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导数的概念及其运算


导数的概念及其运算

导数的概念及其运算
一、选择题 1 3 1.一质点沿直线运动, 如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t3 - t2+ 2t,那么速度为零的时刻是 一质点沿直线运动, 一质点沿直线运动 =3 , 2 ( ) B.1 秒末 C.2 秒末 D.1 秒末和 2 秒末 秒末和 ( B.既有最大值又有最小值的偶函数 既有最大值又有最小值的偶函数 D.非奇非偶函数 非奇非偶函数 ( B.y′=2xcosx-x2sinx = - D.y′=- 2sinx =-x =- ) )

A.0 秒

1 2.[理]已知 y= sin2x+sinx,则 y′是 理 已知 = + , 是 2 A.仅有最小值的奇函数 仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 仅有最大值的偶函数 [文]y=x2cosx 的导数是 文 = A.y′=2xcosx+x2sinx = + C.y=2xcosx =

3.(2010·福州模拟 函数 y=f(x)的图象在点 x=5 处的切线方程是 y=- +8,则 f(5)+f′(5)等于 福州模拟)函数 = 的图象在点 = =-x+ , 福州模拟 =- + 等于 ( A.1


) B.2 C.0 1 D. 2 )

4.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点 设曲线 = 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn 则 x1·x2·…·xn 等于 ∈ 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 … 等于( 1 A.n B. 1 n+1 + C. n n+1 + D.1

5.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x) 与 是定义在 上的两个可导函数, , 满足 = , 与 满足 A.f(x)=g(x) = C.f(x)-g(x)为常数函数 - 为常数函数 B.f(x)=g(x)=0 = = D.f(x)+g(x)为常数函数 + 为常数函数 ( ) ( )

6.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 若点 上任意一点, = = - A.1 二、填空题 B. 2 C. 2 2 D. 3

x3 7.设点 P 是曲线 y= -x2-3x-3 上的一个动点,则以 P 为切点的切线中,斜率取得最小值时的切线方 为切点的切线中, 设点 =3 - 上的一个动点, 程是 . .

π π 8.(2009·湖北高考 已知函数 f(x)=f′( )cosx+sinx,则 f( )的值为 湖北高考)已知函数 湖北高考 = 4 + , 4 的值为

π π 9.已知 f1(x)=sinx+cosx,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),则 f1( )+f2( ) 已知 = + , = , = , = ∈ ≥ , 2+ 2 π = +…+f2009( 2)= .

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导数的概念及其运算

三、解答题 10.求下列函数的导数: 求下列函数的导数: 求下列函数的导数 4 1 (1)y= x5- x3+3x2+ 2; = ; 3 5 (2)y=(3x3-4x)(2x+1); = + ; x (3)y= = . 1-x+x2 - + 解:

1 的值. 11.已知曲线 y= x2-1 与 y=1+x3 在 x=x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值 已知曲线 = = + = 处的切线互相垂直, 6

b 12.设函数 f(x)=ax-x,曲线 y=f(x)在点 ,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. 设函数 在点(2, = - = 在点 处的切线方程为 - - = (1)求 f(x)的解析式; 求 的解析式; 的解析式 (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求 证明: 证明 = 上任一点处的切线与直线 = = 所围成的三角形面积为定值, 此定值. 此定值 解:

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导数的概念及其运算

导数的概念及其运算
一、选择题 1 3 1 解析:∵s= t3- t2+2t,∴v=s′(t)=t2-3t+2, 解析: = , = = + , 3 2 答案: 令 v=0 得,t2-3t+2=0,t1=1 或 t2=2.答案:D = + = , 答案 2.[理] 答案:B 理 答案: 12 9 1 2 解析: 解析:∵y′=2cos2x·2+cosx=cos2x+cosx =2cos x-1+cosx=2(cosx+4) -8. = + = + - + = + 9 1 是既有最大值又有最小值的偶函数. 又当 x∈R 时,cosx∈[-1,1],函数 y′=2(cosx+4)2-8是既有最大值又有最小值的偶函数 ∈ ∈- , = + [文]解析:y′=2xcosx-x2sinx.答案:B 文 解析 解析: = 答案: - 答案 3.解析:因 f(5)=- +8=3,f′(5)=- ,故 f(5)+f′(5)=2.答案:B 解析: =-5+ = , =-1, 答案: 解析 =- =- + = 答案 n 4.解析:y′=(n+1)xn,曲线在点 解析: = + 曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 xn= .则 解析 处的切线方程为 - = + - , = , 则 n+1 + n 12 1 x1·x2·…·xn= · ·…· .答案 B 答案: … 2 3 … n+1=n+1 答案: + + 5.解析:由 f′(x)=g′(x),得 f′(x)-g′(x)=0,即[f(x)-g(x)]′=0,所以 f(x)-g(x)=C(C 为常数 解析: 为常数). 解析 = , - = , - = , - = 答案: 答案:C 6.解析:过点 P 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 y=x2-lnx 相切 解析: 相切. 解析 = - 的平行直线, = 1 设 P(x0,x2-lnx0)则有 k=y′|x=x0=2x0-x . 则有 = = 0
0

