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2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试卷



2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题

卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

2,, 3} B ? {x | x2 ? 9} ,则 A ? B ? (1)已知集合 A ? {1,
? 1,, 0 1, 2} ? 1,, 0 1,, 2 3} (B) { ? 2, (A) { ? 2,

2 3} (D) {1, 2} (C) {1,,

(2)设复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则 z = (A) ?1? 2i (B) 1 ? 2i (C) 3 ? 2i (D) 3 ? 2i (3) 函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3
(4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为
第 1 页 共 1 页

(A) 12 ? (B)

32 ? (C) ?? (D) ?? 3

(5) 设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y=

k (k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k= x

( A)

1 3 (B)1 (C) (D)2 2 2

(6) 圆 x2+y2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1,则 a= (A)?

4 3 (B)? (C) 3 (D)2 3 4

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ( A)

7 5 3 3 (B) (C) (D) 10 8 8 10

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程 序框图,若输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34 (10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是 (A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D) y ?

1 x

第 2 页 共 2 页

(11) 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos( (A)4(B)5

π ? x) 的最大值为 2

(C)6 (D)7

(12) 已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2-x),若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为(x1,y1) ,(x2,y2),?, (xm,ym) ,则 (A)0

?x =
i ?1 i

m

(B)m

(C) 2m

(D) 4m

二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分. (13) 已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=___________.

?x ? y ?1 ? 0 ? (14) 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z=x-2y 的最小值为__________ ?x ? 3 ? 0 ?
(15)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ?

4 5 ,cos C ? ,a=1,则 b=____________. 5 13

(16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后 说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ,丙 说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 等差数列{ an }中, a3 ? a 4 ? 4, a5 ? a 7 ? 6 (I)求{ an }的通项公式; (II)设

bn =[ an ],求数列{ bn }的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2

(18)(本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年 度出险次数的关联如下:

第 3 页 共 3 页

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(I)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费” 。求 P(A)的估计值; (II)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”. 求 P(B)的估计值; (III)求续保人本年度的平均保费估计值.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H, 将 ? DEF 沿 EF 折到 ? D ' EF 的位置. (I)证明: AC ? HD ' ; (II)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D '? ABCEF 体积. 4

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? a( x ? 1) . (I)当 a ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (II)若当 x ? ?1, ?? ? 时, f ( x)>0 ,求 a 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分)

第 4 页 共 4 页

已知 A 是椭圆 E:

x2 y 2 MA ? NA . ? ? 1 的左顶点, 斜率为 k ? k>0? 的直线交 E 于 A, M 两点, 点 N 在 E 上, 4 3

(I)当 AM ? AN 时,求 ? AMN 的面积 (II)当 2 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 . 请考生在第 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE, 垂足为 F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x + 6) + y = 25 .

(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
ì x = t cos α, ? í (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点, AB = 10 ,求 l 的斜率. ? ? ? y = t sin α,

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = x (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)证明:当 a,b ? M 时, a + b < 1 + ab .
1 1 + x + ,M 为不等式 f ( x) < 2 的解集. 2 2

2016 年普通高等学校招生全国统一考试
第 5 页 共 5 页

文科数学答案
第Ⅰ卷

一. 选择题
(1 ) 【答案】D (5)【答案】D (9)【答案】C (2) 【答案】C (6) 【答案】A (10) 【答案】D (3) 【答案】A (7) 【答案】C (11)【答案】B (4) 【答案】A (8) 【答案】B (12) 【答案】B

二.填空题
(13)【答案】 ?6 (14)【答案】 ?5 (15) 【答案】

21 13

(16) 【答案】1 和 3

三、解答题
(17)(本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ) an ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的性质求 a1 , d ,从而求得 an ; (Ⅱ)根据已知条件求 bn ,再求数列 ?bn ? 的 前 10 项和. 试题解析:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d,由题意有 2a1 ? 5d ? 4, a1 ? 5d ? 3 ,解得 a1 ? 1, d ? 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? 当 n=1,2,3 时, 1 ?

2n ? 3 ; (Ⅱ)24. 5

2 , 5

2n ? 3 . 5

? 2n ? 3 ? , ? 5 ? ?

