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《几类不同增长的函数模型》第二课时



动画:几种不同增长的函数模型

探究:函数y=2x,y=x2,y=log2x的增长差异。 x y=2x y=x2 y=log2x y=x2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 3.0 2.5 3.4 … 1.149 0.004 -2.322 1.516 0.36 -0.737 0 1 2 2.639 1.96 0.485 3.482 3.24

0.848 4.595 4.84 1.138 6.063 6.76 1.379 8 1.585 9 10.556 11.56 1.766 … … … y=2x y=log2x

从图中你可以看出 它们的增长差异吗?

可以利用二分法, 通过求函数y=x2-2x的零 点得到两个图象的交点。

y=x2 y=2x y=log2x

观察: log2x<2x<x2 在图象上分别标出使不等式 成立 log2x<x2<2x 的x的取值范围

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 …

y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 …

y=x2 y=2x

两个函数有两个交点: 有时 2x > x2 有时 x2 > 2x

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 …

y=2x 1 1024 1.05E+06 1.07E+09 1.10E+12 1.13E+15 1.15E+18 1.18E+21 1.21E+24 …

y=x2 0 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 …

y=2x

y=x2 当x的值越来越大时, 2x的值快速增长, x2比起2xx来有点微不足道。

探究:你能借助图象,对y=x2,y=log2x的增长情 况进行比较吗?

y=x2
在区间(0,+∞)上,

y=log2x

总有x2>log2x。

在区间(0,+∞)上,指数函数y = ax (a>1),
对数函数y = logax (a>1)和幂函数y = xn (n>0)都是 增函数。但是它们的增长速度不同: 随着x的增大,y = ax (a>1) 的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y = xn (n>0)的增长速度

y = logax (a>1)的增长速度会越来越慢。
总会存在一个x0, 当x > x0时, 有 logax < xn <ax

探究:你能用同样的方法,讨论函数y=ax(0<a<1),
y=xn(n<0), y=logax(0<a<1)在区间(0,+∞)上的 衰减情况吗? 总会存在一个x0,当x>x0时,有xn>ax>logax

在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图 象,并比较它们的增长情况: (3) x (1)y=0.1e -100,x∈[1,10] (2)y=20lnx+100,x∈[1,10] (2) (3)y=20x,x∈[1,10] 作出函数图象: 由图象可以看到, 函数(1)以“爆炸“式速度增长; 函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于 稳定; 函数(3)以稳定的速率增加 (1)

某公司为了适应市场需求对产品结构做了重 大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越

来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司
调整后利润y与时间x的关系,可选用( D ) A 一次函数 B二次函数 C 指数型函数 D 对数型函数

某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货
物,生产了一段时间后,由于订货商想再多订一 些,但供货时间不变,该工厂便组织工人加班生 产,能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函 数图象大致是( B )

A

B

C

D

如图是某工厂8年来某种产品年产量C与时间t

(年)的函数关系图,下面4种说法中正确的是( D )
(1)前三年中产量增长的速度越来越快; (2)前三年中产量的增长的速度越来越慢; (3)第三年后这种产品停止生产; (4)第三年后产量保持不变 A(2)(3) C(1)(3) B(2)(4) D(1)(4)

认识数学建模 数学建模(Mathematical Modelling)是 把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象 为数学模型,求出模型的解,验证模型的 合理性,并用该数学模型所提供的解答来 解释现实问题,我们把数学知识的这一应 用过程称为数学建模。 数学建模分为以下几个过程: 模型准备:了解问题的实际背景,明 确其实际意义,掌握对象的各种信息。用 数学语言来描述问题。

数学建模分为以下几个过程: 模型假设:根据实际对象的特征和建模的 目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语 言提出一些恰当的假设。 模型建立:在假设的基础上,利用适当的 数学工具来刻划各变量之间的数学关系,建立 相应的数学结构。(尽量用简单的数学工具) 模型求解:利用获取的数据资料,对模型 的所有参数做出计算(估计)。 模型分析:对所得的结果进行数学上的分 析。

数学建模分为以下几个过程: 模型检验:将模型分析结果与实际情形进 行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和 适用性。如果模型与实际较吻合,则要对计算 结果给出其实际含义,并进行解释。如果模型 与实际吻合较差,则应该修改假设,再次重复 建模过程。 模型应用:应用方式因问题的性质和建模 的目的而异 。



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