|1-1-2| - - 1 1 舍去), 答案: ∴2x0-x =1,∴x0=1 或 x0=-2(舍去 ,∴P(1,1),∴d= , 舍去 , = = 2.答案:B 答案 0 1+1 + 二、填空题 7.解析:设切线的斜率为 k,则 k=f′(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.当 x=1 时,k 有最小值 -4.又 f (1) 解析: 解析 , = = - = - 当 = 又 20 20 答案: + + = =- 3 ,所以切线方程为 y+ 3 =- -1),即 12x+3y+8=0.答案:12x+3y+8=0 + =-4(x- , + + = 答案 π π 8.(解析:∵f(x)=f′( )cosx+sinx,∴f′(x)=- )sinx+cosx, 解析: = + , =-f′( + , 解析 =- 4 4 π π π π 2 2 1 2 2 =-f′( 答案: =- = = 2-1.故 f(4)=( 2-1)× 2 + 2 =1.答案:1 - 故 = - 答案 ∴f′(4)=- 4)× 2 + 2 ,∴f′(4)= 1+ 2 + 9.解析:f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx, 解析: 解析 = = - , f3(x)=(cosx-sinx)′=- =-sinx-cosx, = - =- - , f4(x)=- =-cosx+sinx,f5(x)=sinx+cosx, =- + , = + , 以此类推, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x) = 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, + + + = , π π π π 答案: + + = = 答案 ∴f1(2)+f2(2)+…+f2009(2)=f1(2)=1.答案:1
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三、解答题 4 1 10.解:(1)y′=( x5)′-( x3)′+(3x2)′+( 2)′=x4-4x2+6x. 解 =5 -3 + + = (2)法一:∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,∴y′=24x3+9x2-16x-4. 法一: = 法一 + = , = - 法二: = 法二:y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2 + + + = + + =24x3+9x2-16x-4. - x′(1-x+x2)-x(1-x+x2)′ (1-x+x2)-x(-1+2x) - + - - + 1-x2 - + - - + - (3)y′= . = = = (1-x+x2)2 (1-x+x2)2 (1-x+x2)2 - + - + - + 1 1 1 11.解:对于 y= x2-1,有 y′= x,k1=y′|x=x0= x0; 解 =6 , =3 , = 3
2 =-1, 对于 y=1+x3,有 y′=3x2,k2=y′|x=x0=3x0.又 k1k2=- ,则 x3=- ,x0=- = + = = 又 0=-1, =-1.

12. 7 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 方程 - - = = - 4

b 1 ? 2a ? = , ? ? a = 1, b 1 ? 3 2 2 当 x=2 时,y=2.又 f′(x)=a+x2,于是 ? = = 又 解得 ? = + 故 f(x)=x-x. = - ? b = 3, ?a + 7 = 7 , ? 4 4 ?
3 3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2,知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(1+ 2)(x 设 为曲线上任一点, 为曲线上任一点 = +x 处的切线方程为 - +x
0

3 3 , - = + - -x0),即 y-(x0-x )=(1+x2)(x-x0).
0 0

6 6 令 x=0,得 y=-x ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为 ,-x ); = , =- = 的交点坐标为(0,- ;
0 0

令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为 0,2x0). = , = = = 的交点坐标为(2x 1 6 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为2|-x ||2x0|=6. 处的切线与直线 = , = - =
0

故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为定值,此定值为 6. = 上任一点处的切线与直线 = , = 所围成的三角形面积为定值,

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