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高中数学必修一 函数复习



高中数学复习资料

必修一 2、函数复习
复习要点及框架:

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复习要点: 复习要点:
1、函数的定义域、值域 2、函数的单调性(定义法或导数)、最大值、最小值 3、函数的周期性、奇偶性

常考的考点及解题思路方法: 常考的

考点及解题思路方法:
一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零; 分式的分母不等于零; 2、偶次方根的被开方数大于等于零; 偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零; 对数的真数大于零; 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; 5、三角函数正切函数 y = tan x 中 x ≠ kπ +

π
2

( k ∈ Z ) ;余切函数 y = cot x 中;

6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x ), g ( x ) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x ) + g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x ) 为减(增)函数 3、若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性相同,则 y = f [ g ( x )] 是增函数;若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性不同,则 y = f [ g ( x )] 是减函数。

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4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x = 0 处有定义,则 f (0) = 0 ,如果一个函数 y = f ( x ) 既是奇函数又是偶函数,则 f ( x ) = 0 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y = f (u ) 和 u = g ( x ) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合 函数是奇函数。 5、若函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称,则 f ( x ) 可以表示为 f ( x ) = 一个偶函数的和。

1 1 [ f ( x ) + f ( ? x )] + [ f ( x ) ? f ( ? x )] ,该式的特点是:右端为一个奇函数和 2 2

例题 1 函数 y = log 1 ?1 + A.增函数,且 y > 0

? 2?

1? ? 在区间 (0,+∞) 上是( x?
B.减函数,且 y > 0

) C.增函数,且 y < 0 D.减函数,且 y < 0

分析: 分析:此题要解决两个问题:一是要判断函数值 y 的大小;二是要判断此函数的单调性. 解:解法一:令 u = 1+

1 ,且 x ∈ (0,+∞),∴ u > 1 ,则 y = log 1 u < 0 ,排除 A、B. x 2

由复合函数的性质可知,u 在 (0,+∞) 上为减函数.

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又 y = log 1 u 亦为减函数,故 y = log 1 ?1 +
2

? 2?

1? ? 在 (0,+∞) 上为增 x?

2.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若 x1<0 且 x1+x2>0,则( ) B.f(-x1)=f(-x2) D.f(-x1)与 f(-x2)大小不确定

函数,排除 D,选 C. 解法二:利用导数法

A.f(-x1)>f(-x2) C.f(-x1)<f(-x2) ( x ∈ (0,+∞) ) ,

1 ? 1 ? y′ = ? log 1 e ? ? ? 2 ? = log 2 e > 0 1 ? x ? x(1 + x) 2 1+ x 1
故 y 在 (0,+∞) 上是增函数. 由解法一知 y < 0 .所以选 C.

奇偶性的性质表达式

4.如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间 (?∞, 4] 上是减函数,那么实 数 a 的取值范围是 ( ) A.a≥-3 B.a≤-3 C.a≤5 D.a≥3

练习:
1.已知定义域为 R 的偶函数 y=f(x)的一个单调区间是(2,6),则函数 y=f(2-x)的() A.对称轴为 x=-2,且一个单调区间是(4,8) B.对称轴为 x=-2,且一个单调区间是(0,4) C.对称轴为 x = 2, 且一个单调区间是(4,8) D.对称轴为 x = 2, 且一个单调区间是(0,4)

二次函数的性质

5.函数 y = x

2

?6x +7(x∈[?1,7]) 的值域



6.若函数 f(x)=(-k +3k+4)x+2 是增函数,则 k 的范围是

2

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7.函数 f ( x) =

1 的定义域是 log 2 ( x ? 2)



? 2? x x < 1 1 , 求满足 f ( x ) = 的 x 的值. 10.设函数 f ( x ) = ? 4 ?log 4 x x > 1

8.当 a>0 且 a≠1 时,函数 f (x)=ax-2-3 必过定点

.

9.关于函数 f ( x) = lg

x2 + 1 ( x ≠ 0, x ∈ R ) 有下列命题: |x|

11.已知 f ( x ) = 2 x , g ( x ) 是一次函数,并且点 (2, 2) 在函数 f [ g ( x )] 的 图象上,点 (2,5) 在函数 g[ f ( x )] 的图象上,求 g ( x ) 的解析式.

①函数 y = f ( x ) 的图象关于 y 轴对称; ②在区间 (?∞,0) 上,函数 y = f ( x ) 是减函数; ?∞ ③函数 f ( x ) 的最小值为 lg 2 ; ④在区间 (1, ∞ ) 上,函数 f ( x ) 是增函数. 其中正确命题序号为_______________.

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12.若 0≤x≤2,求函数 y= 4

x?

