程 f(x)=1 必有实根; (2)若<t<,求证:方程 f(x)=0 在区间(-1,0)及上各有一个实根. 2 证明:(1)由于 f(x)=x +(2t-1)x+1-2t, ∴f(x)=1?(x+2t)(x-1)=0,(*) ∴x=1 是方程(*)的根,即 f(1)=1. 因此 x=1 是方程 f(x)=1 的实根, 即 f(x)=1 必有实数根. (2)当<t<时,f(-1)=3-4t>0, f(0)=1-2t=2<0, f(2t-1)+1-2t=-t>0, 又函数 f(x)的图像连续不间断, 因此 f(x)=0 在区间(-1,0)及上各有一个实根.?导学号 32470573? 2 19.(12 分)已知函数 f(x)=ax +(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪ (2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; 2 (2)c 为何值时,不等式 ax +bx+c≤0 在[1,4]上恒成立? 解:由题意得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点且 a≠0,则 解得 ∴f(x)=-3x2-3x+18. (1)如图所示,由图像知,函数在[0,1]上递减,

4

∴当 x=0 时,y=18;当 x=1 时,y=12, ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. 2 (2)(方法一)令 g(x)=-3x +5x+c. ∵g(x)在上递减, 要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立,则需要 g(x)max=g(1)≤0, 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2. ∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 2 (方法二)不等式-3x +5x+c≤0 在[1,4]上恒成立, 2 2 即 c≤3x -5x 在[1,4]上恒成立.令 g(x)=3x -5x, ∵x∈[1,4],且 g(x)在[1,4]上递增, ∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2, ∴c≤-2. 2 即 c≤-2 时,不等式 ax +bx+c≤0 在[1,4]上恒成立.?导学号 32470574? 20.(12 分)已知二次函数 y=f(x)在 x=处取得最小值-(t≠0),且 f(1)=0. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)若函数 y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时 t 的值. 解:(1)设 f(x)=a(a>0). 因为 f(1)=0,所以(a-1)=0. 又 t≠0,所以 a=1, 所以 f(x)=(t≠0). (2)因为 f(x)=(t≠0), 当<-1,即 t<-4 时, f(x)min=f(-1)==-5, 所以 t=-; 当-1≤,即-4≤t≤-1 时,f(x)min=f=-=-5, 所以 t=±2(舍去); 当,即 t>-1 时, f(x)min=f=-5, 所以 t=-(舍去). 综上,得 t=-.?导学号 32470575? 21.(12 分)(2015 兰州一中高三月考)某旅游风景区有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行 车的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若 超出 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只 取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用 y(元)表示出租自行车的 日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得). (1)求函数 y=f(x)的解析式及其定义域;
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多? 解:(1)当 x≤6 时,y=50x-115,令 50x-115>0,解得 x>2.3. ∵x∈N+,∴x≥3, ∴3≤x≤6,x∈N+, 当 x>6 时,y=[50-3(x-6)]x-115. 2 令[50-3(x-6)]x-115>0,有 3x -68x+115<0,上述不等式的整数解为 2≤x≤20(x∈N+), ∴6<x≤20(x∈N+). 故 y= 定义域为{x|3≤x≤20,x∈N+}. (2)对于 y=50x-115(3≤x≤6,x∈N+). 5

显然当 x=6 时,ymax=185(元), 2 对于 y=-3x +68x-115=-3(6<x≤20,x∈N+). 当 x=11 时,ymax=270(元). ∵270>185, ∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多.?导学号 32470576? 2 22.(12 分)已知函数 f(x)满足 f(x)+3f(-x)=8ax -(a∈R). (1)求 f(x)的解析式; (2)试判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若函数 f(x)始终满足 x1-x2 与 f(x1)-f(x2)同号(其中 x1,x2∈,x1≠x2),求实数 a 的取值范围. 2 解:(1)因为 f(x)+3f(-x)=8ax -,① 2 所以 f(-x)+3f(x)=8ax +.② 2 由①②可解得 f(x)=2ax +. (2)由(1)得 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 当 a=0 时,f(x)=, f(-x)==-=-f(x), 故当 a=0 时 f(x)为奇函数; 2 当 a≠0 时,f(x)=2ax +(a≠0,x≠0),f(-1)=2a-1,f(1)=2a+1, ∴f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1), ∴当 a≠0 时,函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)由题意可知,函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数. 设 3≤x1<x2,要使函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数, (方法一)则 f(x1)-f(x2)=2a-2a =[2ax1x2(x1+x2)-1]<0, ∵x1-x2<0,x1x2>9, ∴2ax1x2(x1+x2)>1. ∵x1+x2>6,∴x1x2(x1+x2)>54,

∴.
要使 a>, 则 a 的取值范围是. (方法二)则 f'=4ax-≥0 在[3,+∞)上恒成立, 所以 4a≥在[3,+∞)上恒成立, 所以 4a≥,所以 a 的取值范围是.

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