2n ? 3 ? 2, bn ? 1; 5 2n ? 3 ? 3, bn ? 2 ; 当 n=4,5 时, 2 ? 5 2n ? 3 ? 4, bn ? 3 ; 当 n=6,7,8 时, 3 ? 5 2n ? 3 ? 5, bn ? 4 , 当 n=9,10 时, 4 ? 5
所以数列 ?bn ? 的前 10 项和为 1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 2 ? 24 . 考点:等茶数列的性质,数列的求和. 【结束】

第 6 页 共 6 页

(18)(本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ)由 式求解. 【解析】 试题分析: 试题解析:(Ⅰ)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内险次数小于 2 的频率为

60 ? 50 30 ? 30 求 P(A)的估计值; (Ⅱ)由 求 P(B)的估计值; (III)根据平均值得计算公 200 200

60 ? 50 ? 0.55 , 200
故 P(A)的估计值为 0.55. (Ⅱ)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知,一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为

30 ? 30 ? 0.3 , 200

故 P(B)的估计值为 0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为: 保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05

调查 200 名续保人的平均保费为

0.85a ? 0.30 ? a ? 0.25 ? 1.25a ? 0.15 ? 1.5a ? 0.15 ? 1.75a ? 0.30 ? 2a ? 0.10 ? 1.1925a ,
因此,续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a. 考点:样本的频率、平均值的计算. 【结束】 (19) (本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证 AC / / EF . 再证 AC / / HD?. (Ⅱ)证明 OD? ? OH . 再证 OD? ? 平面 ABC. 最后呢五棱 锥 D '? ABCEF 体积. 试题解析: (I)由已知得, AC ? BD, AD ? CD. 又由 AE ? CF 得

69 . 4

AE CF ? ,故 AC / / EF . AD CD

由此得 EF ? HD, EF ? HD? ,所以 AC / / HD?. .
第 7 页 共 7 页

(II)由 EF / / AC 得

OH AE 1 ? ? . DO AD 4

由 AB ? 5, AC ? 6 得 DO ? BO ? 所以 OH ? 1, D?H ? DH ? 3.

AB2 ? AO2 ? 4.

于是 OD? ? OH ? (2 2) ? 1 ? 9 ? D?H , 故 OD? ? OH .
2 2 2 2 2

由(I)知 AC ? HD? ,又 AC ? BD, BD ? HD? ? H , 所以 AC ? 平面 BHD?, 于是 AC ? OD?. 又由 OD? ? OH , AC ? OH ? O ,所以, OD? ? 平面 ABC.

EF DH 9 ? 得 EF ? . AC DO 2 1 1 9 69 . 五边形 ABCFE 的面积 S ? ? 6 ? 8 ? ? ? 3 ? 2 2 2 4
又由 所以五棱锥 D '? ABCEF 体积 V ?

1 69 23 2 ? ?2 2 ? . 3 4 2

考点:空间中的线面关系判断,几何体的体积. 【结束】 (20) (本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ) 2 x ? y ? 2 ? 0. ; (Ⅱ) ? ??, 2?. . 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 先求定义域, 再求 f ?( x ) , f ?(1) , f (1) , 由直线方程得点斜式可求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0. (Ⅱ)构造新函数 g ( x) ? ln x ? 解. 试题解析: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .当 a ? 4 时,

a ( x ? 1) ,对实数 a 分类讨论,用导数法求 x ?1

f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 4( x ? 1), f ?( x) ? ln x ?
切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0. (II)当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 等价于 ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

1 ? 3 , f ?(1) ? ?2, f (1) ? 0. 曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的 x

a( x ? 1) ? 0. x ?1

a ( x ? 1) ,则 x ?1
第 8 页 共 8 页

g ?( x) ?

1 2a x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? ? , g (1) ? 0 , x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

(i)当 a ? 2 , x ? (1, ??) 时, x2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? x2 ? 2x ? 1 ? 0 ,故 g ?( x) ? 0, g ( x) 在 x ? (1, ??) 上单 调递增,因此 g ( x) ? 0 ; (ii)当 a ? 2 时,令 g ?( x) ? 0 得

x1 ? a ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1, x2 ? a ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ,
由 x2 ? 1 和 x1 x2 ? 1 得 x1 ? 1 ,故当 x ? (1, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 x ? (1, x2 ) 单调递减,因此 g ( x) ? 0 . 综上, a 的取值范围是 ? ??, 2?. 考点:导数的几何意义,函数的单调性. 【结束】 (21) (本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 先求直线 AM 的方程, 再求点 M 的纵坐标, 最后求 ?AMN 的面积; (Ⅱ) 设 M ? x1 , y1 ? , , 将直线 AM 的方程与椭圆方程组成方程组,消去 y ,用 k 表示 x1 ,从而表示 | AM | ,同理用 k 表示 | AN | , 再由 2 AM ? AN 求 k . 试题解析: (Ⅰ)设 M ( x1 , y1 ) ,则由题意知 y1 ? 0 . 由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 又 A(?2, 0) ,因此直线 AM 的方程为 y ? x ? 2 .

144 ; (Ⅱ) 49

?

3

2, 2 .

?

? , 4

x2 y 2 ? ? 1 得 7 y 2 ?12 y ? 0 , 将 x ? y ? 2 代入 4 3
12 12 ,所以 y1 ? . 7 7 1 12 12 144 ? 因此 ?AMN 的面积 S ?AMN ? 2 ? ? ? . 2 7 7 49
解得 y ? 0 或 y ?