1 2

? 3 × 2 x + 5 的最大值和最小值.
14. 光线通过一块玻璃,其强度要损失 10% ,把几块这样的玻璃重叠起来, 设光线原来的强度为 a ,通过 x 块玻璃后强度为 y . (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的 ( lg 3 ≈ 0.4771)

1 以下? 3

13.⑴已知 f ( x ) 的定义域为 {x | x ≠ 0} ,且 2 f ( x) + f ( ) = x ,试判断

1 x

f ( x) 的奇偶性。
⑵函数 f ( x) 定义域为 R ,且对于一切实数 x, y 都有

15. 已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值;

f ( x) =

?2 x + b 是奇函数。 2 x +1 + 2

f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) ,试判断 f ( x) 的奇偶性。
抽象函数

(Ⅱ)判断函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t ? 2t ) + f (2t ? k ) < 0 恒成立,
2 2

求 k 的取值范围.

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上是减函数,在区间[3,4]上是增函数. 参考答案: 10.解:当 x∈(﹣∞,1)时,由 2 = 去。 当 x∈(1,+∞)时,由 log4x= 综上所述,x= 2 11. 解:Q g(x)是一次函数 ∴可设 g(x)=kx+b (k ≠ 0) ∴f [ g ( x)] =2 kx +b
2 k +b
﹣x

1 ,得 x=2,但 2 ? (﹣∞,1) ,舍 4

∴ 当 t = 3 ,即 x=log 2 3 时 当 t = 1 ,即 x=0 时

y min = 5 2

1 2

y max =

1 ,得 x= 2 , 2 ∈(1,+∞)。 4

13.⑴∵ f ( x) 的定义域为 {x | x ≠ 0} ,且 2 f ( x) + f ( ) = x 误!未找到引用源。 未找到引用源。 令错误! 错误! 式中 x 为 错误 未找到引用源。 未找到引用源。 误!未找到引用源。 未找到引用源。 解错误! 错误! 、 未找到引用源。 得 错误 未找到引用源。 错误! 未找到引用源。 错误! 未找到引用源。 f ( x) = 定义域为 {x | x ≠ 0} 关于原点对称, 又∵ f ( ? x) =

1 x



g [ f ( x)] =k 2 x +b

1 1 1 得: f ( ) + f ( x) = 2 x x x



∴依题意得

?2 =2 ? 2k + b = 1 ? k = 2 ? 即? ∴? ? 2 ?k 2 + b = 5 ?4k + b = 5 ?b = ?3 ?

2x2 ?1 , 3x



∴ g ( x ) = 2 x ? 3 .………12 分 12. 解: y = 4
x

2(? x) 2 ? 1 2 x2 ? 1 2x2 ?1 =? = ? f ( x) ,∴ f ( x) = 是奇 3(? x) 3x 3x

x?

1 2

1 2 ? 3 × 2 x + 5 = (2 x ) ? 3 × 2 x + 5 2

函数. ⑵∵定义域关于原点对称, 又∵令 x = y = 0 的 f (0) = f (0) + f (0) 则

令 2 = t ,因为 0≤x≤2,所以 1 ≤ t ≤ 4

f (0) = 0 , 再令 y = ? x 得 f (0) = f ( x ) + f ( ? x ) ,
∴ f ( ? x ) = ? f ( x) ,∴原函数为奇函数.
x ? 14.解析: 14.解析: (1) y = a (1 ? 10%) ( x ∈ N ). ………4 分

1 2 1 1 2 则 y= t ? 3t + 5 = (t ? 3) + 2 2 2

(1 ≤ t ≤ 4 )

因为二次函数的对称轴为 t=3,所以函数 y=

1 2 t ? 3t + 5 在区间[1,3] 2

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1 1 1 (2) Q y ≤ a, ∴ a (1 ? 10%) x ≤ a, ∴ 0.9 x ≤ , ………8 分 3 3 3 1 ? lg 3 ∴ x = 11 . ………12 分 x ≥ log 0.9 = ≈ 10.4, ………10 分 3 2lg 3 ? 1
15.Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,

又 (2 1 + 1)(2 2 + 1) >0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0 即 f ( x1 ) > f ( x2 )
x x

∴ f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上为减函数。 (Ⅲ)因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0



b ?1 1 ? 2x = 0 ? b = 1∴ f ( x ) = ………………………..3 分 2+2 2 + 2 x +1 1 ? 2x 1 1 =? + x , x +1 2+2 2 2 +1

等价于 f (t 2 ? 2t ) < ? f (2t 2 ? k ) = f ( k ? 2t 2 ) , 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2t > k ? 2t .即对一切 t ∈ R 有:
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) =

3t 2 ? 2t ? k > 0 ,
从而判别式 ? = 4 + 12k < 0 ? k < ? .

设 x1 < x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

1 1 2 x2 ? 2 x1 ? x2 = x1 2 x1 + 1 2 + 1 (2 + 1)(2 x2 + 1)
x x

1 3

因为函数 y=2 x 在 R 上是增函数且 x1 < x2 ∴ 2 2 ? 2 1 >0

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