第 9 页 共 9 页

(2)将直线 AM 的方程 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 代入

x2 y 2 ? ? 1得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 .
由 x1 ? (?2) ?

12 1 ? k 2 16k 2 ? 12 2(3 ? 4k 2 ) 2 x ? 得 ,故 . | AM | ? 1 ? k | x ? 2 | ? 1 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

12k 1 ? k 2 1 由题设,直线 AN 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ,故同理可得 | AN |? . k 4 ? 3k 2
由 2 | AM |?| AN | 得
3 2

2 k ? ,即 4k 3 ? 6k 2 ? 3k ? 8 ? 0 . 2 3 ? 4k 4 ? 3k 2
2 2

设 f (t ) ? 4t ? 6t ? 3t ? 8 ,则 k 是 f (t ) 的零点, f '(t ) ? 12t ?12t ? 3 ? 3(2t ?1) ? 0 , 所以 f (t ) 在 (0, ??) 单调递增,又 f ( 3) ? 15 3 ? 26 ? 0, f (2) ? 6 ? 0 , 因此 f (t ) 在 (0, ??) 有唯一的零点,且零点 k 在 ( 3, 2) 内,所以 3 ? k ? 2 . 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【结束】 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证 ?DGF ? ?CBF, 再证 B, C , G, F 四点共圆; (Ⅱ)证明 Rt ?BCG ? Rt ?BFG, 四边形

1 . 2

BCGF 的面积 S 是 ?GCB 面积 S ?GCB 的 2 倍.
试题解析: (I)因为 DF ? EC ,所以 ?DEF ? ?CDF , 则有 ?GDF ? ?DEF ? ?FCB,

DF DE DG ? ? , CF CD CB

所以 ?DGF ? ?CBF , 由此可得 ?DGF ? ?CBF , 由此 ?CGF ? ?CBF ? 180 , 所以 B, C , G, F 四点共圆.
0

(II)由 B, C , G, F 四点共圆, CG ? CB 知 FG ? FB ,连结 GB ,

第 10 页 共 10 页

由 G 为 Rt ?DFC 斜边 CD 的中点,知 GF ? GC ,故 Rt ?BCG ? Rt ?BFG, 因此四边形 BCGF 的面积 S 是 ?GCB 面积 S ?GCB 的 2 倍,即

1 1 1 S ? 2S?GCB ? 2 ? ? ? 1 ? . 2 2 2

考点:三角形相似、全等,四点共圆 【结束】 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【答案】 (Ⅰ) ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0 ; (Ⅱ) ? 【解析】 试题分析: (I)利用 ? ? x ? y , x ? ? cos ? 可得 C 的极坐标方程; (II)先将直线 l 的参数方程化为普通
2 2 2

15 . 3

方程,再利用弦长公式可得 l 的斜率. 试题解析: (I)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 可得 C 的极坐标方程 ? ? 12? cos? ? 11 ? 0.
2

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R) 由 A, B 所对应的极径分别为 ?1 , ?2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得

? 2 ? 12? cos ? ? 11 ? 0.
于是 ?1 ? ?2 ? ?12cos ? , ?1?2 ? 11,

| AB |?| ?1 ? ?2 |? ( ?1 ? ?2 ) 2 ? 4 ?1 ?2 ? 144cos 2 ? ? 44,
由 | AB |? 10 得 cos 2 ? ?

3 15 , , tan ? ? ? 8 3

所以 l 的斜率为

15 15 或? . 3 3
第 11 页 共 11 页

考点:圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式. 【结束】 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【答案】 (Ⅰ) M ? {x | ?1 ? x ? 1} ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (I)先去掉绝对值,再分 x ? ?

1 1 1 1 , ? ? x ? 和 x ? 三种情况解不等式,即可得 ? ; (II) 2 2 2 2

采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当 a , b ? ? 时, a ? b ? 1 ? ab .

1 ? ? ?2 x , x ? ? 2 , ? 1 ? 1 试题解析: (I) f ( x ) ? ?1, ? ? x ? , 2 ? 2 1 ? ? 2 x, x ? 2 . ?
当x??

1 时,由 f ( x) ? 2 得 ?2 x ? 2, 解得 x ? ?1 ; 2

当?

1 1 ? x ? 时, f ( x) ? 2 ; 2 2
1 时,由 f ( x) ? 2 得 2 x ? 2, 解得 x ? 1 . 2

当x?

所以 f ( x) ? 2 的解集 M ? {x | ?1 ? x ? 1} . (II)由(I)知,当 a, b ? M 时, ?1 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1 ,从而

(a ? b)2 ? (1 ? ab)2 ? a2 ? b2 ? a2b2 ?1 ? (a2 ?1)(1 ? b2 ) ? 0 ,
因此 | a ? b |?|1 ? ab | . 考点:绝对值不等式,不等式的证明. 【结束】

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